теллуроидом. Гравитационные аномалии, как и прежде, относятся к разным точкам: наблюденное значение задано на физической поверхности, а нормальное -- на теллуроиде.

В литературе, посвященной исследованию гравитационных полей планет, встречаются и другие определения понятия теллуроида, как поверхности аппроксимирующую форму Земли.

Теллуроид Марусси определяется следующим образом. Теллуроид -- геометрическое место точек, в которых потенциал тяжести совпадает с нормальным

.

Теллуроид Крарупа (гравиметрический теллуроид) -- геометрическое место точек, в

котором нормальная сила тяжести совпадает с силой тяжести на поверхности Земли

.

Каждое из определений теллуроида требует своего подхода для определения его фигуры. Мы остановимся здесь лишь на теллуроиде и квазигеоиде Молоденского.

9.3 Краевые условия задачи Молоденского

В точке на физической поверхности Земли нам известно значение потенциала

тяжести , а в точке на теллуроиде -- значение нормального потенциала

. Используя векторно-матричную математику запишем основные соотношения,

связывающие возмущающий потенциал разность потенциалов

, так называемую аномалию потенциала, аномалию высоты

(9.6)

(9.7)

Аналогично получим смешанную аномалию

(9.8)

но градиент вектора g есть градиент всех его составляющих, что дает матрицу-тензор. Обозначим

поэтому

"чистая" аномалия, равна градиенту возмущающего потенциала , поэтому вместо (9.8) можно записать

(9.9)

Итак, мы получили два уравнения, которые на физической поверхности Земли можно взять в качестве краевых условий

(9.10)

Первая из приведенных формул есть обобщение формулы Брунса, связывающей возмущающий потенциал с высотой квазигеоида. Из этих двух уравнений можно

построить одно, если исключить аномалию высоты . Решим второе из приведенных

Подставляя полученное выражение в первое уравнение из (9.10), будем иметь

обобщенной задачи Молоденского принимает вид

(9.12)

9.3.1 Частный случай: измерения выполнены на уровенной поверхности

Рассмотрим случай, когда аномалия потенциала -- постоянная величина. Другими словами точка , как и в задаче Стокса, находится на поверхности уровня. Тогда

. Выберем локальную систему отсчета с началом в точке . Ось

направим на север, ось -- на восток, а ось -- по направлению внутренней нормали к эллипсоиду вниз. Тогда вектор аномалии высоты может быть определен матрицей-строкой

Градиенты нормального потенциала в точках и равны

Матрица вторых производных нормального потенциала

Первое из уравнений (9.10) для краевых условий дает

то есть

Следовательно,

(9.13)

Второе уравнение из (9.10) выглядит следующим образом

(9.14)

Первые два уравнения дают уклонения отвеса

(9.15)

где =206265 -- число секунд в радиане. Последний член в скобках формул (9.15) дает очень малый вклад и может быть отброшен. Действительно, мы видели, что для нормальной силы тяжести максимальное значение горизонтального градиента равно

0,000811 мГал/м. При =100 м, что бывает очень редко, величина составит 0,081 мГал и внесет погрешность в уклонение отвеса 0,017", тогда как уклонения отвеса достигают несколько секунд дуги.

из (9.13) получим краевое условие для смешанных аномалий

(9.16)

Мы получили, таким образом, краевое условие почти совпадающее с краевым условием Стокса.

Задача определения фигуры Земли сводится к построению решения уравнения Лапласа, которое удовлетворяет краевому условию (9.16) или, в общем случае, условию (9.12). Способы решения этой задачи заслуживают специального изучения, но выходят за пределы нашего курса.