8.2.1 Внутренняя проблема Дирихле
Допустим, что искомая функция 
задана на поверхности сферы 
значениями
. Разложим функцию 
в ряд Лапласа:
Внутренняя проблема Дирихле
Искомым решением будет
(8.7)
так как:
1.удовлетворяет уравнению Лапласа, как шаровая функция первого рода;
2.на сферической поверхности
радиуса она равна |
. |
Внешняя проблема Дирихле
Решение уравнения Лапласа задают в виде суммы шаровых функций второго рода
(8.8)
Эта функция также:
1.удовлетворяет уравнению Лапласа как шаровая функция второго рода;
2. на поверхности она равна |
; |
3.на бесконечности стремится к
нулю как , что говорит о ее регулярности на бесконечности.
8.3 Краевые задачи Неймана
На поверхности иногда заданы не значения функции, а ее нормальные производные. Тогда это задача Неймана, которая также может быть и внутренней и внешней. Краевое условие в этом случае имеет вид
Для сферы имеет место равенство |
, поэтому краевое условие можно |
записать так: |
|
(8.9)
|
где |
|
|
-- функция Лапласа. |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Поскольку |
, для выполнения теоремы Гаусса для |
|
|
||||
|
гармонических функций о потоке необходимо, чтобы выполнялось условие |
, |
|
|||||
|
что эквивалентно условию |
|
. |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|||
|
Внутренняя проблема Неймана |
|
Внешняя проблема Неймана |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Нетрудно убедиться, что решением |
|
|
Эту проблему на сфере решает функция |
|
|
||
|
внутренней проблемы Неймана будет |
|
|
|
|
|||
(8.10)
Действительно, эта функция гармоническая, так как состоит из суммы шаровых функций первого рода, а подстановка ее в краевое условие (8.9) убеждает нас, что оно выполняется.
(8.11)
В справедливости этого утверждения предлагаем убедить самостоятельно.
8.4 Смешанная краевая задача
Эта задача, как и две предыдущие может быть и внутренняя, и внешняя. Рассмотрим вариант внешней смешанной краевой задачи, имеющей отношение к теории фигуры Земли. Краевым условием в этом случае будет линейная комбинация самой искомой функции и ее нормальной производной на граничной поверхности
(8.12)
Снова решение будем искать в виде разложения по сферическим функциям
где -- сферическая функция, подлежащая определению. Подставим это выражение в краевое условие (8.12):
Приравнивая сферические функции одинаковых степеней почленно, получим
Следовательно, решением внешней смешанной краевой задачи будет
(8.13)
8.5 Определение высот геоида
Мы убедились в том, что возмущающий потенциал является гармонической функцией и на сфере выполняется краевой условие (8.6). Это типичная внешняя смешанная краевая задача. Чтобы ее решить, нужно представить смешанную гравитационную аномалию рядом Лапласа
где
(8.14)
где -- сферическое расстояние между точкой и элементом сферической поверхности 
. Представим теперь правую часть уравнения (8.6), задающее краевое условие. Для
возмущающего потенциала справедливо разложение , где
В классическом решении данной задачи, получившей название задачи Стокса, предполагается, что масса эллипсоида равна массе реальной Земли, то есть
, а начало координат совпадает с центром масс планеты |
|
Отсюда следует, что разложение возмущающего потенциала начинается с |
: |
Пренебрегая квадратом сжатия, мы снова дифференцирование по нормали заменим дифференцированием по радиус-вектору
Следовательно
Заметим, что при 
, должно быть
а при 
Итак, для того, чтобы решение задачи Стокса существовало необходимо, чтобы среднее значение смешанных гравитационных аномалий равнялось нулю и, кроме того, должен
равняться нулю интеграл |
. Теперь решение краевой задачи для возмущающего |
|||||
потенциала принимает вид |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
(8.15) |
|
|
|
|
|
||
Подставим сюда интегральную форму (8.14) для функций Лапласа:
(8.16)