Линейная алгебра

ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА

e1 = 54 a1 + 52 a2 − 12 a3 , e2 = − 52 a1 − 15 a2 + 12 a3 ,

e3 = −a1 + 12 a3 ,

Данные соотношения выражают связь между базисами.

5.6. Евклидово пространство

n-мерное векторное пространство Еn называется евклидовым, если каждой паре векторов x и y из Е поставлено в соответствие вещественное число ( x , y ), называемое ска-

лярным произведением, при чем это соответствие удовлетворяет следующим аксиомам: I. Линейности по первому аргументу

(c1x + c2 y, z )= c1(x, z )+ c2 (y, z );

II. Симметрии

(x, y)= (y, z );

III. Положительной определенности

(x, x)> 0, при x ≠ 0

и (x, x)= 0 тогда и только тогда, когда x = 0 .

Из линейности по первому аргументу и симметрии следует и линейность по второму аргументу

(x, c1 y + c2 z )= c1(x, y)+ c2 (x, z )

Примеры.

1. Векторами пространства En является любая упорядоченная система n действительных чисел x = (α1 ,α2 ,...,αn ) . Сложение векторов и умножение их на число определе-

ны в п.5.1, а скалярное произведение векторов x = (α1,α2 ,...,αn )T и y = (β1, β2 ,..., βn )T оп-

ределим формулой (x, y)=α1β1 +α2β2 +... +αn βn .

Легко убедиться в том, что аксиомы I-III действительно выполняются.

2. Рассмотрим более общий случай. Вектор x En по-прежнему определим как

упорядоченную совокупность n действительных чисел. Сложение векторов и умножение их на число определим так же, как в примере 1.

Зададимся некоторой квадратной матрицей А=(aij)n,n, Скалярное произведение векторов x и y определим формулой

(x, y)= a11α1β1 + a12α1β2 +... + a1nα1βn +

+ an1αnβ1 + an2αnβ2 +... + annαnβn

Рассмотрим, каким условиям должна удовлетворять матрица А, чтобы определенное данной формулой скалярное произведение удовлетворяло бы аксиомам I-Ш.

Непосредственной проверкой можно убедиться в том, что аксиома I выполняется для любой матрицы А=(aij)n,n. Для того, чтобы была выполнена аксиома II, т.е. чтобы выражение (x, y) было симметричным относительно x и y , необходимо и достаточно, что-

бы aij = a ji , т.е. чтобы матрица А=(aij)n,n, была симметричной.

61

ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА

Однородный многочлен (квадратичная форма), определяемый формулой (5.6.2), называется положительно определенным, если он принимает неотрицательные значения и обращается в нуль, только тогда, когда все αi равны нулю. Следовательно, аксиома III

требует, чтобы квадратичная форма (5.6.2) была положительно определенной. Таким образом, всякая матрица А=(aij)n,n задает скалярное произведение в Еn, определяемое формулой (5.6.1), если только эта матрица симметричная и соответствующая ей квадратичная форма положительно определенная.

Если а качестве матрицы А=(aij)n,n взять единичную матрицу Е, т.е. положить aii=1, а aij=0 ( i ≠ j ), то скалярное произведение принимает вид

(x, y)= ∑n αi βi i =1

имы получаем евклидово пространство, определенное в примере 1.

3.Векторами пространства Еn будем называть непрерывные функции, заданные на интервале (а,b). Скалярное произведение таких функций определим как интеграл их произведения

b

∫ f (t)g(t)dt .

a

Можно проверить, что при таком определении скалярного произведения аксиомы I-III выполнены.

С помощью введенного понятия скалярного произведения определим длину вектора и угол между векторами.

Определение. Нормой (длиной) xвектора x в Еn называется корень квадратный из этого скалярного произведения:

x = (x, x).

Векторы x и y , скалярное произведение (x, y) которых равно нулю, называются

ортогональными.

В любом евклидовом пространстве Еn верна «теорема Пифагора»: если x и y орто-

гональны, то

x + y 2 = x 2 + y 2 .

Определение. Угол между ненулевыми векторами x и y определяется равенством

cosϕ = (x, y) .

x y

Можно доказать, что в любом пространстве Еn справедливо неравенство КошиБуняковского:

(x, y)2 ≤ x 2 y 2 ,

откуда следует, что

62

ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА

x(x2, y)y2 2 ≤1

или, что то же самое,

−1 ≤ x(x2, y)y2 2 ≤1

Это означает, что косинус угла между векторами из Еn по модулю, не превосходит единицы. Если x и y – ненулевые векторы из Еn, то ортогональность означает, что угол ϕ

между ними равен π . Ненулевой вектор x пространства Еn, называется нормированным

2

если его норма равна единице. Любой ненулевой вектор можно умножить на некоторое число так, что в результате получится нормированный вектор. Действительно, пусть

x En – ненулевой вектор. Тогда (αx,αx)=α2 (x, x) и достаточно взять α таким, чтобы

α = (x1, x) = 1x

Число α называется нормирующим множителем для вектора x .

Определение. Система векторов a1, a2 ,..., ak пространства Еn называется ортого-

нальной, если векторы этой системы попарно ортогональны.

Система векторов a1, a2 ,..., ak называется ортонормированной, если векторы этой системы попарно ортогональны и имеют норму, равную единице, т.е. если

Следовательно, λ1 = 0 . Аналогично, умножая (5.6.3) на a2 , получим что λ2 = 0 и т.д. Таким образом, мы доказали, что a1, a2 ,..., ak линейно независимы.

Рассмотрим процесс ортогонализации векторов. Он состоит в том, что из заданных линейно независимых векторов a1, a2 ,..., am (m ≤ n) строятся m попарно ортогональных

векторов b1,b2 ,...,bm . Положим b1 = a1 . Вектор b2 будем искать в виде b2 = a2 +λ21b1 . Число

63

ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА

Допустим теперь, что попарно ортогональные и отличные от нуля векторы b1,b2 ,...,bm−1 уже построены. Вектор bm ищем в виде:

bm = am + λm1b1 +... + λm,m−1bm−1 ,

т.е. вектор bm мы получаем из вектора am «исправлением» его с помощью линейной ком-

Докажем теперь, что построенный вектор bm отличен от нуля. Вектор bm есть линейная комбинация векторов b1,b2 ,...,bm , am . Но вектор bm−1 можно заменить линейной комбинацией вектора am−1 и векторов b1,b2 ,...,bm−2 и т.д. Окончательно мы получаем, что

откуда следует, что bm ≠ 0 . Действительно, в противном случае левая часть равенства (5.6.5) была бы равна 0 , что противоречит линейной независимости векторов a1, a2 ,..., am (коэффициент при am равен единице). Таким образом, доказано, что am ≠ 0 . По векторам и am построен вектор bm . Таким же образом, по векторам b1,b2 ,...,bm , am+1 , можно построить вектор bm+1 . Продолжая этот процесс, можно по заданной системе n ли-

нейно независимых векторов в Еn построить систему n ненулевых ортогональных векторов. Докажем следующую теорему.

Теорема. Во всяком евклидовом пространстве Еn существуют ортонормированные базисы.

Доказательство. По определению n-мерного векторного пространства в нем существует некоторый базис a1, a2 ,..., an . С помощью процесса ортогонализации из него можно

построить ортогональный базис b1,b2 ,...,bn . Если теперь каждый вектор bi ,i =1, n разделить на его норму, то получится ортонормированный базис, образованный векторами

Найдем выражение скалярного произведения в координатах. Пусть е1,е2 ,..., еn произвольный базис пространства Еn и

64

ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА

x = x1e1 + x2e2 +... + xnen , y = y1e1 + y2e2 +... + ynen .

Тогда

базисе скалярное произведение (x, x)= x12 + x22 +... + xn2 , то этот базис ортонормированный. Пусть е1,е2 ,..., еn – ортонормированный базис в Еn и x = x1e1 + x2e2 +... + xnen . Умножив обе части последнего равенства скалярно на ei получим (x, ei )= xi , т.е. i-я коорди-

ната вектора x в ортонормированном базисе равна скалярному произведению x на единичный вектор ei . Это скалярное произведение называется ортогональной проекцией

вектора x на вектор ei . Таким образом, координаты вектора в ортонормированном базисе

– это его проекции на базисные векторы.

Определим в пространстве Еn расстояние между векторами. Расстояние ρ(x, y) между векторами x и y определяется как норма вектора (x − y):

ρ(x − y)= (x − y) = ((x − y),(x − y))= (x, x)−2(x, y)+(y, y).

Из определения расстояния следует, что

1) ρ(x, y)= ρ(y, x);

65

ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА

Находим нормы векторов b1,b2 ,b3 .

Нормируем векторы b1,b2 ,b3 . Получим ортонормированный базис:

5.7. Ортогональные преобразования

Рассмотрим свойства матрицы перехода от одного ортонормированного базиса к другому ортонормированному базису в пространстве Еn. Введем понятие ортогональной матрицы.

Определение. Матрица Т с вещественными элементами называется ортогональной,

Линейное преобразование Y=ТХ с ортогональной матрицей Т называется ортогональным. Так как T = ±1, то ортогональное преобразование всегда невырожденное.

Теорема. Ортогональное преобразование координат не изменяет скалярного произведения векторов.

Следствие 1. Ортогональное преобразование не меняет норм векторов и углов между векторами.

Следствие 2. Ортогональное преобразование переводит ортонормированный базис в ортонормированный.

Следствие 3. Матрица Т перехода от одного ортонормированного базиса к другому ортонормированному базису является ортогональной.

Следствие 4. Матрица Т, приводящая симметричную матрицу А к диагональному виду, является ортогональной.

66

ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА

5.8. Выпуклые множества

Рассмотрим совместную систему линейных уравнений

j=1

укоторой ранг r матрицы A = (aij )n,m меньше n , и пусть k=n-r.

Определение. Множество точек x = (x1, x2 ,..., xn )T из Еn, координаты которых

удовлетворяют системе уравнений (5.8.1), называется k-мерной плоскостью. Одномерные плоскости называются прямыми, а (n-1)-мерные плоскости – гиперплоскостями.

Очевидно, что каждую гиперплоскость можно задать всего одним линейным уравнением:

a1x1 + a2 x2 +... + an xn = b .

В трехмерном пространстве Е3 гиперплоскости – это обычные плоскости, а в Е2 –

для всех 0 ≤α ≤1. Например, в Е2 выпуклый отрезок, полупрямая, круг, треугольник, полуплоскость и вся плоскость.

Определение. Множество Х точек пространства Еn называется ограниченным, если координаты всех его точек x = (x1 , x2 ,..., xn )T в некотором базисе ограничены.

Пусть в пространстве задана гиперплоскость a1x1 + a2 x2 +... + an xn = b . Все точки из

Еn разбиваются этой гиперплоскостью на два полупространства: Х1 – множество точек, для которых a1x1 + a2 x2 +... + an xn ≥ b и X 2 – множество точек, для которых

a1x1 + a2 x2 +... + an xn ≤ b .

Теорема. Каждое полупространство пространства Еn является выпуклым множеством. Доказательство. Пусть точки a = (α1,α2 ,...,αn ) и b = (β1, β2 ,..., βn ) из Еn принадле-

жат, например, полупространству Х1. Тогда

a1α1 + a2α2 +... + anαn ≥ b a1β1 + a2β2 +... + an βn ≥ b

Если x = (x1, x2 ,..., xn )T – произвольная точка отрезка [a,b ], то xi = λ1αi +λ2 βi , i =1, n, где λ1, λ2 ≥ 0, λ1 +λ2 =1.

Для этой точки x имеем:

a1x1 + a2 x2 +... + an xn = a1(λ1α1 +λ2β1 )+ a2 (λ1α2 +λ2β2 )+... + an (λ1αn +λ2βn )= = λ1(a1α1 + a2α2 +... + anαn )+λ2 (a1β1 + a2β2 +... + an βn )≥

≥ λ1b +λ2b = (λ1 +λ2 )b = b

т.е. произвольная точка x отрезка [a,b ]принадлежит Х1. Теорема доказана.

67

ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА

Теорема. Пересечение любого числа выпуклых множеств есть множество выпуклое. Доказательство. Пусть X1, X 2 ,..., X k – выпуклые множества в Еn. Если

X = X1 ∩ X 2 ∩... ∩ X k состоит из одной точки, то оно выпукло. Если более чем из одной,

Пересечение этих полупространств, называемое выпуклой многогранной областью, опре-

деляет множество решений системы линейных неравенств (5.8.2). Если это пересечение ограничено, оно называется выпуклым многогранником в Еn.

Определение. Последовательность {xm } точек в Еn сходится к точке x при m → ∞,

если

lim xm − x = 0 .

m→∞

Множество Nε (x)={y : y − x ≤ b}называется ε окрестностью точки x En . Определение. Множество X En называется замкнутым, если оно содержит все

свои предельные точки.

Определение. Точка x X из Еn называется внутренней точкой множества Х, если существует такая ее ε -окрестность, все точки которой принадлежат множеству Х.

Определение. Точка x X из Еn называется граничной точкой множества Х, если любая ее ε -окрестность содержит как точки, принадлежащие множеству Х, так и точки, ему не принадлежащие. Множество, состоящее из всех граничных точек множества Х, на-

Например, любая внутренняя точка круга является выпуклой комбинацией концов хорды, проходящей через эту точку.

Теорема (о представлении). Любая точка x выпуклого замкнутого, ограниченного множества X En может быть представлена в виде выпуклой комбинации конечного

числа крайних точек этого множества.

Пример. Используя теорему о представлении, выразить точку x = (6, 3)T в виде выпуклой комбинации крайних точек множества X E2 , заданного системой неравенств

−4x1 +7x2 ≤13 6x1 − x2 ≤ 47 x1 +3x2 ≤11

68

ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА

Решение. Очевидно, что множество Х выпукло. Множество Х (рис.5.1)

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

В координатной форме получим два уравнения: 2λ1 +9λ2 +8λ3 = 6 3λ1 +7λ2 +λ3 = 3

Добавляя к данной системе условие λ1 + λ2 + λ3 =1, получим систему трех линейных уравнений с тремя неизвестными. Решая систему методом Жордана-Гаусса, получаем