Линейная алгебра
.pdf
КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ
∆ = с |
> 0, ∆ |
|
= |
|
c11 |
c12 |
|
> 0,..., ∆ |
|
= |
c11....c1k |
> 0,..., ∆ |
|
=| c |> 0 . |
|
|
|
|
|
||||||||||
2 |
|
|
k |
............ |
n |
|||||||||
1 11 |
|
|
|
c21 |
c22 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ck1...ckk |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Доказательство. Используем индукцию по числу переменных, входящих в f (x) . Для квадратичной формы, зависящей от одной переменной x1 , f (x1) = а11x12 и утвержде-
ние теоремы очевидно. Положим, что утверждение теоремы справедливо для квадратичной формы f (x) , зависящей от n-1 переменных x1, x2 ,..., xn−1 .
1. Доказательство необходимости. Пусть
n−1n−1 |
n |
f (x) = ∑∑cij xi x j + 2∑cin xi xn − cnn xn2 |
|
i=1 j=1 |
i=1 |
положительно определена. Тогда квадратичная форма |
|
|
n−1 n−1 |
ϕ(x1, x2 ,..., xn−1 ) = ∑∑cij xi x j |
|
|
i=1 j=1 |
будет положительно определенной, |
так как если ϕ(x') ≤ 0 при x'= (x1, x2 ,..., xn−1 ) , то при |
|||||||||||||||
x = (x1, x2 ,..., xn−1,0) |
|
f (x) ≤ 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
По предположению индукции все главные миноры формы ϕ(x') положительны, т.е. |
||||||||||||||||
∆ |
|
= с |
> 0,∆ |
|
= |
|
c11 |
c12 |
|
> 0,...,∆ |
|
= |
|
c11....c1,n−1 |
|
> 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||
1 |
2 |
|
|
n−1 |
|
............ |
|
|||||||||
|
11 |
|
|
c21 |
c22 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cn−1,1...cn−1,n−1 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Остается доказать, что ∆n =| c |> 0 .
Положительно определенная квадратичная форма f (x) невырожденным линейным
преобразованием Х=ВY приводится к каноническому виду
f ( y) = d1 y12 + d2 y22 +... + dn yn2 ,гдеd1 > 0,d2 > 0,..., dn > 0 .
Квадратичной форме f ( y) соответствует диагональная матрица
d |
0 |
... |
0 |
|
|
|
1 |
d2 |
... |
0 |
|
|
0 |
|
|||
D = |
|
... |
... |
... |
|
... |
|
||||
|
0 |
0 |
... |
|
|
|
dn |
||||
с определителем | D |> 0 . |
|
|
|
|
|
Линейное преобразование, заданное невырожденной матрицей В, преобразует матрицу С квадратичной формы в матрицу D = BT CB, откуда| D |=| BT | | C | | B |=| C | | B |2 . Но
так как | B |≠ 0 и| D |> 0, то | c |= ∆n > 0 .
2. Доказательство достаточности. Предположим, что все главные миноры квадратичной формы положительны: ∆1 > 0,∆2 > 0,..., ∆n−1 > 0,∆n =| c |> 0 .
Докажем, что квадратичная форма |
f (x) |
положительно определена. Из предполо- |
жения индукции вытекает положительная |
определенность квадратичной формы |
|
ϕ(x1, x2 ,..., xn−1 ) . Поэтому ϕ(x1, x2 ,..., xn−1 ) |
невырожденным линейным преобразованием |
|
91
КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ
приводится к нормальному виду ϕ( y , y |
2 |
,..., y |
n−1 |
) = y2 |
+ y2 |
+... + y2 |
. Сделав соответст- |
||
1 |
|
1 |
2 |
|
n−1 |
|
|||
вующую замену переменных x1, x2 ,..., xn−1 и положив xn = yn , получим |
|||||||||
|
|
n−1 |
|
n |
|
|
|
|
|
f ( y1, y2 ,..., yn ) = ∑yi2 + 2∑bin yi yn + cnn yn2 , |
|
||||||||
|
|
i=1 |
|
i=1 |
|
|
|
|
|
где bin ,i =1,2,..., n −1 – какие-то новые коэффициенты. |
|
|
|
|
|
||||
Осуществляя замену переменных zi = yi |
+ bin yn ,i = |
|
|
||||||
1,n −1, zn = yn , получим |
|||||||||
n−1
f (z1, z2 ,..., zn ) = ∑zi2 + dn zn2 .
i=1
Определитель матрицы этой квадратичной формы равен dn , а так как знак его совпадает со знаком ∆n , то dn > 0 , и, значит, квадратичная форма f (x1, x2 ,..., xn ) – положи-
тельно определена. Теорема доказана.
Для того чтобы квадратичная форма f (x) была отрицательно определенной, необходимо и достаточно, чтобы
nn
−f (x) = ∑∑(−cij )xi x j
i=1 j=1
была положительно определенной, а значит, чтобы все главные миноры матрицы
|
− с |
− с |
... |
|
11 |
12 |
|
|
− с21 |
− с22 ... |
|
|
|
... ... |
|
... |
|||
|
− сn1 |
− сn2 ... |
|
|
|||
были положительны. Но это означает, что
−с1n
−с2n
−...сnn
|
|
|
|
|
|
c11 |
c12 |
|
|
|
c11 |
c12 |
c13 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
∆ |
1 |
= с |
< 0,∆ |
2 |
= |
> 0,∆ |
3 |
= |
c |
21 |
c |
22 |
c |
23 |
< 0,... |
||
|
11 |
|
|
c21 |
c22 |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c31 |
c32 |
c33 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
т.е. что знаки главных миноров матрицы C чередуются, начиная со знака минус.
Пример. Вычислить, является ли квадратичная форма положительно (отрицательно) определенной или неопределенной.
а) f = 2x2 |
+ x2 |
+11x2 − 2x x |
2 |
+ 4x x |
3 |
− 6x |
2 |
x |
3 |
. |
|
|
|
|
|||||||
1 |
2 |
3 |
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Решение. Матрица квадратичной формы f |
|
имеет вид: |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
−1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
С = |
|
|
−3 . |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
− 3 |
|
11 |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Вычислим главные миноры матрицы С: |
|
|
|
|
|
2 |
−1 |
2 |
|
||||||||||||
|
∆1 = 2 > 0,∆2 |
= |
|
2 −1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
=1 > 0,∆ |
3 = |
−1 1 −3 |
=1 > 0. |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
−1 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
−3 |
11 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Квадратичная форма положительно определена. |
|
|
|
||||||||||||||||||
б) f = 3x2 |
+ x2 |
+ 5x2 + 4x x |
2 |
|
−8x x |
3 |
− 4x |
2 |
x |
3 |
. |
|
|
|
|
|
|||||
1 |
2 |
3 |
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
92
КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ
Решение. Вычислим главные миноры матрицы
|
3 |
2 |
− 4 |
|
|
2 |
1 |
− 2 |
|
С = |
|
|||
|
− 4 |
− 2 |
5 |
|
|
|
|
3 |
2 |
|
|
|
3 |
2 |
− 4 |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|||||||||
∆1 =3 > 0,∆2 = |
|
= −1 < 0,∆3 = |
|
2 |
1 |
− 2 |
|
= −1 < 0. |
||
|
2 |
1 |
|
|
|
− 4 |
− 2 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Квадратичная форма является неопределенной. В заключение сформулируем следующую теорему.
Теорема (закон инерции квадратичных форм). Число положительных и число отрицательных квадратов в нормальном виде, к которому приводится квадратичная форма невырожденными линейными преобразованиями, не зависит от выбора этих преобразований.
7.5.Задания для самостоятельной работы по главе 7
7.1.Доказать, что если квадратичная форма с матрицей А положительно определена, то и квадратичная форма с обратной матрицей A-1 положительно определена.
7.2.Найти нормальный вид в области вещественных чисел
x12 + x22 +3x32 + 4x1x2 + 2x1x3 + 2x2 x3 .
7.3. Найти нормальный вид в области вещественных чисел
x12 −2x22 +3x32 + 2x1x2 + 4x1x3 + 2x2 x3 .
7.4. Найти нормальный вид в области вещественных чисел
x12 −3x32 −2x1x2 + 2x1x3 −6x2 x3 .
7.5. Найти нормальный вид в области вещественных чисел x1x2 + x1x3 + x1x4 + x2 x3 + x2 x4 + x3 x4 .
7.6. Найти нормальный вид в области вещественных чисел
x12 + 2x22 + x42 + 4x1x2 + 4x1x3 + 2x1x4 + 2x2 x3 + 2x2 x4 + 2x3 x4 .
7.7. Привести квадратичную форму к каноническому виду с целыми коэффициентами
2x12 +3x22 + 4x32 −2x1x2 + 4x1x3 −3x2 x3 .
7.8. Привести квадратичную форму к каноническому виду с целыми коэффициентами
3x12 − 2x22 + 2x32 + 4x1x2 −3x1x3 − x2 x3 .
7.9. Привести квадратичную форму к каноническому виду с целыми коэффициентами
12 x12 + 2x22 +3x32 − x1x2 + x1x3 − x2 x3 .
93
КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ
7.10.Доказать, что в положительно определенной форме все коэффициенты при квадратах неизвестных положительны и что это условие не является достаточным для положительной определенности формы.
7.11.Выяснить, какие из форм эквивалентны между собой в области вещественных
чисел
f = x2 |
− x |
2 |
x ; |
f |
2 |
= y y |
2 |
− y2 |
; |
f |
3 |
= z z |
2 |
+ z2 . |
|
1 |
1 |
|
3 |
|
1 |
3 |
|
|
1 |
3 |
|||||
7.12. Выяснить, какие из форм эквивалентны между собой в области вещественных
чисел
f = x2 |
+ 4x2 |
+ x2 + 4x x |
2 |
−2x x ; |
|
|
|
|
|
||||||||
|
1 |
1 |
|
2 |
|
3 |
1 |
|
1 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
f |
2 |
= y2 |
+ 2 y2 |
− y2 |
+ 4 y y |
2 |
−2 y y −4y |
2 |
y ; |
||||||||
|
1 |
|
2 |
|
3 |
1 |
|
|
1 |
3 |
|
3 |
|
||||
f |
3 |
= −4z2 |
− z |
2 − z2 |
−4z z |
2 |
+ 4z z |
3 |
+18z |
2 |
z |
. |
|||||
|
|
1 |
2 |
3 |
1 |
|
|
1 |
|
|
3 |
|
|||||
7.13. Найти все значения параметра λ , при которых квадратичная форма положительно определена
5x12 + x22 + λx32 + 4x1x2 − 2x1x3 −2x2 x3
7.14. Найти все значения параметра λ , при которых квадратичная форма положительно определена
2x12 + x22 +3x32 + 2λx1x2 + 2x1x3
7.15. Найти все значения параметра λ , при которых квадратичная форма положительно определена
x12 + x22 +5x32 + 2λx1x2 − 2x1x3 + 4x2 x3
94
ПРИМЕНЕНИЕ МАТРИЧНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ К РЕШЕНИЮ НЕКОТОРЫХ ЭКОНОМИЧЕСКИХ ЗАДАЧ
Глава 8. Применение матричного исчисления к решению некоторых экономических задач
8.1. Использование операций над матрицами
Пример 1. Рассмотрим пример умножения матрицы на вектор. Анализируя продолжительность подписки на различные газеты, исследователи охарактеризовали вероятности перехода подписчика от одной газеты к другой в зависимости от продолжительности подписки с помощью соответствующей матрицы. Упрощенный вариант этой матрицы имеет вид:
|
0 |
0.7 |
0 |
0.3 |
|
|
0 |
0 |
0.8 |
0.2 |
|
P = |
0 |
0 |
0.9 |
|
. |
|
0.1 |
||||
0 |
0 |
0 |
1 |
|
|
В этой матрице для вероятностей перехода данные структурированы в соответствии с продолжительностью подписки: до одного года, от одного года до двух лет, более двух лет и, наконец, аннулированные подписки.
Предположим, что известно распределение 1000 подписчиков по этим категориям: 500 – принадлежат к 1-й категории, 200 – ко 2-й категории, 300 – к 3-й категории. Тогда вся группа, состоящая из 1000 подписчиков, может быть описана вектором-строкой:
X ′ = (500,200,300,0)
Для того чтобы определить вероятностное количество подписчиков в каждой из категорий через год, умножим X ′ на матрицу вероятностей перехода P:
|
0 |
0.7 |
0 |
0.3 |
|
|
0 |
0 |
0.8 |
0.2 |
|
X ′ P = (500,200,300,0) |
= (0,350,430,220) . |
||||
|
0 |
0 |
0.9 |
0.1 |
|
0 |
0 |
0 |
1 |
|
|
Вектор, полученный после умножения, показывает, что из первоначальной тысячи подписчиков через год 350, вероятно, будут принадлежать к категории 2, 430- к категории 3 и 220 к категории 4.
Пример 2. Некоторое производственное объединение должно выпустить три вида продукции А1, А2, А3 в количествах, выраженных в процентах к плану, соответственно: 20%, 30% и 50%.
В объединении участвуют четыре предприятия, причем по плану предприятие №1 должно выпустить 30% всей продукции А1, 40% всей продукции А2 и 10% всей продукции А3. План для остальных предприятий соответственно следующий:
Номер предприятия |
А1 |
А2 |
А3 |
|
|
|
|
предприятие №2 |
40% |
10% |
30% |
предприятие №3 |
30% |
20% |
30% |
предприятие №4 |
0% |
30% |
30% |
Требуется найти процент выполнения плана объединения каждым предприятием.
95
ПРИМЕНЕНИЕ МАТРИЧНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ К РЕШЕНИЮ НЕКОТОРЫХ ЭКОНОМИЧЕСКИХ ЗАДАЧ
Решение: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Для |
решения задачи применим операции над матрицами. Обозначим через |
||||||||||||
x j , j = |
|
|
количество продукции выпускаемой по плану j-ым предприятием, тогда полу- |
||||||||||
1,4 |
|||||||||||||
чим следующее матричное уравнение: |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
x |
|
|
0.3 |
0.4 |
0.1 |
|
0.2 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
0.4 |
0.1 |
0.3 |
|
|
|||
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
x |
|
= |
0.3 |
0.2 |
0.3 |
|
|
0.3 |
|
100% |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
0.5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0.3 |
0.3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x4 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
Выполнив операцию умножения матриц в правой части, будем иметь следующие значения x j :
x1 = 23%, x2 = 26%, x3 = 27%, x4 = 24%..
Матричная алгебра находит большое применение при балансовых расчетах. Пусть в народном хозяйстве имеется n отраслей. Проанализируем взаимоотноше-
ния между ними. Они выражаются в виде поставок друг другу соответствующей продукции (в денежном выражении) в течение некоторого периода, например, одного года.
Для i-ой отрасли часть продукции xi1 идет на потребление первой отраслью, xi2 – второй и т.д. Вообще xij – материальные затраты i-ой отрасли, потребляемые j-той отраслью (xij ≥ 0) ; xii – внутреннее потребление i-ой отрасли (очень часто xii = 0).
Пусть yi – стоимость товаров i-ой отрасли, идущих на непроизводственное потребление (личное и общественное), накопление и экспорт – «конечный спрос».
Стоимость всего производства (валовая продукция) i-ой отрасли xi равна сумме
соответствующих затрат:
xi = xi1 + xi2 +... + xii +... + xij +... + xin + yi
Межотраслевые взаимоотношения записываются в виде системы уравнений:
|
|
n |
|
||
|
|
xi = ∑xij + yi , где i = |
1, n |
. |
(8.1.1) |
|
|
j =1 |
|
||
Коэффициент a = |
xij |
показывает количество продукции i-ой отрасли, используе- |
|||
ij |
x j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
xi = ∑aij x j + yi , где |
i = |
1, n |
. |
|
|
|
j =1 |
(8.1.2) |
|||
или в матричной форме |
||||||
|
|
|
||||
где A = (a |
) |
X = AX +Y |
|
|
|
|
– матрица прямых затрат. |
|
|
|
|||
ij |
n×n |
|
|
|
||
Уравнение (8.1.2) межотраслевых связей можно записать в другом виде: |
||||||
|
|
(E − A) X =Y |
(8.1.3) |
|||
96
ПРИМЕНЕНИЕ МАТРИЧНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ К РЕШЕНИЮ НЕКОТОРЫХ ЭКОНОМИЧЕСКИХ ЗАДАЧ
Определим, сколько продукции должна выпускать каждая отрасль, если известен «конечный спрос» отраслей. Решим матричное уравнение (8.1.3) относительно Х. Для этого умножим его на обратную матрицу (E − A)−1 слева:
(E − A)−1 (E − A) X = (E − A)−1 Y , |
|
|
||||
Матрица S = (E − A)−1 = (S |
) |
X = (E − A)−1 Y . |
|
|
||
называется матрицей полных затрат. Элемент |
S |
ij |
||||
|
ij n×n |
|
|
|
||
показывает количество валовой продукции i-ой отрасли, затрачиваемое на единицу конечной продукции j-ой отрасли. Матрица S–A называется матрицей косвенных затрат.
Пример 3. Рассмотрим систему двух отраслей экономики: промышленности и сельского хозяйства. Пусть матрица прямых затрат имеет вид:
|
0.4 |
0.5 |
|
, |
A = |
|
|
|
|
|
0.3 |
0.2 |
|
|
|
|
|
и задан «конечный спрос» каждой отрасли соответственно 330 тыс. руб. и 66 тыс. руб. Каков должен быть валовой выпуск каждой отрасли?
Решение:
Составим матрицу E–A:
|
1 |
0 |
|
|
0.4 |
0.5 |
|
|
0.6 |
−0.5 |
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
= |
|
|
|
|
0 |
1 |
|
|
0.3 |
0.2 |
|
|
−0.3 |
0.8 |
|
|
|
|
|
|
|
Найдем обратную матрицу для (E − A)−1 с помощью присоединенной матрицы: Определитель (E − A) = 0.48 −0.15 = 0.33,
|
|
|
|
|
(E − |
|
|
|
0.8 |
0.5 |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
A) |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0.3 |
0.6 |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Матрица полных затрат будет следующей: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
80 |
50 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−1 |
|
|
33 |
33 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
S = (E − A) |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
= |
30 |
60 |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
33 |
33 |
|
|
|
|
|||||
Валовой выпуск каждой отрасли составляет: |
(E − A)−1 Y = X |
||||||||||||||||||||
|
80 |
50 |
|
|
330 |
|
|
80 |
330 |
|
50 |
|
|
|
|
900 |
|
||||
|
33 |
33 |
|
|
|
|
33 |
+ |
33 |
66 |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
||||||
30 |
60 |
|
|
66 |
|
|
10 |
|
|
|
|
20 |
|
|
|
|
420 |
|
|||
|
|
330 |
+ |
66 |
|
|
|||||||||||||||
|
|
33 |
|
|
|
|
|
11 |
11 |
|
|
|
|
||||||||
33 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Таким образом, выпуск промышленности составляет 900 тыс. руб., а сельского хозяйства – 420 тыс. руб.
Матрица косвенных затрат имеет вид:
|
80 |
50 |
|
|
2 |
1 |
|
|
|
334 |
67 |
|
||||
(S − A)= |
|
33 |
33 |
|
|
|
5 |
2 |
|
|
|
165 |
66 |
|
||
|
|
|
|
|
= |
|
|
|||||||||
|
10 |
20 |
|
|
3 |
1 |
|
|
67 |
|
89 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
11 |
11 |
|
10 |
5 |
|
110 |
55 |
||||||||
97
ПРИМЕНЕНИЕ МАТРИЧНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ К РЕШЕНИЮ НЕКОТОРЫХ ЭКОНОМИЧЕСКИХ ЗАДАЧ
8.2. Модель планирования производства
Имеется определенное количество изделий (деталей, полуфабрикатов, узлов), которые необходимы для производства других изделий, в том числе конечной продукции. Между отдельными изделиями должны соблюдаться технологические соотношения. Например:
Детали
Узлы
Изделия
Рис. 1.
Стрелки и числа на них показывают, сколько единиц i-го изделия необходимо для изготовления единицы j-го изделия. В общем виде эта информация может быть представлена в виде матрицы затрат:
A = (aij )n,n .
Если, кроме того, требуется определенное количество деталей и узлов в качестве запасных частей, то для построения математической модели целесообразно также ввести
X = (x1, x2 ,..., xn )T – общий выпуск,
Y = ( y1, y2 ,..., yn )T – конечный выпуск. Тогда
x1 = y1 + a11x1 + a12 x2 +... + a1n xn x2 = y2 + a21x1 + a22 x2 +... + a2n xn
.......................................................
xn = yn + an1x1 + an2 x2 +... + ann xn
X = Y + A X
Если задан конечный выпуск, а требуется найти общий выпуск, то задача состоит в том, чтобы разрешить эту систему относительно Х:
X − A X =Y E X − A X =Y (E − A) X =Y
X = (E − A)−1 Y
98
ПРИМЕНЕНИЕ МАТРИЧНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ К РЕШЕНИЮ НЕКОТОРЫХ ЭКОНОМИЧЕСКИХ ЗАДАЧ
8.3.Модель планирования материальных затрат
1.Расчет общих затрат материалов.
Для того чтобы заготовить нужное количество сырья и материалов, необходимо прежде всего рассчитать общие материальные затраты на предприятии.
Обозначим через bkj – затраты материалов k-го вида на производство одного изделия
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
||
j-го вида (k =1, m; j =1, n) , а через bk = ∑bkj X j |
– общие затраты материалов k-го вида. |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
j =1 |
|
|
|
|
|
|
||
Если объединить все b |
в вектор |
|
= (b ,b ,...,b )T , а все |
b |
в матрицу B = (b ) |
|
, |
||||||
b |
m,n |
||||||||||||
|
|
|
|
k |
|
|
|
1 2 |
m |
kj |
kj |
|
|
то имеет место равенство
b = B x ,
где B – матрица материальных затрат,
b – вектор суммарных материальных затрат.
ПодставивХ из(8.1.1) получим формулу для вектора суммарных материальных затрат
|
|
|
|
|
|
|
|
= B (E − A)−1 Y |
|
(8.3.1) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
b |
||||||||
2. |
Расчет суммарной стоимости затраченных материалов. |
|
|||||||||||||
|
|
Если заданы цены всех материалов Pk (k = |
|
) , то суммарная стоимость всех за- |
|||||||||||
1, m |
|||||||||||||||
траченных материалов вычисляется по формуле: |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
K = |
|
T |
|
= |
|
T B (E − A)−1 Y |
(8.3.2) |
||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
P |
b |
P |
|||||||||
где |
|
T = (P , P ,..., P ) . |
|
||||||||||||
P |
|
||||||||||||||
|
|
|
1 2 |
m |
|
||||||||||
3. |
Расчет стоимости затрат по каждому виду материалов. |
|
|||||||||||||
Если требуется определить стоимость затрат по каждому виду материалов, то целесообразно использовать не вектор, а диагональную матрицу цен, т.е.
|
P |
0 |
... |
0 |
|
|
1 |
P |
... |
0 |
|
|
0 |
|
|||
P = |
|
2 |
... |
... |
. |
... ... |
|
||||
|
0 |
0 |
... |
P |
|
|
|
|
|
m |
|
Вектор K стоимости затрат по каждому виду материалов получается следующим образом:
|
|
= P |
|
= P B (E − A)−1 Y |
(8.3.3) |
|
K |
b |
Пример: Рассчитать материальные затраты для схемы, изображенной на рис.1., если заданы:
Y = (3,1,5,7,9,10) – конечный выпуск,
|
3 |
5 |
2 |
0 |
0 |
1 |
|
|
|
2 |
0 |
6 |
3 |
0 |
4 |
|
|
|
|
|
||||||
|
1 |
4 |
0 |
0 |
3 |
2 |
|
– матрица материальных затрат, |
B = |
0 |
6 |
2 |
4 |
2 |
1 |
|
|
|
|
|
||||||
|
2 |
4 |
3 |
0 |
0 |
3 |
|
|
|
|
|
||||||
|
1 |
5 |
3 |
2 |
6 |
3 |
|
|
|
|
|
P = (12,3,6,10,4,3) – вектор цен.
99
ПРИМЕНЕНИЕ МАТРИЧНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ К РЕШЕНИЮ НЕКОТОРЫХ ЭКОНОМИЧЕСКИХ ЗАДАЧ
Решение:
x1 = 2x4 +3x5 +2x6 + y1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
x |
= x + x |
+ x |
+ y |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
2 |
4 |
5 |
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x3 = 2x5 + y3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
x |
=3x |
+ y |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
= 4x |
+ y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
6 |
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= y6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 0 2 3 2 |
|
|
|
|
|
1 0 0 |
−2 −3 −2 |
|||||||||
|
|
|
|
0 |
0 0 1 1 1 |
|
|
|
|
|
|
|
0 1 0 |
−1 −1 −1 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
0 |
0 0 0 2 0 |
|
|
|
|
|
|
|
0 0 1 |
0 |
−2 0 |
|
||||
|
|
A = |
|
|
|
E |
− A = |
|
|
|||||||||||
|
|
0 |
|
|
; |
0 0 0 |
1 |
|
|
; |
||||||||||
|
|
|
0 0 0 0 3 |
|
|
|
|
|
0 −3 |
|||||||||||
|
|
|
|
0 |
0 0 0 0 4 |
|
|
|
|
|
|
|
0 0 0 |
0 |
1 −4 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
0 |
0 0 0 0 0 |
|
|
|
|
|
|
|
0 0 0 |
0 |
0 |
1 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
0 |
|
0 |
2 |
3 |
20 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
1 |
|
0 |
1 |
1 |
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
−1 |
|
|
0 |
0 |
|
1 |
0 |
2 |
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(E − A) |
= |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
|
0 |
1 |
0 |
3 |
; |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
|
0 |
0 |
1 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
|
0 |
0 |
0 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
24497
X = (E − A)−1 Y = 103 – общий выпуск,
37
4910
14331257
b = B x = 799 – общая потребность в материалах,
1044
1215
1436
14331257
K = PT b = (12,3,6,10,4,3) 799 = 45369 – общаястоимостьматериальныхресурсов,
1044
12151436
100