Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Московский государственный университет экономики, статистики и информатики (МЭСИ)

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Линейная алгебра

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

05.06.2015

Размер:

1.13 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 139 10 11 12 13 > Следующая >>>

ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ

Теорема. Если в качестве базиса пространства Rn принять n линейно независимых
собственных векторов, то оператору	~		в этом базисе соответствует диагональная матрица
	А
		λ	0		...	0
		1	λ		...	0
		0
				2	...	...	.
	...		...
		0	0		...
						λn

Доказательство.

Рассмотрим произвольный вектор

Rn и базис,

составлен-

ный из

собственных векторов

(1) ,

(2) ,...,

(n)

этого

пространства.

Тогда

= x

(1) + x

(2) +... + x

(n) , где x , x

,..., x

–

координаты

вектора

базисе

(1) ,

(2) ,...,

(n) .

Применяя

вектору

оператор

получим

или

А,

y = A(x)

~ n

( j)

) .

y = A∑x j x

= ∑x j A(x

j=1

, – собственный вектор, то A~(

Так как

( j) , j =

j ) = λj

( j) .

1,n

Тогда

( j)

= ∑x j λj

(6.3.7)

j=1

Из (6.3.7) имеем

y1 = λ1x1 ,

= λ2 x2 ,

(6.3.8)

…………

= λn xn .

Равенства

(6.3.8)

означают,

что

матрица

линейного оператора

базисе

(1) ,

(2) ,...,

(n)

имеет вид

0 ...

...

... ... ...

0 ...

Теорема доказана.

λn

Определение.

Линейный оператор

в пространстве Rn

называется оператором

простой структуры, если он имеет n линейно независимых собственных векторов.

Очевидно, что операторы простой структуры, и только они, имеют диагональные матрицы в некотором базисе. Этот базис может быть составлен лишь из собственных век-

торов оператора ~ . Действие любого оператора простой структуры всегда сводится к

«растяжению» координат вектора в данном базисе.

ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ

6.4. Задания для самостоятельной работы по главе 6

6.1.–6.10. Найти собственные значения и собственные векторы линейных преобразований, заданных в некотором базисе матрицами:

	2		−1 2					0 1		0				4			−5 2
6.1.		5	−3	3	6.2.			−4	4	0						5	−7	3
													6.3.
								−2 1		2						6	−9 4
	−1		0 −2
	1		−3 3			1 −3				4				7			−12 6
6.4.			−6		6.5.			4 −7		8			6.6.				−19	10
	−2			13										10
		−1	−4 8					6 −7		7							−24 13
														12
		4	−5	7		1 0 0				0				1			0 0 0
							0 0 0			0					0		0 0 0
6.7.		1	−4	9	6.8.								6.9.
							0 0 0			0					1		0 0 0
		−4	0	5
							1 0 0			1					0		0 0 1

						3		−1	0			0
						1		1	0			0
					6.10.

						3		0	5		−3
						4		−1	3		−1

6.11.Доказать, что собственные векторы линейного преобразования, принадлежащие различным собственным значениям, линейно независимы.

6.12.Пусть x – собственный вектор линейного преобразования ϕ, принадлежащий собственному значению λ , и f (t) – функция, для которой преобразование f (ϕ) имеет

смысл (если ϕ в некотором базисе имеет матрицу А, то f (ϕ) определяется в том же базисе матрицей f (A), причем можно доказать, что f (ϕ) не зависит от выбора базиса). Доказать, что тот же вектор x будет собственным вектором преобразования f (ϕ), принадлежащим собственному значению f (λ).

6.13. Пусть x – собственный вектор линейного преобразования ϕ, принадлежащий собственному значению λ , и f (t) – многочлен. Доказать, что тот же вектор x будет собственным вектором преобразования f (ϕ), принадлежащим собственному значению f (λ). Иными словами, доказать, что из ϕx = λx следует f (ϕ)x = f (λ)x .

6.14. Найти собственные значения и собственные векторы линейного преобразования, являющегося дифференцированием многочленов степени ≤ n с вещественными коэффициентами.

6.15. Даны векторы

p1 = (1, 1, 1), p2 = (1, 2, 1), p3 = (3, 2, 1), p4 = (0, 2, 2),

где p1, p2 , p3 образуют новый базис, в базисе

e1 = (1, 0, 0), e2 = (0, 1, 0), e3 = (0, 0, 1).

Найти связь между новым и старым базисом. Найти координаты вектора p4 в новом базисе.

КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ

Глава 7. Квадратичные формы

7.1. Определение квадратичной формы

Определение. Квадратичной формой от n неизвестных х1, х2 ,..., хn называется ал-

гебраическая сумма, каждый член которой является либо квадратом одного из неизвестных, либо произведением двух различных неизвестных.

В общем виде квадратичная сумма может быть записана следующим образом:

f (х1, х2 ,..., хn ) = a11x12 + a12 x1 x2 +... + a1n x1xn + a22 x22 +... + a2n x2 xn +... + ann xn2

Коэффициенты aij в этой записи образуют треугольную матрицу. Однако эта форма записи неудобна.

Запишем f (x) в следующем виде:

f (х1, х2

,..., хn ) = с

x2 +с

x x

+... +с

x x

12 1

+с

+ +... +c

2 1

+................................................ +

+... +c

n 1

где сij = сji . Такую запись квадратичной формы назовем правильной. Матрица С = (сij )n,n

называется матрицей квадратичной формы. Очевидно, что С – симметрическая матрица. Квадратичная форма может быть записана более компактно, если использовать

матричные обозначения. Вынося х

из первой строки записи, х2 – из второй, …, хn – из

последней, получим

f (х1, х2 ,..., хn ) = x

(с

+с

+... +с

) +

+ x2 (с21x1 +с22 x2 +... +c2n xn ) +

+............................................. +

+ xn (cn1x1 +cn2 x2 +... +cnn xn ) =

c ...c

11 12

(x , x ,..., x )

...c

= X T CX .

21 22

.................

...c

n1 n2

Таким образом, квадратичная форма в матричной записи имеет вид

f (х , х

,..., х

) = X T CX ,

где X T = (х , х

,..., х

) , С –

симметрическая квадратная матрица порядка n, коэффициент

с , i =

которой равен коэффициенту при

, а коэффициент с

= с

,i ≠ j;i, j =

, по-

1, n

1,n

ловине коэффициента при произведении xixj.

Квадратичную форму f (х1, х2 ,..., хn ) можно представить и в виде скалярного про-

изведения векторов. Для этого введем

x = (х1, х2 ,..., хn ) .

Тогда f (x) = (x,Cx) .

КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ

Пример. Представить квадратичную форму

f (x) = 2x12 + 3x22 − 4x32 + 2x1x2 − x1x3 + 4x2 x3

в виде скалярного произведения векторов. Решение. Очевидно, что

	x						2		1		−	1
		1					2		1		−
x =	x2			,C =			1		3		22		.
		M						1
		M					−	1	2		− 4
							−	2	2		− 4
Тогда	xn							2
Тогда
					2			1	−	1
					2			1	−	2
f (x) =					1			3		2			.
f (x) =			x,		1			3	2			x
					−	1		2	−4
					−	2		2	−4

7.2. Линейное преобразование переменных в квадратичной форме

Пусть в квадратичной форме f (x) = X T CX делается линейное преобразование переменных х1, х2 ,..., хn :

n
хi = ∑bij y j ,i =	1,n	,	.
j=1			.
j=1
сматрицей B =(bij )n,n

В результате данного преобразования будет получена квадратичная форма, зависящая от новых переменных y1, y2 ,..., yn :

f ( y1, y2 ,..., yn ) = (Y T BT )C(BY ) =Y T (BT CB)Y .

Покажем, что квадратичная форма f ( y1, y2 ,..., yn ) автоматически получается пра-

вильно записанной. Для этого достаточно убедиться в том, что матрица						BT CB симмет-
рична. Действительно,
(BT CB)T = BT (BT C)T = BT CT (BT )T = BT CB .
Откуда следует симметричность матрицы BT CB .
Пример. Осуществить над квадратичной формой f (x) = 2x2				− 4x x	2	+ 3x2	линейное
преобразование, заданное матрицей			1	1	2	2
преобразование, заданное матрицей	1	2
	1	2
B =			.
	3	4
	3	4

Решение. Переменные х1, х2 матрицей В преобразуются в переменные y1, y2 . Связь между переменными выражается матричным уравнением

x	1		2	y	,
1	=			1	,
		3	4
x2		3	4	y2

откуда х1 = y1 + 2 y2 , х2 = 3y1 + 4 y2 .

КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ

В квадратичную форму f (x) вместо переменных х1 и х2 подставим их выражения через переменные y1 и y2 . Получим квадратичную форму

f ( y1, y2 ) = 2( y1 + 2 y2 )2 −4( y1 + 2 y2 )(3y1 + 4 y2 ) +3(3y1 + 4 y2 ) =

=17 y12 + 40 y1 y2 + 24 y22.

Определение. Квадратичная форма имеет канонический вид, если матрица С диагональна.

Из данного определения следует, что квадратичная форма в каноническом виде содержит только квадраты переменных и имеет вид

f (x) = c11x12 + c22 x22 +... + cnn xn2 .

Нормальным видом квадратичной формы называется сумма квадратов переменных с коэффициентами ±1 . Если f ( y1, y2 ,..., yn ) = ±d1 y12 ± d2 y22 ±... ± dn yn2 , то положив

zi = ± | di |yi , еслиdi ≠ 0,

zi = yi , еслиdi = 0,

получим f = ±z12 ± z22 ±... ± zn2 .

Теорема. Всякая квадратичная форма может быть приведена некоторым невырожденным линейным преобразованием к каноническому виду.

Доказательство. Обратимся к методу математической индукции по числу переменных. При n=1 квадратичная форма имеет канонический вид: f (x1 ) = a11x12 . Допустим,

что для квадратичной формы от числа переменных, меньше чем n, теорема доказана. Пусть

f (х1, х2 ,..., хn ) = с11x12 +с12 x1 x2 +... +с1n x1xn +с21x2 x1 +с22 x22 +

+... +c2n x2 xn +.... +cn1xn x1 +cn2 xn x2 +... +cnn xn2

ипусть хотя бы один из коэффициентов сii ≠ 0 , например с11 ≠ 0 . сгруппируем все сла-

гаемые, содержащие х1 , и вынесем коэффициент c11 за скобку. Получим

f (х , х

,..., х

) = с (x2

2с12

x x

+... +

2с1n

x x

) + с

+... + c

+.... +

11 1

+ cn2 xn x2 +... + cnn xn2

Выделим теперь в первой скобке квадрат линейной формы:

f (х

,..., х

) =

с12

+... +

с1n

−

(

с12

+... +

с1n

11 1

+ с

+... + c

= с

с12

+... +

с1n

)2 +ϕ(х

,..., х

)

где ϕ(х2 ,..., хn )

– квадратичная форма от n-1 неизвестных х2 ,..., хn . Осуществим следую-

щее преобразование:

с1n

с12

+... +

= у ,

x2 = y2 ,

.............

xn = yn .

КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ

или

= у

−

с12

−... −

с1n

, x

= y

,...., x

= y

Данное преобразование задается матрицей

				с				с
1		−		12	...	−		1n
				с11				с11
					...
В = 0			1				0		.
			...		...		...
...
	0		0		...		1

Так как | B |≠ 0 , то преобразование является невырожденным. Форма ϕ( y2 ,..., yn )

зависит от n-1 переменных. В силу индуктивного предположения существует невырожденное линейное преобразование D такое, что

y2 = d22 z2 +... + d2n zn ,

.....................................

yn = dn2 z2 +... + dnn zn

после которого квадратная

форма

ϕ( y2 ,..., yn )

преобразуется в

квадратичную форму

ϕ(z2 ,..., zn ) . Добавляя к преобразованию еще одну строчку, получим

y1 = z1,

y2 = d22 z2 +... + d2n zn ,

.....................................

yn = dn2 z2 +... + dnn zn /

Так как | D |≠ 0 , то преобразование Y=DZ невырожденное. В результате получим

f = d z2 + d

+... + d

z2 .

1 1

Если в квадратичной форме

f (х) = X T CX

с = с

=... = с

= 0 , то в этом случае

осуществим линейное преобразование:

= y ,..., х

= y

+ y

, х

= y

..., х

= y

После данного преобразования член 2сij xi x j преобразуется следующим образом:

2сij xi x j = 2сij ( yi + y j ) y j = 2сij yi y j + 2сij y2j .

Коэффициент при y2j отличен от нуля: 2сij ≠ 0 . Теорема доказана.

Пример. Преобразовать квадратичную форму

f (x) = x12 + 2x1x2 − 2x1x3 + 4x2 x3 + x22 + 6x2 x4 + x32 − 4x3 x4 + 4x42

к каноническому виду.

Решение. Матрица С квадратичной формы имеет вид

	1	1	−1	2
	1	1	0	3

С =	−1	0	1	−2	.

	2	3	−2	4

Сгруппируем все члены, содержащие переменные x1 и «выделим полный квадрат»:

BT CB = D ,

КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ

f (x) = (x + x							2	− x			3			+ 2x	4	)2		− (x					2		− x + 2x							4	)2			+ x2				+ 6x		2	x		4	+ x2		− 4x			x	4		+ 4x2			=
		1					2				3				4								2						3			4							2			2			4	3				3		4				4
= (x + x		2	− x			3		+ 2x					4	)2 + 2x			2	x		3	+ 2x						2		x	4
1		2				3							4				2			3							2			4
Осуществим линейное преобразование переменных:
									x1 + x2 − x3 + 2x4 = y1, x2 = y2 , x3 = y3 , x4 = y4
Выразим неизвестные x1, x2 , x3 , x4																													через y1, y2 , y3 , y4 :
									x1 = y1 − y2 + y3 + 2 y4 , x2 = y2 , x3 = y3 , x4 = y4 ,
полученные выражения подставим в квадратичную форму. Придем к форме
														f ( y , y				2	, y			3	, y			4		) = y2 + 2 y									2	y	3	+ 2 y	2		y	4		.
															1			2				3				4					1						2		3		2			4
Осуществляя вспомогательное преобразование																																								y1 = z1, y2 = z2 , y3											= z2 + z3 , y4 = z4 ,
получим:												) = z2																										= z2 + 2z2																		.
	f (z , z			2	, z			3	, z	4		) = z2			+ 2z					2	(z			2	+ z					3	) + 2z			2	z	4		= z2 + 2z2								+ 2z	2	z	3	+ 2z			2	z	4	.
		1		2				3		4				1						2				2						3				2		4				1			2				2		3				2		4

Выделим полный квадрат в квадратичной форме:

f (z1, z2 , z3 , z4 ) = 2(z2 + 12 z3 + 12 z4 )2 + 2(12 z3 + 12 z4 )2 =

= 2(z2 + 12 z3 + 12 z4 )2 − 12 z32 − z3 z4 − 12 z42

Осуществим линейное преобразование переменных:

u1 = z1, u2 = z2 + 12 z3 + 12 z4 , u3 = z3 , u4 = z4

и выразим переменные z1, z2 , z3 , z4 через u1, u2 , u3 , u4 :

z1 = u1, z2 = u2 − 12 u3 − 12 u4 , z3 = u3 , z4 = u4 .

После указанных преобразований получим квадратичную форму, зависящую от переменных u1, u2 , u3 , u4 :

f (u1,u2 ,u3 ,u4 ) = u12 + 2u22 − 12 u32 − u3u4 − 12 u42 =u12 + 2u22 − 12 (u3 − u4 )2 .

Полагая v1 = u1, v2 = u2 , v3 = u3 + u4 , v4 = u4 и выражая переменные u1, u2 , u3 , u4 через v1, v2 , v3 , v4 получим

f (v1,v2 ,v3 ) = v12 + 2v22 − 12 v32 .

Канонический вид квадратичной формы содержит три переменных, а не четыре. Это связано с рангом квадратичной формы.

Определение. Рангом квадратичной формы называется ранг матрицы С. Теорема о приведении квадратичной формы к каноническому виду означает, что для данной сим-

метрической матрицы С существует такая невырожденная матрица В, что где D – диагональная матрица.

Из доказательства теоремы следует, что приведение квадратичной формы к каноническому виду может осуществляться бесконечным множеством способов – например, можно сделать произвольную линейную подстановку, а затем приступить к «выделению квадратов». Поэтому матрицы В и D определяются неоднозначно. Однако число ненулевых элементов матрицы D однозначно определено и равно рангу матрицы С.

КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ

7.3. Ортогональное преобразование квадратичной формы к каноническому виду

Теорема (о приведении действительной квадратичной формы к главным осям). Всякая действительная квадратичная форма f (x) некоторым ортогональным преобразо-

ванием неизвестных может быть приведена к каноническому виду.

Доказательство. Применим метод индукции по числу n переменных. При n=1 утверждение очевидно. Допустим, что утверждение теоремы справедливо для квадратичной формы от n-1 переменных. Рассмотрим квадратичную форму от n переменных:

f (х , х

,..., х

) = X T CX .

Пусть

= (t ,t

,...,t

–

нормированный собственный вектор

матрицы С,

соответствующий собственному значению λ1 . Примем x1 за первый столбец

ортогональной матрицы

...

t21

t22

...

t2n .

T =

...

tn2

...

tn1

tnn

Матрица преобразованной квадратичной формы есть T T CT . Так как первый стол-

бец матрицы Т есть собственный вектор x1 , то Cx1 = λx1 . Тогда

c t

+ c t

+... + c

+...

λ t

...

11 11

c21t11 + c22t

21 +... + c2ntn1 +...

λ1t

21...

CT =

.............................................

..........

+ c

+... + c

+...

λ t

...

n1 11

...

λ t

...

+ t

+... + t

)...

...

1 11

t21

t22

...

t2n

λ1t21...

+ t

+...

+ t

)...

0...

CT = ... ...

...

..........

= ..........................................

.....

...

λ t

...

)...

0...

так как столбцы матрицы Т ортогональны и нормированы. Матрица T T CT симметрична, поэтому имеет вид

			λ	0	...	0
			1	b22	...	b2n	,
			0	b22	...	b2n	,

		... ... ... ...
			0	b	...	b
где B =(b				n2		nn
где B =(b	)	,i, j = 2,3,...,n – симметричная матрица.
ij	n,n

Рассмотрим квадратичную форму с матрицей В. В силу индуктивного предположения найдется ортогональная матрица Q такая, что

	λ	2	0	...	0
			λ	...	0
	0
QT BQ =			3	...	...	.
... ...
	0		0	...
					λn

КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ

	1	0
Положим Q =		.
1	0
	0	Q

Матрица Q1 ортогональна, так как ее первый столбец нормирован и ортогонален остальным столбцам, а остальные столбцы попарно ортогональны и нормированы в силу ортогональности матрицы Q. Тогда

		λ		0		1			0		λ	0 1		0		λ		0		1			0
Q T		1				=					1				=	1		T						=
1		0					0		Q	T	0					0	Q	T			0
		0		B			0		Q		0	B 0		Q		0	Q		B		0		Q
									λ	0		...	0							λ		0 ...			0	.
	λ			0					1	λ		...	0							1		λ		...	0
	λ			0			=		0	λ	2	...	0	иQT T T CTQ =						0		λ	2	...	0
=	1			T			=				2			иQT T T CTQ =									2
	0		Q	T								...	...	1								... ...			...
	0		Q		BQ			... ...				...	...						...			... ...			...
									0	0		...								0		0 ...
									0	0		...	λn							0		0 ...			λn

Теорема доказана.

Ортогональное преобразование, приводящее квадратичную форму к каноническому виду, определяется не однозначно. Однако из доказанной теоремы следует, что каково бы ни было ортогональное преобразование, приводящее к каноническому виду квадратичную форму − λ , коэффициенты этого канонического вида равны собственным числам матрицы С, причем каждое собственное число повторяется столько раз, какова его кратность как корня характеристического уравнения.

Пример. Квадратичную форму

f = 2x1 x2 + 2x1 x3 − 2x1 x4 − 2x2 x3 + 2x2 x4 + 2x3 x4

привести к каноническому виду.

Решение. Определяем собственные значения матрицы квадратичной формы

	0	1	1	−1
	1	−	−1	1
C =	1	−1	0	1	.
	1	−1	0	1
−1		1	1	0

Характеристическое уравнение имеет вид

− λ	1	1	−1
− λ	1	1	−1
1	− λ	−1	1	= 0 ,
1	−1	− λ	1
−1	1	1	− λ

откуда λ1 = λ2 = λ3 =1, λ4 = −3.

Таким образом, канонический вид квадратичной формы следующий:

f = y12 + y22 + y32 − 3y42 .

Найдем ортогональное преобразование, осуществляющее приведение f (x) к каноническому виду.

Решая уравнение (C − λ E) X (i) = 0,i =											, найдем собственные векторы
Решая уравнение (C − λ E) X (i) = 0,i =									1,4		, найдем собственные векторы
		i									−1
		1				1					−1				1
x	(1)		1		(2)		0			(3)		0		(4)		−1
x		=	0	, x		=	1	, x			=	0	, x		=	.
			0				1					0				−1

		0					0					1				1

КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ

Преобразуя данную систему векторов в ортонормируемую систему, получим

					1			−	1				1
	1				1			−					1
	1				6			2 3					2
	2				6			2 3					2
	2			−	1			2	1				−	1
	1		=	−	6	,t3		2	3		=			2	.
t1 =	2	,t2	=		6	,t3	=		1	,t4	=		−	1
	2				2			2	1				−	1
	0				3			2	3					2
	0				3				1			1
	0				0				1			1
					0			2	3				2
								2	3				2

Данная система векторов определяет ортогональную матрицу T = (t1, t2 , t3 , t4 ) преобразования переменных x j , j =1,4, впеременныеy j , j =1,4 . Действительно, Х=ТY, откуда

Y =T −1 X =T ' X .

Поэтому

y1 = 12 (x1 + x2 ),

y2 = 16 (x1 − x2 + 2x3 ),

y3 = 213 (−x1 + x2 + x3 + x4 ), y4 = 12 (x1 − x2 − x3 + x4 ).

7.4. Положительно определенные квадратичные формы

Определение. Квадратичная форма называется положительно определенной, если все ее значения при вещественных значениях переменных, не равных одновременно нулю,

положительны. Очевидно, что квадратичная форма f = x12 + x22 +... + xn2 положительно оп-

ределена.

Определение. Квадратичная форма называется отрицательно определенной, если все ее значения отрицательны, за исключением ненулевого значения при ненулевых значениях переменных.

Определение. Квадратичная форма называется положительно (отрицательно) полуопределенной, если она не принимает отрицательных (положительных) значений.

Квадратичные формы, принимающие как положительные, так и отрицательные значения, называются неопределенными.

При n=1 квадратичная форма f = а11x12 либо положительно определена (при a11>0),

либо отрицательно определена (при a11<0). Неопределенные формы появляются при n≥2. Теорема (критерий Сильвестра положительной определенности квадратичной

формы). Для того чтобы квадратичная форма

f (х1, х2 ,..., хn ) = с11x12 +с12 x1 x2 +... +с1n x1xn +с21x2 x1 +с22 x22 +

... +c2n x2 xn +.... +cn1xn x1 +cn2 xn x2 +... +cnn xn2

была положительно определена, необходимо и достаточно выполнение условий:

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 139 10 11 12 13 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
05.06.2015292.41 Кб50Лизинг ответы экзамен.docx
#
11.11.20192.14 Mб2Лизинговые операции.rtf
#
12.11.2018977.43 Кб17Линал - задачник.docx
#
12.11.20181.45 Mб17Линал - пособие.docx
#
05.06.20152.61 Mб87Линейная алгебра.DOC
#
05.06.20151.13 Mб53Линейная алгебра.pdf
#
05.06.20153.28 Mб20Личный кабинет студента мэси.pdf
#
05.06.201533.63 Кб16Логика Завражин.docx
#
05.06.201519.58 Кб29ЛОГИКА тест1 мэси 2013г.docx
#
05.06.201521.1 Кб36ЛОГИКА тест2 мэси 2013.docx
#
05.06.2015152.58 Кб91логика, тесты.doc