но согласно теореме Гаусса о потоке первое слагаемое в полученном выражении равно нулю, то есть
что и требовалось доказать.
3.3 Шаровые функции
Шаровой функцией степени 
называется гармоническая функция, являющаяся однородным степенным полиномом вида
(3.12)
где 
-- постоянные. Возьмем сферическую систему координат
(3.13)
где 
-- долгота, 
-- полярное расстояние, -- радиус-вектор точки 
. Очевидно, что
(3.14)
Функция вида
(3.15)
называется сферической функцией.
Итак, шаровая функция степени 
имеет вид
(3.16)
Существует и другой класс шаровых функций, который приведем здесь без вывода
(3.17)
где 
-- та же сферическая функция, которая входит и в формулу (3.16).
Число постоянных шаровой функции степени равно |
. Убедимся в этом на |
при мере шаровой функции третьей степени: |
|
Всего однородный полином третьей степени имеет 10 постоянных. Однако не все постоянные независимы. Шаровые функции подчиняются уравнению Лапласа. Выполнив необходимые выкладки, получим
Следовательно, из 10 постоянных 3 линейно связаны уравнением Лапласа. Остается 10-3=7 независимых постоянных.
3.3.1 Дифференциальное уравнение для сферических функций
Поскольку шаровые функции удовлетворяют уравнению Лапласа, то есть
то должны выполняться и уравнения
В последнем варианте шаровые функции записаны в сферических координатах, поэтому нам необходимо уравнение Лапласа переписать также в сферических координатах.
Из дифференциальной геометрии известно, что если 
, 
, 
-- обобщенные координаты, то элемент дуги в этой системе координат будет иметь вид
где , , -- коэффициенты Ламе:
Теперь оператор Лапласа можно определить следующим образом (без вывода)
(3.18)
Определим коэффициенты Ламе для сферической системы координат. В данном
случае |
, |
|
, |
|
|
, поэтому |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Оператор Лапласа для сферических координат будет выглядеть так
(3.19)
Применим этот оператор к шаровой функции вида |
Очевидно, что |
оператор Лапласа для шаровой функции равен нулю, поэтому |
|
Таким образом, дифференциальное уравнение для сферической функции порядка 
имеет вид
(3.20)
Предлагаем самостоятельно убедиться в том, что дифференциальное уравнение
для функции входящую в шаровую функцию второго рода |
совпадает |
с уравнением (3.20). |
|
3.3.2 Интегрирование дифференциального уравнения
Заменим переменную |
|
|
на . тогда |
|
|
. Очевидно, что |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
поэтому дифференциальное уравнение (3.20) можно переписать так
(3.21)
Будем искать решение этого уравнения в виде |
|
. Подставив это |
||||||
выражение в дифференциальное уравнение, будем иметь |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Умножив каждый член полученного выражения на |
и поделив на |
, |
||||||||
получим |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Видим, что первые два члена зависят только от 
, а последний -- только от 
Для того, чтобы уравнение выполнялось для любых 
и 
, необходимо, чтобы эти функции выродились в константы. Например, уравнение будет выполняться, если
(3.22)
Второе уравнение есть уравнение гармонических колебаний
Его решение для любых действительных значений 
имеет вид
где 
и 
-- постоянные интегрирования. Решение первого из приведенных выше уравнений,
зависит как от постоянной , так и от постоянной . Обозначив решение через |
, |
получим |
|
(3.23)
Функция 
при целочисленных значениях 
носит название присоединенной
(ассоциативной) функции Лежандра. В случае 
, эти функции становятся степенными полиномами, которые называются полиномами Лежандра. Полагая в уравнении (3.23) 
, получим дифференциальное уравнение для полиномов Лежандра
(3.24)
В теории специальных функций свойства функций и полиномов Лежандра достаточно хорошо изучены. Приведем лишь некоторые сведения (без вывода), которые могут пригодиться в нашем курсе. Присоединенные функции Лежандра и полиномы Лежандра связаны между собой соотношением
(3.25)
Подводя итог сказанному, выпишем окончательный вид решения дифференциального уравнения для сферических функций
(3.26)