Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Московский государственный университет экономики, статистики и информатики (МЭСИ)

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Линейная алгебра

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

05.06.2015

Размер:

1.13 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 135 6 7 8 9 10 11 12 13 > Следующая >>>

РЕШЕНИЕ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

Умножим первое уравнение на 1 . Затем умножим это же уравнение на

a11

−ai1 ,i = 2,3,...,m , и прибавим его почленно к уравнениям системы с номерами i=2,3,…,m.

a11

После этого преобразования в уравнениях с номерами i>1 будет исключено неизвестное х1. Первый шаг метода Жордана-Гаусса закончен.

		1	a(1)	a(1)
			12	13
~		0	a(1)	a(1)
A(1)	=		22	23
	... ...			...
		0	(1)	(1)
		0	am2	am3

... a1(1n) b1(1)

... a2(1n) b2(1) .

... ... ...

... a(1) b(1) mn m

Может случиться, что на первом шаге вместе с неизвестными х1 будут исключены неизвестными x2 , x3 ,..., x jk −1 ( jk−1 < n) , но найдется хотя бы одно уравнение, в котором сохранит-

ся неизвестное x jk . Одно из таких уравнений примем в качестве второго уравнения системы. В этом случае расширенная матрица A~(1) , соответствующая полученной системе, имеет вид:

			1	a(1)	a(1)	...	a(1)
				12	13		1 jk
~	(1)		0	0	0	...	a2(1)j
A		=					k
		... ...			... ... ...
			0	0	0	...	a(1)
							mjk

...	a(1)	b(1)
...	a(1)	b(1)
	1n	1
...	(1)	(1)	.
...	a2n	b2	.
... ...		...
... ...		...
...	a(1)	b(1)
	mn	m

Используем второе уравнение для исключения неизвестного x jk из всех уравнений, кроме второго. После второго шага метода Жордана-Гаусса получим расширенную матрицу

		1	a(2)	a(2)	...	0	a(2)		...	a(2)			(2)

			12	13			1 j	k +1		1n		1
	0										b
			0	0	...	1	a2(2)j		...	a2(2)n	b		(2)
~(2)								k +1				21		.
		0	0	0	...	0	(2)		...	(2)			(2)
A	=						a3 jk +1			a3n	b3
	... ...			...	... ... ... ... ...							...
		0	0	0	...	0	a(2)		...	a(2)	b
													(2)
							mjk +1			mn		m
Продолжая процесс,										~(	r)	, содержащую r единич-
		после r шагов получим матрицу A
ных столбцов на месте первых n столбцов матрицы А (r – ранг матрицы А системы).
При этом возможны три случая:					~
~			, то матрица			преобразуется в матрицу
1. Если r( A) = r(A) = n					A

		1		0	0 ...
				1	0 ...
		0
~		... ... ... ...
	(n)		0	0	0 ...
A		=
			0	0	0 ...

		... ... ... ...
			0	0	0 ...

0 b1(n)

0b2(n)

... ...

1bn(n)

... ...

0 0

Система имеет единственное решение: x1 = b1(n) , x2 = b2(n) , ..., xn = bn(n) .

РЕШЕНИЕ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

~				и r<n, то
2. Если r(A) = r( A) = r				и r<n, то
				1	0	0 ...	0	a(r)
								1,r+1
				0	1	0 ...	0	a2,(rr)+1

~	(r)		... ... ... ... ... ...
~	(r)	=		0	0	0 ...	1	ar(r,r)+1
A		=		0	0	0 ...	1	ar(r,r)+1
				0	0	0 ...	0	0
				0	0	0 ...	0	0
			... ... ... ... ... ...

				0	0	0 ...	0	0
				0	0	0 ...	0	0

... a1(nr)

... a2(rn)

... ...

... a2(rn)

... 0

... ...

... 0

b1(r)

b(r) 2

...

br(r)

... 0

Система имеет бесконечное множество решений. Общее решение имеет вид:

= b(r) − a(r)

r+1

−... − a(r) x

1,r+1

= b(r ) −a(r )

r+1

−... − a(r) x

2,r+1

................................................

= b(r ) −a(r)

r+1

−... −a(r ) x

r,r+1

Неизвестные x1, x2 ,..., xr

называются базисными.

xr+1 , xr+2 ,..., xn – свободными не-

известными.

Свободным неизвестным xr+1 , xr+2 ,..., xn можно придавать какие угодно значения, получая при этом соответствующие значения неизвестных x1, x2 ,..., xr . В результате имеем

бесконечное множество частных значений.

Среди частных решений системы выделим базисные решения, которые получают при равенстве нулю всех свободных неизвестных. Очевидно, что одним из базисных решений является следующее:

x	= b(r ) , x	2	= b(r ) , ..., x	r	= b(r) , x	r+1	= 0,..., x	n	= 0	.
1	1	2	2	r	r	r+1		n		.

В общем случае число базисных решений не превышает Cnr .

~
3. Если r( A) ≠ r( A) , то
			1	0	0	...	0	a(r)	...	a(r) b(r)
			0	1	0	...	0	1,r+1	...		1n	1
			0	1	0	...	0	a(r)	...	a(r) b(r)
								2,r+1			2n	2
~	(r)	... ... ... ... ... ...							... ... ...
~	(r)	= 0		0	0	...	1	a(r)	...	a(r) b(r)
A		= 0		0	0	...	1	a(r)	...	a(r) b(r)
								r,r+1			2n	r
			0	0	0	...	0	0	...		0	b(r)
												r+1
		... ... ... ... ... ...							... ... ...
			0	0	0	...	0	0	...		0
			0	0	0	...	0	0	...		0	b(r)
												n
где хотя бы один из элементов b(r) ,r +1 ≤i ≤ m								отличен от нуля. В этом случае система
(4.1.1) несовместна.				i
(4.1.1) несовместна.
Таким образом, метод Жордана-Гаусса состоит из r итераций (r шагов). На каждой
S-ой итерации выбирается направляющий элемент									ai(Sj−1)		≠ 0, гдеiS , jS −соответственно
									S	S

направляющие строка и столбец. С помощью элементарных преобразований столбец jS преобразуется в единичный с единицей в строке iS .

РЕШЕНИЕ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

Рассмотрим алгоритм произвольной итерации метода Жордана-Гаусса. Положим

(0)

={1,2,..., m}, A

= A .

Шаг 1. Сформировать множество J (S )

= J (S −1) \ {iS }.

Шаг 2. Если J (S )

= Ø , то процесс элементарных преобразований закончить. В про-

тивном случае перейти к шагу 3.

Шаг 3. Если для i J (S )

aij(S −1)

= 0 , то процесс элементарных преобразований за-

кончить. В противном случае найти направляющий элемент a(S −1) ≠ 0,

J (S )

и перейти

к шагу 4.

iS jS

Шаг 4. Разделить направляющую строку i

на a(S −1) ≠ 0 .

iS jS

a(S −1)

Шаг 5. К i-ой строке, i ≠ iS ,i =

1,m

, прибавим строку iS , умноженную на -

ijS

a(S −1)

Покажем,

что столбец

iS jS

преобразуется в единичный с единицей в строке

iS .

Пусть jS

= k,iS = l . Элементы матрицы

(S )

(S −1)

выражаются через элементы матрицы A

следующим образом:

alj(S ) = alj(S −1) / alk(S −1) , j =

(4.4.1)

1,n

b(S ) =b(S −1)

/ a(S −1)

(4.4.2)

(S−1)

aij(S ) = aij(S−1)

− aij(S−1)

,i =1,2,...,l −1,l +1,...,m;

j =1,2,...,n

(4.4.3)

alk(S−1)

bi(S ) =bi(S −1)

− aik(S −1)

(S −1)

,i =1,2,...,l −1,l +1,..., m;

j =1,2,..., n

(4.4.4)

alk(S −1)

Полагая j=k, из (4.4.1) и (4.4.3) имеем

alk(S )

=1,aik(s)

= 0,i =1,2,...,l −1,l +1,..., m .

Пример. Решить систему линейных уравнений методом Жордана-Гаусса.

а)

2x1 + 5x2 + 5x3 + x4 = 20,

2x1 +10x2 + 9x3 + 7x4 = 40,

x1 + 3x2 + 2x3 + x4 =11,

3x1 +8x2 + 9x3 + 2x4 =37.

Решение. Составим из данной системы расширенную матрицу

A =

~(0)

(0)

={1,2,3,4}.

Полагаем A

= A,

Итерация 1.

Шаг 1.

J (1)

= J (0)

={1,2,3,4}.

Шаг 2.

J (3) ≠ Ø , переходим к шагу 3.

=1.

Шаг 3. Находим

a(0) = a(0)

=1;i

= 3, j

1 1

РЕШЕНИЕ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

Шаг 4. Делим третью строку на a31(0) =1.

Шаг 5. К первой, второй и четвертой строкам прибавляем третью строку, соответственно умноженную на -2, -2, -3. В результате матрица A~(0) преобразуется в матрицу

							0			−1	0		−1	−2
							0			−1	0		−1	−2
								0		4	5		5	18
						~(1)		0		4	5		5	18	.
						A	=	1		3	2		1	11
								1		3	2		1	11
								0		−1	3		−1	4
Итерация 2.								0		−1	3		−1	4
Итерация 2.
Шаг 1.	J (2)	= J (1)	\ {3} ={1,2,4}.
Шаг 2.	J (3)	≠ Ø , переходим к шагу 3.										= 2 .
Шаг 3. Находим			a(1)			= a(0) = −1;i			2	=1, j	2	= 2 .
			i	j	2	12			2		2
			2		2

Шаг 4. Делим первую строку на a12(1) = −1.

Шаг 5. Ко второй, третьей и четвертой строкам прибавляем первую строку, соответственно умноженную на -4, -3, 1. Получим матрицу

							0		1	0		1	2
							0		1	0		1	2
								0	0	5		1	10
					~	(2)		0	0	5		1	10	.
					A		=	1	0	2		− 2	5
								1	0	2		− 2	5
								0	0	3		0	6
Итерация 3.								0	0	3		0	6
Итерация 3.			\ {1} ={2,4}.
Шаг 1.	J (3)	= J (2)	\ {1} ={2,4}.
Шаг 2.	J (3)	≠ Ø , переходим к шагу 3.										= 3 .
Шаг 3. Находим			a(2)		= a(2)	= −1;i			= 4, j		3	= 3 .
			i	j	43			3			3
			3	3

Шаг 4. Делим четвертую строку на a43(2) = 3 .

Шаг 5. К первой, второй, третьей строкам прибавляем четвертую строку, соответственно умноженную на 0, -5, -2. Получим матрицу

						0		1	0	1	2
						0		1	0	1	2
							0	0	0	1	0
				~	(3)		0	0	0	1	0	.
				A		=	1	0	0	− 2	1
							1	0	0	− 2	1
							0	0	1	0	2
Итерация 4.							0	0	1	0	2
Итерация 4.
Шаг 1.	J (4)	= J (3)	\ {4} ={2}.
Шаг 2.	J (4)	≠ Ø , переходим к шагу 3.							= 4 .
Шаг 3. Находим			ai(3)j = a24(3)		=1;i4		= 2, j4		= 4 .
			4	4

Шаг 4. Делим четвертую строку на a43(2) = 3 .

Шаг 5. К первой, третьей и четвертой строкам прибавляем вторую строку, соответственно умноженную на -1, 2, 0. Получим матрицу

РЕШЕНИЕ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

		0		1	0	0	2

			0	0	0	1	0
~	(3)							.
A		=	1	0	0	0	1

			0	0	1	0	2

Итерация 5.

Шаг 1.		J (5)	= J (4) \ {2} = Ø .
Шаг 2.		J (5)	= Ø , поэтому процесс элементарных преобразований закончен. На ос-
новании	вида матрицы			~		(4)		получаем единственное															решение исходной системы:
новании	вида матрицы			A				получаем единственное															решение исходной системы:
x1 =1, x2 = 2, x3 = 2, x4 = 0 .
б)	x1 + 2x2 + 3x3 − x4 = 0,
	x1 − 2x2 + x3 + 2x4 = 4,
	x1 + 5x2 + 5x3 − 4x4 = −4,
	x1 +8x2 + 7x3 − 7x4 = −8.
Решение. Составим расширенную матрицу
									1			2	3	−1		0
									1			2	3	−1		0
												−1								~(0) .
						~			1			−1	1	2		4				~(0) .
						A =						5	5	− 4		−	4	=		A
									1			5	5	− 4		−	4
												8	7	− 7		−	8
									1			8	7	− 7		−	8
В результате итерации 1, полагая													a(0)	= a	(0)		=1, получим матрицу
													i j	11
													1 1
											1		2	3			−1			0
											1		2	3			−1			0
												0	−3	− 2			3			4
						~		(1)		=		0	−3	− 2			3			4
							A			=		0	3	2 −3					− 4
												0	3	2 −3					− 4
												0	6	4			− 6		−8
												0	6	4			− 6		−8
После итерации 2, полагая									ai(1)j = a23(1) = −2 , получим матрицу
											2	2
										1 −5/ 2				0 7 / 2							6
										1 −5/ 2				0 7 / 2							6
											0 3/ 2			1 −3/ 2							−	2
						~(2)			=		0 3/ 2			1 −3/ 2							−	2
						A			=		0		0	0				0			0
											0		0	0				0			0
											0		0	0				0			0
Итерация 3.											0		0	0				0			0
Итерация 3.
Шаг 1.		J (3)	= J (2) \ {2} ={3,4} .
Шаг 2.		J (3)	≠ Ø .				a3(2j) = 0,a4(2j) = 0 , то процесс элементарных преобразований
Шаг 3.		Так как j =
Шаг 3.		Так как j =			1,4,
закончен.
Матрица A~(2) определяет общее решение системы:

x1 = 6 + 5 / 2 x2 + 7 / 2x4 ,

x3 = −2 −3 / 2x2 + 3 / 2x4 ,

x1, x3 – базисные, x2 , x4 – свободные переменные.

РЕШЕНИЕ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

Получим одно из базисных решений: x1 = 6, x2 = 0, x3 = −2, x4 = 0.

в) 2x1 − x2 −3x3 + 4x4 =5,
2x1 − x2 + x3 − x4 =3,
4x1 − 2x2 +10x3 −12x4 = 2,
4x1 − 2x2 − 2x3 + 3x4 = 2.					~(2)
~(0)	~	(1)		,	~(2)		имеют вид:
Решение. Матрицы A	, A			,	A		имеют вид:
					2		−1	−3	4	5
					2		−1	−3	4	5
						2	−1	1	−1	3
	~(0)					2	−1	1	−1	3
	A		=			4	−2	10	−12	2	;
						4	−2	10	−12	2
						4	−2	−2	3	2
						4	−2	−2	3	2

				8		− 4	0	1			14

				2		−1	1	−1			3
~(1)		=
А				−16		8	0	− 2			− 28

				8		− 4	0	1			8

				0		0	0	0		6

						−5
	~(2)			10			1	0		11
	А		=		0	0	0	0	−12

					8	− 4	0	1		8

	Очевидно, что процесс элементарных преобразований следует закончить, так как
			~
a(2)	= 0;a(2)	= 0; j =1,4 . Из первой (или третьей) строки матрицы	~
a(2)	= 0;a(2)	= 0; j =1,4 . Из первой (или третьей) строки матрицы	A(2) следует, что исход-
1 j	3 j

ная система линейных уравнений несовместна. Действительно, первой строке соответствует уравнение 0xx + 0x2 + 0x3 + 0x4 = 6 , которое не может быть удовлетворено ни при

каких значениях неизвестных xx ; x2 ; x3 ; x4 .

Используя метод Жордана-Гаусса, рассмотрим еще один метод вычисления обрат-

ной матрицы A−1 .
Рассмотрим матричное уравнение
AХ = Е,	(4.4.5)
где A = (аij )n,n ,\| A \|≠ 0, X = (xij )n,n , Е – единичная матрица.

Очевидно, что матричное уравнение (4.4.5) имеет единственное решение Х = A−1 . Решение матричного уравнения (4.4.5) сводится к решению n систем n линейных

уравнений с n неизвестными вида


ai1x1 j + ai2 x2 j +... + ain xnj = eij ;i, j =			,	(4.4.6)
ai1x1 j + ai2 x2 j +... + ain xnj = eij ;i, j =		1,n	,	(4.4.6)
1,	еслиi = j,
гдеeij =	еслиi ≠ j.
0,	еслиi ≠ j.

РЕШЕНИЕ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

Системе

линейных уравнений (4.4.6) соответствует

расширенная матрица

~(0)

= (A

~(0)

алгоритм метода Жордана-Гаусса, получим матри-

Е). Применяя к матрице С

цу

~(n)

= (E

B) . Покажем, что B = A

−1

(n)

соответствует матрич-

. Расширенной матрице С

ное уравнение EХ = B , которое имеет единственное решение Х=В. Матрица ~(n) =

С (E B)

получена из матрицы ~(0) = методом Жордана-Гаусса. Поэтому системы линейных

С (A Е)

уравнений, соответствующие матрицам (E B) и ( A Е) , равносильны, т.е. имеют одно и то

же решение. Отсюда следует, что B = A−1 , следовательно, ~(n) = −1 .

С (E А )

Таким образом, чтобы для невырожденной матрицы А вычислить обратную матри-

цу A−1 , необходимо составить матрицу С~(0)												= (A					Е) . Методом Жордана-Гаусса в матрице
цу A−1 , необходимо составить матрицу С~(0)												= (A					Е) . Методом Жордана-Гаусса в матрице
С~(0) преобразовать матрицу А к виду единичной																	матрицы Е, тогда на месте единичной
С~(0) преобразовать матрицу А к виду единичной																	матрицы Е, тогда на месте единичной
матрицы Е получим обратную матрицу A−1 .
Пример. Вычислить обратную матрицу A−1																		для матрицы
										1		3					4
							A =			−1			6 8 .
Решение. Составим матрицу										2		6					12
Решение. Составим матрицу
				~(0)					1	3		4				1		0	0
									1	3		4				1		0	0
									−1 6			8				0 1 0
				С			=		−1 6			8				0 1 0				.
									2	6		12				0		0	1
									2	6		12				0		0	1
На итерации 1, полагая				a	(0)		= a(0)			=1, получим
					i	j			11
					1 1
							1			3		4			1			0	0
							1			3		4			1			0	0
				~	(1)			0		9 12				1 1 0
				С			=	0		9 12				1 1 0						.
								0		0		4		− 2				0	1
								0		0		4		− 2				0	1
На итерации 2, полагая				ai(1)j			= a22(1)			= 9, получим
					2	2
			~(2)			1 0				0			2 / 3 −1/ 3 0
						1 0				0			2 / 3 −1/ 3 0
							0 1			4 / 3			1/ 9 1/ 9 0
			С		=		0 1			4 / 3			1/ 9 1/ 9 0								.
							0		0	4			− 2					0		1
							0		0	4			− 2					0		1
На итерации 3, полагая				ai(2)j			= a33(2)			= 4 , получим
					3	3
			~(2)		1 0 0						2 / 3 −1/ 3									0
					1 0 0						2 / 3 −1/ 3									0
				=		0 1 0					7 / 9				1/ 9							,
			С	=		0 1 0					7 / 9				1/ 9				−1/ 3			,
						0 0 1					−1/ 2							0
						0 0 1					−1/ 2							0		1/ 4
	2 / 3	−1/ 3	0
откуда А−1 =	7 / 9	1/ 9	−1/ 3 .
−1/ 2		0	1/ 4

РЕШЕНИЕ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

4.5. Однородные системы линейных уравнений

Однородной называется система линейных уравнений, свободные члены которой равны нулю:

	a11x1 + a12 x2 +... + a1n xn = 0,
	a21x1 + a22 x2 +... + a2n xn = 0,	(4.5.1)
	..........................................	(4.5.1)
	..........................................
	am1x1 + am2 x2 +... + amn xn = 0.

Очевидно, что система однородных уравнений (4.5.1) всегда совместна, так как имеет нулевое решение x1 = 0, x2 = 0, ..., xn = 0 .

Это следует также из теоремы Кронекера-Капелли: в случае однородной системы

= ~ . r( A) r( A)

При решении системы однородных уравнений можно поставить вопрос: при каком условии однородная система (4.5.1) является неопределенной, т.е. имеет ненулевые решения. Ответ на этот вопрос дает следующая теорема.

Теорема. Для того чтобы система (4.5.1) имеет ненулевые решения, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие r( A) < n .

Действительно, если r( A) = n , то система имеет единственное и, значит, только нулевое решение: x1 = 0, x2 = 0, ..., xn = 0 . Если r( A) < n , то система (4.5.1) является неопре-

деленной (несовместной она быть не может) и, значит, имеет бесчисленное множество решений.

Пусть x1 =α1, x2 =α2 , ..., xn =αn – какое-нибудь ненулевое решение однородной системы (4.5.1). Представим это решение как вектор-строку α = (α1,α2 ,...,αn ) . Тогда λ1α = (λ1α1, λ1α2 ,..., λ1αn ) тоже, очевидно, будет решением системы (4.5.1). Далее, если β = (β1, β2 ,..., βn ) какое-то другое решение системы (4.5.1), отличное от α , то при любых

λ1 иλ2 линейная комбинация λ1α + λ2 β = (λ1α1 + λ2 β2 , λ1α2 + λ2 β2 ,..., λ1αn + λ2 βn ) данных решений тоже будет решением системы, так как если

ai1α1 + ai2α2 +... + ainαn = 0, ai1β1 + ai2 β2 +... + ain βn = 0,

тои

ai1 (λ1α1 + λ2β1 ) + ai2 (λ1α2 + λ2 β2 ) +... + ain (λ1αn + λ2 βn ) = 0

Итак, любая линейная комбинация решений однородной системы (4.5.1) тоже будет ее решением.

Определение. Линейно независимая система решений u1,u2 ,...,uk ,k = n − r( A) сис-

темы (4.5.1) называется фундаментальной, если каждое решение системы (4.5.1) является линейной комбинацией решений u1, u2 ,...,uk .

Теорема. Если r( A) < n , то система (4.5.1) обладает фундаментальными системами

решений.

Доказательство. Пусть r( A) = n , r<n и пусть для определенности базисный минор

порядка r стоит в верхнем левом углу матрицы А. Отсюда следует, что первые r уравнений системы (4.5.1) линейно независимы. Перенеся свободные неизвестные xr+1 ,..., xn

первых r уравнений системы (4.6.1) в правые части, получим систему

РЕШЕНИЕ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ


	a11x1 + a12 x2 +... + a1r xr = −a1,r +1xr +1 −... −a1n xn ,
	a21x1	+ a22 x2 +... + a2r xr = −a2,r +1xr +1 −... −a2n xn ,		(4.5.2)
	...............................................................................

	ar1x1 + ar 2 x2 +... + arr xr = −ar,r +1xr +1 −... −arn xn .
Придавая свободным неизвестным значения			xr+1 =1, xr+2 = 0, ..., xn = 0 , получим со-
ответствующие значения		x1 =α1, x2 =α2 , ..., xr =αr	первых r неизвестных. Аналогично,
придавая	свободным	неизвестным значения	xr+1 = 0, xr+2 =1, ..., xn = 0 , получим:
x1 = β1, x2	= β2 , ..., xr = βr	и т.д. В результате будет найдено k=n-r решений системы (4.5.1):

u1 = (α1,α2 ,...,αr ,1,0,...,0), u2 = (β1, β2 ,..., βr ,0,1,...,0),

......................................

uk = (ζ1,ζ2 ,...,ζr ,0,0,...,1).

Решения u1, u2 ,..., uk линейно независимы, т.к. ранг образованной ими матрицы ра-

вен К.

Покажем теперь, что каждое решение системы (4.5.1) линейно выражаются через u1, u2 ,...,uk . Пусть u = (θ1,θ2 ,...,θr ,θr+1,...,θn ) – произвольное решение системы (4.5.1). Со-

ставим новое решение u0 как следующую линейную комбинацию решений u1, u2 ,...,uk :

u0 = u −θr+1u1 −θr+2u2 −... −θnuk

Очевидно, что все элементы, начиная с k-ого элемента, в решении u0 равны нулю,

то из однородной системы (4.5.2), определитель которого отличен от нуля, получаем, что и значения всех остальных неизвестных в u0 должны быть равны нулю, т.е. u0 = (0,0,...,0) и тогда u =θr+1u1 +... +θnuk , т.е. произвольное решение u является линейной комбинацией линейно независимых решений u1, u2 ,...,uk . Теорема доказана.

Рассмотрим систему уравнений

a11x1 + a12 x2 +... + a1n xn =b1,
a21x1 + a22 x2 +... + a2n xn =b2	,
........................................	(4.5.3)
........................................

am1x1 + am2 x2 +... + amn xn =bm .

и соответствующую ей систему однородных уравнений

	a11x1 + a12 x2 +... + a1n xn = 0,
	a21x1 + a22 x2 +... + a2n xn = 0,	(4.5.4)
	..........................................	(4.5.4)
	..........................................

am1x1 + am2 x2 +... + amn xn = 0.

Пусть u1 = (α1,α2 ,...,αn ) – какое-то решение системы (4.5.3) и u2 = (β1, β2 ,..., βn ) любое другое ее решение, отличное от u1 . Очевидно, что разность

u1 −u2 = (α1 − β1,α2 − β2 ,...,αn − βn )

будет решением системы (4.5.4), и если u3 = (γ1,γ2 ,..., γn ) – произвольное решение однородной системы (4.5.4), то очевидно, что

РЕШЕНИЕ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

u1 + u3 = (α1 +γ1,α2 +γ2 ,...,αn + γn )

является решением системы (4.5.3). Отсюда следует, что все решения системы (4.5.3) можно получить, прибавляя к одному какому-нибудь ее решению всевозможные решения однородной системы (4.5.4).

Таким образом, общее решение системы (4.5.3) равно линейной комбинации общего решения однородной системы (4.5.4) и произвольного, но фиксированного решения системы (4.5.3). Если u1, u2 ,..., uk фундаментальная система решений однородной системы

(4.5.4) и u0 – произвольное фиксированное решение системы (4.5.3), то общее решение системы (4.5.3) имеет вид u = u0 + λ1u1 + λ2u2 +... + λкuk , где λ1, λ2 ,..., λк – произвольные

числа.

Пример. Найти фундаментальную систему однородной системы уравнений

− 2x1 + 2x2 + 5x3 + x4 = 0,

9x1 −39x2 + 2x3 + 5x4 = 0.

Решение. Решаем систему методом Жордана-Гаусса:

~	(0)		− 2		2		5 1	0	~	(1)				− 2	2	5 1	0
			− 2		2		5 1	0						− 2	2	5 1	0

A		=	9 −39 3 5					0 ;	A			=		19	− 49 − 23 0		0	;
~	(2)		0		− 60 /19		49 /19			1			0
			0		− 60 /19		49 /19			1			0

A		=	1		− 49 /19		− 23/19			0			0	.
Общее решение имеет вид:									x1 = 49/19x2 + 23/19x3 .
									x4 = 60/19x2 + 9 /19x3
Решение						получим, придавая свободным неизвестным значения x2 =1, x3 = 0 :
Решение				u1
														= (49	,1,0, 60) ,
											u			= (49	,1,0, 60) ,
												1		19	19
														19	19
и решение			получим, полагая x2 = 0, x3 =1:
и решение		u2	получим, полагая x2 = 0, x3 =1:

u2 = (1923 ,0,1,−1949) .

Таким образом, одна из фундаментальных систем решений имеет вид: u1 = (1949 ,1,0,1960) , u2 = (1923 ,0,1,−1949) .

Общее решение системы можно представить в следующем виде: u = λ1u1 + λ2u2 = (1949 λ1 + 1929 λ2 , λ1, λ2 , 1960 λ1 − 1949 λ2 ) ,

где λ1, λ2 – произвольные числа. Например, полагая λ1 =19 иλ2 =19 , получим одно из частных решений: x1 = 72, x2 =19, x3 =19, x4 =11.

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 135 6 7 8 9 10 11 12 13 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
05.06.2015292.41 Кб50Лизинг ответы экзамен.docx
#
11.11.20192.14 Mб2Лизинговые операции.rtf
#
12.11.2018977.43 Кб17Линал - задачник.docx
#
12.11.20181.45 Mб17Линал - пособие.docx
#
05.06.20152.61 Mб87Линейная алгебра.DOC
#
05.06.20151.13 Mб53Линейная алгебра.pdf
#
05.06.20153.28 Mб20Личный кабинет студента мэси.pdf
#
05.06.201533.63 Кб16Логика Завражин.docx
#
05.06.201519.58 Кб29ЛОГИКА тест1 мэси 2013г.docx
#
05.06.201521.1 Кб36ЛОГИКА тест2 мэси 2013.docx
#
05.06.2015152.58 Кб91логика, тесты.doc