- •1.Основные задачи сопротивления материалов.
- •2.Допущения принятые в сопротивлении материалов.
- •3.Геометрическая схематизация элементов строительных конструкций.
- •4.Классификация сил, действующих на элемент конструкции.
- •5.Внутренние силы.
- •Простейшие случаи сопротивления
- •6.Деформация и перемещения.
- •7.Расчетная схема.
- •8.Продольная сила и её определение. Построение эпюры продольной силы.
- •9.Напряжения при растяжении-сжатии (нормально напряжение). Построение эпюры нормальных напряжений.
- •10.Закон Гука при растяжении-сжатии. Модуль упругости (модуль Юнга).
- •Определение абсолютной деформации участка бруса
- •11.Коэффициент поперечной деформации (коэффициент Пуассона
- •12.Определение перемещений при растяжении-сжатии. Закон Гука для участка бруса. Определение перемещений сечений бруса
- •13.Определение механических характеристик материалов. Испытание на растяжение. Испытание на сжатие.
- •14.Методы расчёта элементов конструкций на прочность и жесткость.
- •15.Статические неопределимые задачи при растяжении-сжатии и методы их решения.
- •16.Особенности стержневых статически неопределимых конструкций.
- •17.Сдвиг. Поперечная сила.
- •18.Напряжение при сдвиге (касательное напряжение). Закон парности касательных напряжений.
- •19.Закон Гука при сдвиге. Модуль упругости при сдвиге. Связь модуля при сдвиге с модулем при растяжении.
- •20.Практические расчёты на сдвиг. Расчет сварных соединений. Расчёт болтовых и заклёпочных соединений.
- •21.Геометрические характеристики плоских сечений. Общие сведения. Статический момент сечения. Определение центра тяжести сечения.
- •22.Моменты инерции площади сечения.
- •23.Зависимость между моментами инерции относительно параллельных осей. Вычисление моментов инерции сложных сечений.
- •24.Зависимость между моментами инерции при повороте осей. Главные оси и главные моменты инерции.
- •Главные оси инерции и главные моменты инерции
- •25.Вычисление главных центральных осевых моментов инерции простых сечений.
- •26.Вычисление главных центральных осевых моментов инерции сложных сечений.
- •28.Напряжения при кручении (вывод формулы).
- •29.Определение перемещений при кручении.
- •30.Практические расчёты на кручение.
- •31.Изгиб. Внутренние усилия при изгибе. Разновидности изгиба. Виды балок.
- •32.Определение внутренних усилий при изгибе. Дифференциальные зависимости при изгибе. Правила построения эпюр.
- •34.Касательные напряжения при изгибе (вывод формулы).
- •35.Расчёт на прочность при изгибе.
- •36.Расчёт балок на жёсткость. Методы определения перемещений при изгибе (перечислить методы).
- •37.Определение перемещений при помощи дифференциального уравнения изогнутой оси балки..
- •38.Определение перемещений при изгибе при помощи универсального уравнения изогнутой оси бруса (метода начальных параметров).
- •39.Определение перемещений при изгибе при помощи интеграла Мора. Правило Верещагина.
- •Потенциальная энергия системы с учетом силы ф
- •Площадь иногда приходится разбивать на более простые части, тогда вместо (20) получим
- •40.Напряжённое состояние в точке элемента конструкции. Виды напряжённого состояния.
- •41.Линейное напряжённое состояние. Плоское напряжённое состояние.
- •Внецентренное растяжение (сжатие) прямого бруса.
- •Ядро сечения
- •43Изгиб с кручением.
- •44.Изгиб, кручение и сжатие.
34.Касательные напряжения при изгибе (вывод формулы).
В случае поперечного изгиба в сечениях балки возникают не только изгибающий момент, но и поперечная сила. Следовательно, в этом случае в поперечных сечениях бруса возникают не только нормальные, но и касательные напряжения.
Так как касательные напряжения в общем случае распределены по сечению неравномерно, то при поперечном изгибе поперечные сечения балки строго говоря не остаются плоскими. Однако при (гдеh высота поперечного сечения, l длина балки) оказывается, что эти искажения заметным образом не сказываются на работе балки на изгиб. В данном случае гипотеза плоских сечений и в случае чистого изгиба с достаточной точностью приемлема. Поэтому для расчета нормальных напряжений применяют ту же формулу (5.10).
Рис. 5.21
Продольным горизонтальным сечением, проведенным на расстоянии y от нейтральной оси, разделим элемент на две части (рис. 5.21, в) и рассмотрим равновесие верхней части, имеющей основание шириной b. При этом с учетом закона парности касательных напряжений, получим, что касательные напряжения в поперечном сечении равны касательным напряжениям, возникающим в продольных сечениях (рис. 5.21, б). С учетом данного обстоятельства и из допущения о том, что касательные напряжения по площади bdz распределены равномерно, используя условие z = 0, получим:
N N d N + bdz = 0 ,
откуда
. (5.12)
где N равнодействующая нормальных сил dF в левом поперечном сечении элемента dz в пределах заштрихованной площади F (рис. 5.20, г):
. (5.13)
С учетом (5.10) последнее выражение можно представить в виде
, (5.14)
где статический момент части поперечного сечения, расположенной выше координаты y (на рис. 5.21,б эта область заштрихована). Следовательно, (5.14) можно переписать в виде
,
откуда
. (5.15)
,
или окончательно
. (5.16)
Полученная формула (5.16) носит имя русского ученого Д.И. Журавского.
Для исследования напряженного состояния в произвольной точке балки, испытывающей поперечный изгиб, выделим из состава балки вокруг исследуемой точки элементарную призму (рис. 5.21, г), таким образом, чтобы вертикальная площадка являлась частью поперечного сечения балки, а наклонная площадка составляла произвольный угол относительно горизонта. Принимаем, что выделенный элемент имеет следующие размеры по координатным осям: по продольно оси dz, т.е. по оси z; по вертикальной оси dy, т.е. по оси у; по оси х равный ширине балки.
Так как вертикальная площадка выделенного элемента принадлежит поперечному сечению балки, испытывающему поперечный изгиб, то нормальные напряжения на этой площадке определяются по формуле (5.10), а касательные напряжения по формуле Д.И. Журавского (5.16). С учетом закона парности касательных напряжений, легко установить, что касательные напряжения на горизонтальной площадке также равны . Нормальные же напряжения на этой площадке равны нулю, согласно уже известной нам гипотезе теории изгиба о том, что продольные слои не оказывают давления друг на друга.
Обозначим величины нормальных и касательных напряжений на наклонной площадке через и , соответственно. Принимая площадь наклонной площадки dF, для вертикальной и горизонтальной площадок будем иметь dF sin и dF cos , соответственно.
Составляя уравнения равновесия для элементарной вырезанной призмы (рис. 5.21, г), получим:,откуда будем иметь:
;
.
Следовательно, окончательные выражения напряжений на наклонной площадке принимают вид:
Определим ориентацию площадки, т.е. значение = 0 , при котором напряжение принимает экстремальное значение. Согласно правилу определения экстремумов функций из математического анализа, возьмем производную функции от и приравняем ее нулю:
.
Предполагая = 0 , получим:
.
Откуда окончательно будем иметь:
.
Согласно последнему выражению, экстремальные напряжения возникают на двух взаимно перпендикулярных площадках, называемых главными, а сами напряжения главными напряжениями.
Сопоставляя выражения и , имеем:
,
откуда и следует, что касательные напряжения на главных площадках всегда равны нулю.
В заключение, с учетом известных тригонометрических тождеств:
и формулы ,
определим главные напряжения, выражая из через и :.
Полученное выражение имеет важное значение в теории прочности изгибаемых элементов, позволяющее производить расчеты их прочности, с учетом сложного напряженного состояния, присущее поперечному изгибу.