Линейная алгебра
.pdfВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
5.10. Доказать, что существует единственное преобразование трехмерного пространства, переводящего векторы a1, a2 , a3 соответственно в b1,b2 ,b3 , и найти матрицу это-
го преобразования в том же базисе, в котором даны координаты всех векторов. |
|||||||
a1 = (2, 0, 3), |
a2 = (4, 1, 5), |
a3 = (3, 1, 2), |
|||||
b1 = (1, 2, −1), |
b2 = (4, 5, −2), |
b3 = (1, −1, 1). |
|||||
5.11. Линейное преобразование ϕ в базисе e1, e2 , e3 , e4 |
имеет матрицу |
||||||
|
|
1 |
2 |
0 |
1 |
|
|
|
|
3 |
0 |
−1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
2 |
5 |
3 |
1 |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
1 |
2 |
1 |
3 |
|
|
|
|
|
|
Найти матрицу этого же преобразования в базисе:
e1, e1 + e2 , e1 + e2 + e3 , |
e1 + e2 + e3 + e4 . |
|
|
|||||
5.12. Линейное преобразование ϕ в базисе |
|
|
|
|||||
a1 = (8, −6, 7), |
a2 = (−16, |
7, |
−13), |
a1 = (9, −3, 7) |
||||
имеет матрицу |
1 |
|
−18 |
15 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
−1 |
−22 |
20 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|||||
|
1 |
|
−25 |
22 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Найти его матрицу в базисе |
|
|
|
|
|
|
|
b1 = (2, 1, 2). |
b1 = (1, −2, 1), |
|
b2 = (3, −1, 2), |
|
|||||
5.13. Найти канонический вид B ортогональной матрицы A и ортогональную мат- |
||||||||
рицу Q такую, что B = Q−1 AQ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
− |
1 |
2 |
|
|
|
|
3 |
|
3 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
2 |
|
2 |
− 1 |
|
|
|
|
|
3 |
|
3 |
3 |
|
|
|
|
|
− 1 |
− |
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
3 |
|
3 |
3 |
|
|
5.14. Доказать, что для выполнения равенства αx + βy = βx +αy , где α, β – числа и x, y векторы, необходимо и достаточно, чтобы было или α = β , или x = y .
5.15. Доказать теорему: для того чтобы две линейно независимые системы с одинаковым числом векторов x1, x2 ,..., xk , y1, y2 ,..., yk n-мерного пространства Rn были эквива-
лентны (или порождали одно и то же подпространство), необходимо и достаточно, чтобы в любом базисе соответствующие друг другу миноры матриц А и В из координатных строк векторов этих систем были пропорциональны.
71
ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ
Глава 6. Линейные операторы
6.1. Определение линейного оператора
|
|
|
|
|
|
~ |
|
|
|
в век- |
||
Определение. Оператором А, отображающим векторное пространство Rn |
||||||||||||
торное пространство Rm , называется функция, которая каждому вектору х Rn |
ставит в |
|||||||||||
соответствие единственный |
вектор |
y Rm , что символически записывается |
в |
виде |
||||||||
~ |
|
y называется образом вектора |
~ |
|
– про- |
|||||||
y = A(х) . Вектор |
x при отображении А, а вектор x |
|||||||||||
образом вектора y . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Оператор |
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
А называется линейным, если: |
|
|
|
|||||||||
1) |
~ |
~ |
|
|
|
~ |
|
|
|
, x2 из Rn (условие аддитивности); |
|
|
А(x1 + x2 ) = А(x1 ) + |
А(x2 ) для любых x1 |
|
||||||||||
2) |
~ |
~ |
для любого |
х Rn , где λ – произвольное число (условие одно- |
||||||||
А(λx) = λА(x) |
||||||||||||
родности); |
|
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
При λ =0 |
имеем |
|
|
= 0 , т.е. линейный оператор преобразует нулевой вектор в |
||||||||
А(0) |
нулевой. Рассмотрим связь между координатами вектора х Rn |
и координатами вектора |
|||||||||||||||||||
y R |
m |
. Для этого выразим векторы х |
и y |
соответственно через базис е , е |
2 |
,..., е |
n |
про- |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|||
странства Rn и базис g1, g2 ,..., gm пространства Rm : |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
x = x1е1 + x2е2 +... + xnеn |
|
|
|
(6.1.1) |
|||||||||||||
|
|
Тогда имеем |
y = y1g1 + y2 g2 +... + ym gm |
|
|
|
(6.1.2) |
|||||||||||||
|
|
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
~ |
|
~ |
|
~ |
|
|
|
|
|
|
|
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(6.1.3) |
||||||
|
|
y = A(x) = |
A(x1е1 + x2е2 +... + xnеn ) = x1 A(е1 ) |
+ x2 A(е2 ) +... |
+ xn A(еn ) |
|
||||||||||||||
|
|
Из выражения (6.1.3) следует, что для задания оператора |
~ |
достаточно задать об- |
||||||||||||||||
|
|
А |
||||||||||||||||||
|
|
|
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
разы базисных векторов А(ei ),i =1,n . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Разложим каждый вектор |
|
=1,n по базису g1, g2 ,..., gm |
пространства Rm : |
|
||||||||||||||
|
|
А(ei ),i |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
~ |
= a11g1 |
+ a21g2 +... + am1gm , |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
А(e1 ) |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
~ |
= a12 g1 |
+ a22 g2 +... + am2 gm , |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
А(e2 ) |
|
|
|
(6.1.4) |
|||||||||||||
|
|
|
..................................................... |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
~ |
= a1n g1 |
+ a2n g2 +... + amn gm . |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
А(en ) |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
Матрица A' из коэффициентов разложений имеет вид: |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
a |
|
a |
21 |
... |
a |
m1 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
11 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
a12 |
|
a22 |
... |
am2 |
|
|
|
|
(6.1.5) |
||||||
|
|
|
A'= |
... ... ... |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
... |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
a |
|
a |
2n |
... |
a |
mn |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
1n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Из равенства (6.1.3) и (6.1.5) получаем:
y1g1 + y2 g2 +... + ym gm = (a11x1 + a12 x2 +... + a1n xn )g1 +
+ a21x1 + a22 x2 +... + a2n xn )g2 +... +(am x1 + am2 x2 +... + amn xn )gm
откуда в силу единственности разложения вектора y по базису g1, g2 ,..., gm следует, что
72
ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ
|
|
|
|
|
y1 = a11x1 +a12 x2 +... +a1n xn , |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
y2 = a21x1 +a22 x2 +... +a2n xn , |
|
|
(6.1.6) |
|||||||||||
|
|
|
|
|
.......................................... |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
или в матричном виде |
|
|
ym = am x1 +am2 x2 +... +amn xn |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
Y=АХ |
|
|
|
|
|
|
|
(6.1.7 |
||||||
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
y |
|
a |
|
a |
|
|
... |
a |
|
x |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
11 |
|
|
12 |
|
|
... |
1n |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
y2 |
|
a21 |
|
a22 |
|
|
a2n |
|
x2 |
|
|
|||
|
|
|
Y = |
M |
, |
A = |
|
|
|
|
|
|
... |
... |
, X = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
... ... |
|
|
|
M |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
am2 |
|
|
... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ym |
am1 |
|
|
|
amn |
xn |
|
|
|||||||
Матрица А называется матрицей линейного оператора |
~ |
|
|
||||||||||||||||
А. |
|
|
|||||||||||||||||
Рассмотрим случай, когда оператор |
~ |
задается в пространстве |
Rn и отображает |
||||||||||||||||
А |
|||||||||||||||||||
это пространство на себя. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Тогда уравнения (6.1.4) принимают вид: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
~ |
|
|
|
+ a21g2 |
+... + an1gn , |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
А(e1 ) = a11g1 |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
~ |
|
|
|
|
+ a22 g2 |
+... + an2 gn , |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
А(e2 ) = a12 g1 |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
..................................................... |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
~ |
|
|
|
|
+ a2n g2 +... + ann gn . |
|
|
|
||||||
|
|
|
~ |
|
А(en ) = a1n g1 |
|
|
|
|
||||||||||
и матрицей оператора |
является квадратная матрица A = (aij )n,n . |
|
|||||||||||||||||
А |
|
||||||||||||||||||
Формулы (6.1.6) принимают вид: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
y1 = a11x1 + a12 x2 +... + a1n xn , |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
y2 = a21x1 + a22 x2 +... + a2n xn , |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
.............................................. |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
yn = an x1 + an2 x2 +... + ann xn |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
~ |
в пространстве Rn при вы- |
||
Отсюда следует, что всякому линейному оператору А |
|||||||||||||||||||
бранном базисе соответствует некоторая квадратная матрица A = (aij )n,n . |
|
||||||||||||||||||
Справедливо и обратное утверждение: всякой матрице A = (aij )n,n |
при заданном ба- |
||||||||||||||||||
зисе соответствует некоторый линейный оператор |
~ |
|
|
|
|
||||||||||||||
А. |
|
|
|
|
|||||||||||||||
Таким образом, можно установить взаимно однозначное соответствие между ли- |
|||||||||||||||||||
нейными операторами |
~ |
в пространстве Rn |
и матрицами А порядка n. |
|
|||||||||||||||
А |
|
||||||||||||||||||
Если | A|≠ 0 , то |
~ |
– невырожденный оператор. |
|
|
|
|
|||||||||||||
А |
|
|
|
|
|||||||||||||||
~ |
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
~ |
|
Оператор А |
|
называется обратным по отношению к оператору А, если: |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
~ |
~−1 |
= |
~−1 |
|
~ |
~ |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
А |
А |
|
А |
|
А = E |
|
|
|
|
где ~ – тождественный оператор, матрицей которого является единичная матрица порядка n.
E
Рассмотрим, как изменяется матрица линейного оператора ~ при переходе к ново-
А
му базису в пространстве Rn .
Пусть в пространстве Rn заданы два базиса е1, е2 ,..., еn и е1*,е2 *,...,еn *, связь между которыми задается невырожденной матрицей перехода T = (tij )n,n . Тогда связь между
73
ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ
координатами векторов х и y в новом и старом базисах можно выразить в виде следую-
щих матричных уравнений:
Х=ТХ*, Y=ТY*.
Учитывая, что Y=АХ, получим
ТY*=АТХ,
откуда Y*=Т-1АТХ*.
Обозначив матрицу оператора А в новом базисе через А*=Т-1АТ, получим
Y*=А*Х*.
Матрица А* называется преобразующей матрицей.
Отметим, что матрица А и А* описывают действие одного и того же оператора ~ в
А
разных базисах.
Покажем, что матрицы А и А* подобны, то есть |А*|=|А|. Действительно,
|A*|=|Т-1АТ|=|Т-1||A||T|=|A|.
Из выведенного соотношения следует, что определитель матрицы А линейного
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
преобразования А не зависит от выбора базиса в Rn . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Примеры линейных операторов. |
~ |
|
|
|
|
|
~ |
|
|
|
|
|
|
||
1. Если для каждого вектора х Rn |
|
|
|
, то оператор |
является линейным и |
||||||||||
|
|
|
|||||||||||||
А(x) = 0 |
А |
||||||||||||||
называется нулевым оператором |
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
0 |
. Так как для любого базиса е1, е2 ,..., еn А(ei ) = 0,i =1,m , |
||||||||||||||
то матрицей нулевого оператора |
~ |
является нулевая матрица. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
0 |
~ |
|
|
|
|
|
|
||||||||
2. Если для каждого вектора х Rn |
~ |
|
|
|
, то оператор |
является линейным и |
|||||||||
А(x) = x |
А |
||||||||||||||
|
|
~ |
. Очевидно, |
что матрицей тождественного опе- |
|||||||||||
называется тождественным оператором E |
|||||||||||||||
ратора является единичная матрица Е. |
~ |
|
|
|
|
|
~ |
|
|
|
|
|
|
||
3. Если для каждого вектора х Rn |
|
|
|
|
|
является линейным и |
|||||||||
А(x) = λx , то оператор |
А |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
называется оператором подобия. Так как для любого базиса е1, е2 ,..., еn А(ei ) = λei ,i =1,n , |
|||||||||||||||
то матрица оператора подобия равна λE . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
6.2. Характеристический многочлен и характеристическое уравнение |
|||||||||||||||
Рассмотрим квадратную матрицу |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
a |
a |
... |
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11 |
12 |
|
|
|
1n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a21 |
a22 ... |
a2n |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
A = |
|
|
|
|
... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
... ... ... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
an2 ... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
an1 |
ann |
|
|
|
|
|
|
|
Как было показано(6.1.), все матрицы, подобные матрице А, т.е. все матрицы вида А*= Т-1АТ, где Т – любая невырожденная матрица (квадратная), обладают одним и тем же определителем |A|=|A*|.
Подобные матрицы обладают еще одной общей для всех них характеристикой. Наряду с матрицей А рассмотрим матрицу
a |
|
− |
λ |
|
|
11 |
|
|
|
|
|
a21 |
|
|
A − λE = |
|
|
|
|
... |
|
|||
|
|
an1 |
|
|
|
|
|
a |
... |
a |
|
|
12 |
|
1n |
|
|
a22 − λ |
... |
a2n |
|
, |
... |
... |
... |
|
|
|
|
|||
an2 |
... |
|
|
|
ann − λ |
|
74
ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ
которая образована из А заменой диагональных элементов aij элементами aii − λ , где λ – произвольное число. Определитель этой матрицы
a |
|
− λ |
a |
... |
a |
|
|
|
11 |
|
12 |
|
1n |
|
|
|
|
a21 |
a22 − λ |
... |
a2n |
|
|
∆(λ) =| A − λE |= |
|
|
|
... |
... |
... |
|
... |
|
||||||
|
|
an1 |
an2 |
... |
|
|
|
|
|
ann − λ |
представляет собой многочлен степени n относительно λ (коэффициент при λn равен (-1)n). Многочлен ∆(λ) =| A − λE | называется характеристическим многочленом матрицы А.
Покажем, что все подобные матрицы имеют один и тот же характеристический многочлен, т.е. что | A * −λE |=| A − λE |= ∆(λ) , где А*=Т-1АТ.
Для этого воспользуемся тождеством Е*= Т-1ЕТ. Тогда, заменяя в матрице A* −λE матрицы А* и Е соответственно на Т-1АТ и Т-1ЕТ, получаем:
| A * −λE |=| T −1 AT − λT −1ET |=| T −1 ( A − λE)T |=| T −1 | | A − λE | | T |=| A − λE |.
Таким образом, все подобные матрицы имеют один и тот же характеристический многочлен ∆(λ) =| A − λE | .
Алгебраическое уравнение n-й степени ∆(λ) = 0 называется характеристическим
уравнением матрицы А, а его корни – характеристическими числами. Характеристическое уравнение имеет вид
λn −α1λn−1 +α2λn−2 +... + (−1)n−1αn−1λ + (−1)n αn = 0
где αk – след k-го порядка матрицы А. |
|
|
|
|
|
|
|
|
n! |
|
|
||
Следом k-го порядка αk называется сумма возможных |
|
главных миноров |
|||||||||||
k-ого порядка: |
|
|
|
|
|
|
|
|
k!(n − k)! |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
α1 =a11 +a22 +...+ann =tr(A), |
|
|
|
||||||||||
α2 = |
|
a11 |
a12 |
|
+ |
|
a11 |
a13 |
|
+..., |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
a21 |
a22 |
|
|
|
a31 |
a33 |
|
|
|
|
|
............................................. |
|
|
|
||||||||||
αn =| A|. |
имеет n |
|
|
|
|
|
|
||||||
Характеристическое уравнение |
не обязательно |
различных корней |
λ1,λ2 ,...,λn . Каждому характеристическому корню соответствует собственный вектор с
точностью до постоянного множителя.
Сумма характеристических корней равна следу матрицы А:
λ1 + λ2 +... + λn = tr( A) ,
а произведение характеристических корней равно определителю матрицы А:
λ1 λ2 ... λn =| A |
Число ненулевых корней совпадает с рангом матрицы линейного оператора. Одним из методов для нахождения коэффициентов αi (i =1,n) характеристического
уравнения является методом Фаддеева. Пусть линейный оператор ~ задан матрицей А.
А
Тогда коэффициенты αi вычисляются по следующей схеме:
75
ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ
|
|
|
|
|
|
A1 = A,α1 =tr(A1),B1 = A1 −α1E, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
A = AB ,α |
2 |
= |
|
1 |
tr(A ),B = A −α |
E, |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
1 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
2 |
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
............................................................ |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
A |
= AB |
|
,α |
|
|
|
= |
|
1 |
|
tr(A |
|
),B |
|
= A |
|
−α |
|
E, |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n −1 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
n−1 |
|
|
|
n−2 |
|
|
|
n−1 |
|
|
n−1 |
n−1 |
|
n−1 |
|
n−1 |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
A = AB |
,α |
n |
= |
1 |
tr(A ),B = A −α |
n |
E. |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
n−1 |
|
|
|
|
|
|
n |
|
n |
n |
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
~ |
||||
Пример. Найти собственные значения линейного оператора |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
А, заданного матрицей |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
14 |
|
− 4 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− 4 |
12 |
|
− 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
А= |
|
. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
− 4 |
|
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Решение. Характеристическое уравнение имеет вид |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
λ3 −α1λ2 −α2λ −α3 = 0 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
где α1 =tr(A) =14+12+10=36, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
14 −4 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−22 |
|
−4 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|||||||||
A1 |
|
|
|
−4 12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−4 −24 |
|
|
|
−4 |
|
|
|
|
|
||||||
= A = |
− |
4 ;B1 = A1 |
|
−α1E = |
|
|
|
, |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
0 |
−4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−4 −26 |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
−292 |
40 |
|
|
16 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
A2 |
|
|
|
|
|
40 −256 |
|
|
56 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
= AB1 = |
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
16 |
56 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
−244 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
α2 |
= |
1 |
(−292−256−244) =−396, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
α3 =| A|= |
|
14 |
−4 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
−4 |
12 |
−4 |
|
=1296. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
0 |
−4 |
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В итоге получаем следующее характеристическое уравнение:
λ3 − 36λ2 − 336λ |
−1296 = 0 |
|
|||||||
или (λ − 36)(λ −12)(λ − 6) = 0, откуда |
λ1 =18, λ2 |
=12, λ3 = 6 – собственные значения ли- |
|||||||
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
нейного оператора А. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Теорема Гамильтона-Кэли. Каждая квадратная матрица является корнем своего |
|||||||||
характеристического многочлена. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Доказательство. Рассмотрим многочлен |
|
|
|
|
|
||||
∆(λ) =| A −λE |= λn +αnλn−1 +... +αn . |
(6.2.1) |
||||||||
Пусть матрица В является присоединенной к матрице A − λE . Тогда имеем |
(6.2.2) |
||||||||
(A |
− λ |
E)В | A |
− λ |
E | Е |
. |
|
|||
|
= |
|
|
|
|
||||
Элементами матрицы В являются многочлены от λ степени не выше (n-1). Поэто- |
|||||||||
му матрицу В можно представить в следующем виде: |
|
|
|
||||||
В = В + λВ + λ2 В |
2 |
+... + λn−1В |
n−1 |
(6.2.3) |
|||||
0 |
|
1 |
|
|
|
|
|
76
ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ
Подставляя выражения матрицы В из (6.2.3) и многочлена | A − λE | из (6.2.1) в равенство (6.2.2), получим
( А− λЕ)(В + λВ + λ2 |
В |
2 |
+... + λn−1В |
n−1 |
) = (λn |
+α λn−1 +α |
2 |
λn−2 +... +α |
n |
)Е |
|||
0 |
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
||||
или |
|
|
|
(АВ − В ) +... + λn−1 |
|
|
|
) − λn В |
|
|
|
||
(АВ + λ(АВ − В ) + λ2 |
(АВ |
− В |
|
= |
|
|
|||||||
0 |
1 0 |
|
|
2 1 |
|
|
n−1 |
n−2 |
n−1 |
|
|
(6.2.4) |
|
= λn E + λn−1α1E + λn−2α2 E +... +αn Е |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях λ в обеих частях равенства |
|||||||||||||
(6.2.4), получим |
|
|
|
− Вn−1 = E, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
AВn−1 − Вn−2 =α1E, |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
................................. |
|
|
|
|
|
|
AВ1 − В0 =αn−1E,
AВ0 =αn E.
Умножим равенства (6.2.5) соответственно на An , An−1,..., A, E и сложим полученные результаты:
− An В |
+ An−1В |
− An−2 |
В |
+... + A2 В − AВ + AВ = |
||||
n−1 |
n−1 |
|
|
n−2 |
|
1 |
0 |
0 |
= An +α1 An−1 +... +αn−1 A +αn |
|
|
|
|
||||
или |
An +α1 An−1 +... +αn−1 A +αn = 0 , |
|
|
|||||
|
|
|
||||||
откуда следует, что ∆(λ) = 0. Теорема доказана. |
|
|
|
|
||||
Пример. Линейный оператор |
~ |
|
|
|
|
|
|
|
А задан матрицей |
|
|
||||||
|
|
А= |
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
5 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Найти ∆(λ) и показать, что ∆(λ) = 0. Решение. Составим матрицу
|
|
|
1 |
− λ |
2 |
|
|
|
|
||
|
|
А− λЕ = |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
5 |
4 − λ |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Многочлен ∆(λ) =| A − λE | имеет вид |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
1 − λ |
2 |
|
|
= λ2 −5λ − 6 . |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
5 |
4 − λ |
|
|
|
|
|
|
|
|
Тогда |
|
|
1 2 2 |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
1 2 |
1 |
0 |
0 |
0 |
|||
∆(λ) = A2 −5A − 6E = |
|
−5 |
|
− 6 |
|
= |
. |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
5 4 |
|
5 4 |
0 |
1 |
0 |
0 |
||
6.3. Собственный вектор и собственное число линейного оператора |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
~ |
|
|
|
Пусть в пространстве Rn задан линейный оператор А. |
|
|
|
||||||||
Определение. |
Ненулевой вектор |
х Rn , |
удовлетворяющий соотношению |
||||||||
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
А(x) = λx , называется собственным вектором, а соответствующее число λ – собственным |
|||||||||||
значением оператора |
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
А. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
77
ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ
Из данного определения следует, что образом собственного вектора x является коллинеарный ему вектор λx .
Отметим некоторые свойства собственных векторов оператора ~ .
А
1. Каждому собственному вектору соответствует единственное собственное число.
Предположим обратное: пусть собственному вектору x оператора |
~ |
соответствуют два |
||
А |
||||
собственных числа λ1 иλ2 . Это значит, что |
|
|
||
~ |
|
|
|
|
А(x) = λ1x , |
|
|
||
~ |
|
|
|
|
А(x) = λ2 x . |
|
|
||
Но отсюда следует, что |
|
|
||
λ1x − λ2 x = |
|
|
|
|
0 |
|
|
(λ1 − λ2 )x = 0
Так как по условию x – ненулевой вектор, то λ1 = λ2 .
2. Если x1 и x2 – собственные векторы оператора |
~ |
|
|||
А с одним и тем же собственным |
|||||
числом λ , то их сумма x1 + x2 также является собственным вектором оператора |
~ |
||||
А с соб- |
|||||
|
|
~ |
|
~ |
|
ственным числом λ . Действительно, так как А(x1 ) = λx1 и А(x2 ) = λx2 , то |
|
||||
~ |
~ |
~ |
+ λx2 |
= λ(x1 + x2 ) . |
|
А(x1 |
+ x2 ) = А(x1 ) + |
А(x2 ) = λx1 |
|
||
3. Если x – собственный вектор оператора |
~ |
|
|
||
А с собственным числом λ , то любой |
|||||
|
|
|
|
|
~ |
вектор αx , коллинеарный вектору x , также является собственным вектором оператора А |
|||||
с тем же самым собственным числом λ . |
|
|
|
|
|
Действительно, |
~ |
~ |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
А(αx) =α( Аx) =α(λx) = λ(αx) . |
|
Таким образом, каждому собственному числу λ соответствует бесчисленное множество коллинеарных собственных векторов. Из свойств 2 и 3 следует, что множество
собственных векторов оператора ~ , соответствующих одному и тому же собственному
А
числу, образует пространство, которое является подпространством пространства Rn .
Докажем теорему о существовании собственного вектора.
Теорема. В комплексном линейном пространстве Rn каждый линейный оператор
~ имеет, по крайней мере, один собственный вектор.
А
|
|
Доказательство. Пусть |
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
А – линейный оператор, заданный в пространстве Rn , а x – |
|||||||||||||||
собственный вектор этого оператора с собственным числом λ , т.е. |
~ |
|
|
|
|||||||||||||
А(x) = λx . Выберем |
|||||||||||||||||
произвольный базис е1, е2 ,..., еn |
и обозначим координаты вектора x |
в этом базисе через |
|||||||||||||||
х , х |
|
,..., х |
|
. Тогда, если A = (a |
|
) |
|
|
|
|
|
~ |
|
|
,..., е |
|
, то, записы- |
2 |
n |
ij |
n,n |
– матрица оператора А в базисе е , е |
2 |
n |
|||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
||||||
вая соотношение в матричной форме, получим |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
AX = λEX |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
или(A − λE)X = 0 |
|
}T . |
|
|
|
|
(6.3.1) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
где X ={x , x |
2 |
,..., x |
n |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
В координатной форме матричное уравнение (6.3.1) имеет вид
78
ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ
(a11 − λ)x1 + a12 x2 +... + a1n xn = 0, |
|
|
a21x1 + (a22 − λ)x2 +... + a2n xn = 0, |
(6.3.2) |
|
...................................................... |
||
|
an1x1 + an2 x2 +... + (ann − λ)xn = 0.
Для отыскания собственного вектора необходимо найти ненулевые решения системы (6.3.2), которые существуют тогда и только тогда, когда определитель системы равен нулю, т.е. когда | A −λE |=0. Отсюда следует, что собственное число линейного опера-
тора ~ является его характеристическим числом, которое всегда существует. Подставляя
А
это число в систему (6.3.2), найдет ненулевое решение этой системы, которое определяет искомый собственный вектор. Теорема доказана.
Из данной теоремы следует, что нахождение собственного числа линейного опера-
~ |
|
тора А и соответствующего ему собственного вектора x сводится к решению характери- |
|
стического уравнения | A −λE |=0. Пусть λ1,λ2 ,...,λm (m ≤ n) |
– различные корни характе- |
ристического уравнения. Подставив какой-нибудь корень λi |
в систему (6.3.2), найдем все |
ее линейно независимые решения, которые и определяют собственные векторы, соответствующие собственному числу λi . Если ранг матрицы A − λi E равен r и r<n, то существу-
ет k=n-r линейно независимых собственных векторов, отвечающих корню.
Пример. Найти собственные векторы линейного оператора ~ , заданного матрицей
А
|
2 |
1 |
1 |
|
|
1 |
2 |
1 |
|
A = |
. |
|||
|
1 |
1 |
2 |
|
|
|
Решение. Составим характеристическое уравнение
|
2 − λ |
1 |
1 |
|
= 0, |
|
|
||||
|
1 |
2 − λ |
1 |
|
|
|
1 |
1 |
2 − λ |
|
|
или (λ −1)2 (4 − λ) = 0, откуда λ1 = λ2 =1, λ3 = 4 .
Подставляем корни λ1 = λ2 =1, λ3 = 4 в систему (6.3.1). Найдем собственные векто-
ры оператора ~ .
А
При λ1 = λ2 =1 имеем
|
(A − λE)X = 0 |
|
|
||||||
1 1 |
1 |
|
x |
|
|
0 |
|||
1 |
1 |
1 |
|
x1 |
|
= |
|
0 |
. |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
1 |
1 |
|
x3 |
|
|
|
|
Получим однородную систему трех линейных уравнений, из которых только одно (любое) является линейно независимым. Общее решение системы имеет вид x1 = −x2 − x3 .
Найдем два линейно независимых решения:
x1(1) = (−1,1,0)T , x1(2) = (−1,0,1)T .
Тогда собственные векторы, соответствующие собственным значениям λ1 = λ2 =1, имеют вид
79
ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ
|
−1 |
|
−1 |
|
||
x(1) = с |
1 |
, x(2) |
= с |
0 |
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
где с – произвольное действительное число, отличное от нуля. При λ3 = 4 имеем
− 2 |
1 |
1 |
x |
|
|
0 |
|||
|
1 |
− 2 1 |
|
1 |
|
|
0 |
|
|
|
|
x2 |
|
= |
. |
||||
|
1 |
1 |
− 2 |
|
x |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
Общее решение данной системы имеет вид
х1 = х3 , х2 = х3 , х1 = х2
Собственный вектор, соответствующий собственному значению λ3 = 4, равен
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x (3) = с 1 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
~ |
|
Теорема. Пусть собственные значения λ ,λ |
|
,...λ |
|
|
( p ≤ n) |
оператора |
попарно раз- |
|||
2 |
p |
А |
||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
личны. Тогда отвечающие им собственные векторы х , х |
2 |
,..., х |
p |
линейно независимы. |
||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
Доказательство. Используем метод индукции по числу переменных. Так как х1 –
ненулевой вектор, то при p=1 утверждение теоремы справедливо.
Пусть утверждение теоремы справедливо для m<p векторов х1, х2 ,..., хm . Присоединим к этим векторам вектор хm+1 и допустим, что имеет место равенство
m∑+1αk xk = 0 k=1
Используя свойство линейного оператора, получим
m+1 ~
∑αk А(хk ) = 0
k=1
Так как хk , k =1, m +1, -собственные векторы, то
во (6.3.4) можно переписать следующим образом:
m∑+1αk λk хk = 0 k=1
|
|
|
|
(6.3.3) |
|
|
|
|
(6.3.4) |
~ |
|
|
|
и поэтому равенст- |
|
|
|||
А(хk ) = λxk |
||||
|
|
|
|
(6.3.5) |
Умножим (6.3.3) на λm+1 и вычтем из (6.3.5), получим |
|
||||||
|
m∑+1αk (λk −λm+1) |
|
= |
|
|
(6.3.6) |
|
хk |
0 |
||||||
|
k =1 |
|
|||||
По условию все λk ,k = |
|
, различны, поэтому λk − λm+1 ≠ 0 . |
Система векторов |
||||
1, p |
х1, х2 ,..., хm – линейно независимая. Поэтому из (6.3.6) следует, что α1 = 0,α2 = 0,...,αm = 0 . Тогда из (6.3.3) и из условия, что хm +1 – собственный вектор ( хm+1 ≠ 0 ), получаем λm+1 = 0 . Это означает, что х1, х2 ,..., хm +1 – система линейно независимых векторов. Индукция про-
ведена. Теорема доказана.
Следствие: если все собственные значения λ1,λ2 ,...λn попарно различны, то отвечающие им собственные векторы х1, х2 ,..., хn образуют базис пространства Rn .
80