14.Методы расчёта элементов конструкций на прочность и жесткость.

15.Статические неопределимые задачи при растяжении-сжатии и методы их решения.

Статически неопределимыми называются брусья и системы, внутренние усилия или реакции опор в которых нельзя определить с помощью одних лишь уравнений равновесия. Поэтому при их расчете необходимо составлять дополнительные уравнения – уравнения совместности деформаций или перемещений сечений, учитывающих характер деформации системы (геометрическая сторона задачи). Число дополнительных уравнений, необходимых для расчета системы, характеризует степень ее статической неопределимости. Всегда можно составить столько дополнительных уравнений, сколько не хватает уравнений статики для решения задачи.

Усилия в элементах статически определимых систем возникают только от действия внешней нагрузки (включая собственный вес конструкций). В элементах статически неопределимых систем усилия могут возникать и при отсутствии внешней нагрузки – в результате, например, изменения температуры, смещения опорных связей, а также при монтаже из-за неточности изготовления отдельных элементов конструкции.

Составление дополнительных (к уравнениям равновесия) уравнений перемещений (геометрическая сторона задачи) рассмотрим на примере.

Стержень защемлен по концам и нагружен силой F, действующей вдоль оси стержня (рис. 3.9). Собственный вес стержня не учитываем.

Под действием силы F в этом случае в заделках могут возникать только показанные реакции V_A и V_B, которые требуется определить. Направления неизвестных опорных реакций выбираем произвольно.

Для данного случая (когда все силы действуют вдоль одной прямой) можно составить только одно уравнение равновесия:

Для определения двух неизвестных V_A и V_B необходимо составить дополнительно одно уравнение, т.е. рассматриваемая задача является статически неопределимой (степень статической неопределимости бруса равна единице).

Для составления дополнительного уравнения рассмотрим геометрическую сторону задачи – составим условие совместности деформаций отдельных участков: общая длина бруса не может изменяться, следовательно,

Удлинение можно выразить как сумму удлинений двух участков:

(3.18)

Рассмотрим физическую сторону задачи и абсолютные удлинения участков и, используя закон Гука по формуле (3.13), выразим через продольные силы N₁ и N₂:

(3.19)

В этих формулах ипредставляют собой выражения продольных сил на участках 1 и 2, записываемые по методу сечений:

(3.20)

Подставим выражения (3.19) с учетом (3.20) в формулу (3.18) и получим:

(3.21)

Отсюда найдем =

При условии получим:

(3.22)

Если то (3.23)

Если то(3.24)

Реакцию найдем из уравнения статики:

(3.25)

При равномерном изменении температуры окружающей среды вокруг бруса на t формулы (3.19) запишутся в виде:

(3.26)

где ₁ и ₂ – коэффициенты линейного расширения материалов бруса.

Подставляя формулы (3.26) в формулу (3.18) и используя (3.20), найдем реакцию V_B при совместном воздействии на брус силы F и изменением температуры окружающей среды на t градусов.