Поскольку величина 
-- малая порядка сжатия, то коэффициенты 
для гидростатически равновесного эллипсоида убывают с ростом 
как степенная
функция 
или 
. Отклонение от этого закона, которое часто можно наблюдать на практике, говорит прежде всего о неравновесном состоянии планеты.
Лекция 7. Нормальное поле тяжести Земли
•7.1 Формула Сомильяны
•7.2 Нормальная сила тяжести
•7.3 Вторые производные гравитационного потенциала
•7.4 Вторые производные потенциала притяжения в околоземном пространстве
7.1 Формула Сомильяны
Итальянский геодезист Сомильяна (Somigliana) в 1929 году получил точную формулу, показывающую распределение силы тяжести на уровенной поверхности эллипсоида вращения. Вопреки правилам русского языка эта формулa вошла в русскую литературу как формула Сомильяна, как если бы его фамилия была Сомильян. Мы будем склонять его фамилию, поэтому должны назвать его формулу именем Сомильяны.
Как мы видели, потенциал притяжения эллипсоида в эллипсоидальных координатах
имеет вид (формула (6.17)):
Потенциал тяжести отличается тем, что аддитивно включает в себя центробежный потенциал
Таким образом
(7.1)
Учитывая, что |
, получим |
где обозначено
Для того, чтобы получить силу тяжести на поверхности эллипсоида |
, |
|
необходимо продифференцировать функцию |
вдоль координатной линии |
|
Элемент дуги в этом случае равен |
, где |
-- |
коэффициент Ламе, который, в данном случае, равен |
|
|
Таким образом, производную потенциала тяжести по нормали к поверхности
эллипсоида 
можно записать так
где
Очевидно, что |
, но |
, |
, поэтому |
Теперь удельную силу тяжести на поверхности эллипсоида можно записать так
|
|
|
|
(7.2) |
|
Мы получили искомую формулу для удельной силы тяжести на поверхности |
|||||
|
|||||
уровенного эллипсоида. Однако нам необходимо избавиться от постоянных |
и |
||||
. Заметим, что точка |
, |
соответствует полюсу эллипсоида, а |
|
||
точка |
, |
-- экватору. Будем снабжать обозначение для силы тяжести |
соответственно индексами 
и е. Из (7.2) получим
то есть
Теперь формулу (7.2) можно переписать следующим образом
(7.3)
Для того, чтобы получить формулу Сомильяны в окончательном виде, необходимо от эллипсоидальной системы координат перейти к геодезической. Сопоставим две системы координат для точек поверхности эллипсоида
где |
(см. лекцию 2, раздел 2.4). |
Поскольку |
( понятия долготы в геодезической и эллипсоидальной системах |
координат совпадают), поэтому
Отсюда
Имеем очевидные выражения для связи 
и 
:
После несложных упрощений, окончательно получим формулу Сомильяны
(7.4)
7.2 Нормальная сила тяжести
В геодезии и геофизике основной характеристикой гравитационного поля являются гравитационные аномалии, полученные как разность между наблюденным значением удельной силы тяжести и предвычисленным. Однако сравнивать эти значения можно только, в случае когда наблюденное и нормальное значения относятся к одной и той же точке пространства. В действительности же нормальную силу тяжести относят к общему земному эллипсоиду, а наблюденное -- к физической поверхности Земли. Такие аномалии в геодезии именуют смешанными аномалиями. Иногда наблюденное значение редуцируют, то есть вносят поправки, позволяющие вычислить значение силы тяжести в другой точке или на другой поверхности. При этом используют ту или иную гипотезу о строении верхних слоев Земли. В этом случае понятие гравитационные аномалии уточняют, например гравитационные аномалии в редукции Фая или гравитационные аномалии в редукции Гленни.
Итак, нормальное значение силы тяжести относят к общему земному эллипсоиду, которое можно вычислить по строгой формуле (7.4). Эта формула строгая лишь в том случае, когда поверхность эллипсоида есть поверхность уровня, чего в действительности нет. На практике в задачах геодезии и геофизики применяют приближенную формулу для нормальной силы тяжести. Причем численные значения коэффициентов, входящие в эту формулу, утверждают на Генеральной ассамблее Международного Союза геодезии и геофизики.
Вернемся к формуле Сомильяны. Упростим ее, отбрасывая малые величины порядка
куба сжатия. Введем в обращение понятия геометрического сжатия |
и |
||||
гравитационного сжатия |
. Обе величины мы будем считать одного |
||||
порядка малости. В |
формуле |
Сомильяны мы должны заменить |
величиной |
||
, а вместо |
взять |
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Разлагая полученное выражение в степенной ряд относительно 
и , будем иметь