24.Зависимость между моментами инерции при повороте осей. Главные оси и главные моменты инерции.

Найдем зависимость межу моментами инерции относительно осей и моментами инерции относительно осей, повернутых на угол(рис. 3.11). Пустьи положительный уголотсчитывается от осипротив часовой стрелки.

Рис. 3.11. Поворот осей координат

Для решения поставленной задачи найдем зависимость между координатами бесконечно малой площадки в исходных и повернутых осях

(3.27)

Теперь определим моменты инерции относительно осей

. (3.28)

Аналогично

. (3.29)

Для центробежного момента

. (3.30)

Складывая (3.28) и (3.29), получаем

(3.31)

Вычитая (3.28) из (3.29), получаем

(3.32)

Формула (3.31) показывает, что сумма моментов инерции относительно любых взаимно перпендикулярных осей не меняется при их повороте.

Формула (3.32) может быть использована для вычисления центробежного момента инерции относительно осей по известным осевым моментам инерции относительно осейи.

Главные оси инерции и главные моменты инерции

При изменении угла (рис. 3.10) моменты инерции (3.280 – (3.31) изменяются. Найдем значение угла, при котором и имеют экстремальное значение. Для этого возьмем от и первую производную пои приравниваем ее нулю:

или

откуда

(3.33)

Эта формула определяет положение двух осей, относительно которых осевой момент инерции максимален, а относительно другой минимален. Такие оси называют главными. Моменты инерции относительно главных осей называют главными моментами инерции.

Значения главных моментов инерции найдем из формул (3.28) и (3.29, подставив в них из формулы (3.33), при этом используем известные формулы тригонометрии для функций двойных углов. После преобразования получим формулу для определения главных моментов инерции:

=(3.34)

Покажем теперь, что относительно главных осей центробежный момент инерции равен нулю. Действительно, приравнивая по формуле (3.30) нулю, получаем

,

откуда для вновь получается формула (3.33)

.

Таким образом, главными осями называют оси, обладающие следующими свойствами:

• Центробежный момент инерции относительно этих осей равен нулю.

• Моменты инерции относительно главных осей имеют экстремальные значения (относительно одной – максимум, относительно другой – минимум).

Главные оси, приходящие через центр тяжести сечения, называются главными центральными осями.

Во многих случаях удается сразу определить положение главных центральных осей. Если фигура имеет ось симметрии, то она является одной из главных центральных осей, вторая проходит через центр тяжести сечения перпендикулярно первой. Это следует из того обстоятельства, что относительно оси симметрии и любой оси, ей перпендикулярной, центробежный момент инерции равен нулю.

25.Вычисление главных центральных осевых моментов инерции простых сечений.

26.Вычисление главных центральных осевых моментов инерции сложных сечений.

При отсутствии у заданного сечения оси симметрии задача решается в следующей порядке последовательности:

1. Сечение разбиваем на простые фигуры и проводим их вертикальные и горизонтальные центральные оси.

2. Проводим произвольные оси Z' и Y', параллельные центральным осям простых фигур.

3. Определяем координаты центра тяжести заданного сечения z_С и y_С относительно осей Z' и Y' по формулам (5.3).

4. Откладываем расстояния z_С и y_С с учетом знаков от осей Z' и Y' и проводим центральные оси всего сечения Z и Y, параллельные осям Z' и Y'.

5. Определяем осевые и центробежные моменты инерции всего сечения относительно осей Z и Y по формулам (5.9).

6. Определяем величины главных центральных (экстремальных) моментов инерции всего сечения по формуле:

(5.21)

7. Определяем положение главных центральных осей:

(5.22)

где – угол, на который нужно повернуть осиZ и Y, чтобы они стали главными.

Угол нужно отложить против хода часовой стрелки, если он имеет знак "плюс" и по ходу часовой стрелки – если знак "минус".

27.Крутящийся момент и его определение. Построение эпюры крутящего момента. Кручением называется простой вид сопротивления, при котором к брусу (валу) прикладываются внешние пары сил в плоскостях, совпадающих с поперечным сечением вала, а в последних возникает только внутренний крутящий момент.

Рассмотрим расчетную схему вала, нагруженного двумя сосредоточенными моментами М и 2М и распределенными по длине: m, рис.2.

Методика построения эпюры аналогична только что рассмотренной методике при растяжении-сжатии.

а) расчетная схема, б) первый участок, левая часть в) второй участок, левая часть г) третий участок, правая часть, д) эпюра внутренних крутящих моментов

Рис. 2. Построение эпюры внутренних крутящих моментов:

 

В исходных сечениях No 1,2 и 3 задаются положительными значениями внутренних крутящих моментов М₁, М₂, М₃. Пусть М=ml.

Для первого участка (рис.2 б):

Для второго участка (рис.2 в):

Для третьего участка (рис.2 г):

Границы измерения параметра х₃ в следующей системе координат:

Тогда:

Отмеченные значения ординат откладываются на эпюре внутренних крутящих моментов (рис.2 д).