различные варианты решения практически эквивалентны, но они не решают задачу вполне строго. Он предложил строгое решение задачи определения фигуры Земли. При этом определяются высоты не поверхности, которую мы называем геоидом, а другой поверхности, достаточно близкой к геоиду, которую он назвал квазигеоидом. М.С. Молоденский разработал теорию построения квазиеоида, предложил алгоритмы приближенного решения проблемы. Во-первых, редукция (перенос) силы тяжести или потенциала выполняется в линейном приближении. Во-вторых, хотя все измерения и редукции относятся к физической поверхности или к эллипсоиду, интегрирование малых функций, где это требуется, выполняется по сфере (сферическое приближение). Молоденского. Конечно, теория Молоденского не окончательная. Она постоянно совершенствуется его учениками. В Советском Союзе возникла школа Молоденского, которая широко известна не только у нас, но и за рубежом.

9.2 Система высот

Определить фигуру какой-либо поверхности -- это значит определить расстояния каждой точки этой поверхности до тела отсчета, за которое берется эллипсоид вращения. Эти расстояния обычно называют геодезическими высотами. Понятие

соединить эти точки каналом и пустить воду, куда она потечет? Кажется вполне естественным ответ: из точки к точке . Однако это не совсем так. Весь вопрос в том, как проходит уровенная поверхность через эти точки. Если обе точки лежат на одной уровенной поверхности, то вода никуда не потечет. Если уровенная поверхность, проходящая через точку окажется под уровенной поверхностью точки , то будет наблюдаться обратная картина: вода потечет от точки к точке

. Таким образом, для гидротехнических сооружений система геодезических высот оказывается непригодной.

В геодезии высоты определяют нивелированием. Нивелир -- это оптическая труба, визирная линия которой устанавливается строго горизонтально с помощью достаточно высоко чувствительного уровня. Чтобы определить превышение одной

точки над другой, в этих точках устанавливаются специальные вертикальные рейки. С помощью нивелира с каждой рейки поочередно берут отсчеты, тогда разность этих отсчетов есть нивелирное превышение одной точки над другой.

Нивелирный ход от точки , расположенной, например, на уровне моря, к точке

даст измеренную высоту точки над уровнем моря , где нивелирное превышение одного звена. Если нивелирный ход имеет много звеньев,

(9.1)

Таким образом, для определения разности потенциалов нужно иметь нивелирные превышения и силу тяжести вдоль всего профиля.

Введем в рассмотрение еще одну точку. Через точку проходит силовая линия, которую можно продолжить до поверхности геоида (уровень моря). Она пересечется с этой поверхностью в токе textitР'. Таким образом точки и Р' лежат на одной поверхности уровня (на геоиде) Поскольку результат определения разности потенциалов не зависит от пути интегрирования, выберем такой маршрут О-Р'-Р. Приращение потенциала мы получим лишь на отрезке силовой линии Р'-Р:

. При движении по силовой линии сила тяжести непрерывно меняется. Согласно теореме о среднем, в курсе математического анализа, можно найти такое значение подынтегральной функции, которое она принимает внутри интервала интегрирования, которым можно заменить подынтегральное выражение

Отрезок силовой линии РР'называется ортометрической высотой точки над уровнем моря (то есть над геоидом). Итак

(9.2)

Чтобы вычислить ортометрическую высоту, необходимо знать не только приращение потенциала, но и уметь вычислить среднее значение силы тяжести на отрезке силовой линии, а для этого необходимо знать как меняется сила тяжести на этом

отрезке внутри Земли. М.С.Молоденский предложил заменить на среднее значение нормально силы тяжести. Высоту, которую мы таким образом получим он назвал нормальной. Такая замена неизбежно внесет погрешность, которая, впрочем, невелика. Согласно определению, нормальная высота может быть определена по формуле

(9.3)

Поскольку ортометрическая высота есть высота точки над уровнем моря, то мало отличающаяся от нее нормальная высота будет равна высоте точки от поверхности мало отличающейся от геоида. Молоденский назвал эту поверхность квазигеоидом. Отличие истинной (геодезической) высоты от нормальной уместно назвать аномалией высоты. Это понятие также ввел Молоденский. Итак, аномалия высоты есть

(9.4)

Аномалия высоты есть расстояние квазигеоида от эллипсоида, или равна высоте

почтигеоида. Очевидно, что . В классическом понимании, определить фигуру Земли -- это значит определить высоты геоида . Однако, мы не сделаем большой погрешности, если будем считать фигурой Земли -- фигуру квазигеоида, а для этого мы должны определить аномалии высот.

Сведем задачу снова к краевой задаче для гармонических функций. Следовательно, аномалию высоты нужно определить через возмущающий потенциал (см лекцию 8, раздел 8.1). Итак, имеем:

Таким образом, точка не совпадает с точкой , так как она подбирается так, чтобы приращение потенциала реального и нормального были одинаковыми

Здесь постоянные и означают следующее: первая постоянная есть величина потенциала тяжести на геоиде, а вторая -- величина нормального потенциала на

уровенном эллипсоиде. Нетрудно убедиться, что отрезок равен аномалие

высоты . Следовательно

поэтому .

Отсюда следует

(9.5)

Мы получили вновь формулу Брунса, однако она отличается тем, что содержит

дополнительный член , который в "классической" формуле отсутствует. В теории Стокса предполагается, что обе эти постоянные равны: потенциал тяжести на уровне моря равен потенциалу уровенного эллипсоида.

Другое отличие: нормальная сила тяжести задается не на геоиде, а в некоторой