32.Определение внутренних усилий при изгибе. Дифференциальные зависимости при изгибе. Правила построения эпюр.

Балкой называется брус, претерпевающий деформацию поперечного изгиба.

Прямой изгиб – вид деформации, при котором внешние усилия приложены к брусу перпендикулярно к его продольной оси и действуют в плоскости, совпадающей с одной из главных плоскостей инерции бруса (если центр тяжести сечения и центр изгиба совпадают). При этом в поперечных сечениях бруса возникают изгибающий момент и поперечная сила, действующие в той же плоскости, что и внешние силы. Такой изгиб называется прямым поперечным. Если в сечениях бруса возникает только изгибающий момент, а поперечная сила равна нулю, то такой изгиб называется прямым чистым изгибом.

Если центр тяжести сечения и центр изгиба не совпадают, то при прямом изгибе плоскость действия внешних сил проходит через центр изгиба параллельно одной из главных осей инерции поперечного сечения.

Центром изгиба называется точка, находящаяся в плоскости поперечного сечения бруса, в которой приложенная сила перпендикулярна продольной оси, не вызывает кручения сечения.

При построении эпюр внутренних усилий (графиков их изменения по длине бруса) используется метод сечений.

1. На брусе выделяем грузовые участки. Часть бруса, в пределах которой закон изменения внутреннего усилия описывается одним аналитическим выражением, называется грузовым участком. Внешними признаками границ грузовых участков являются:

– точки приложения сосредоточенных сил и моментов;

– места расположения опор;

– места начала и конца действия распределенных нагрузок;

– места изменения интенсивности распределенной нагрузки.

– места изломов оси.

2. В пределах каждого грузового участка проводим сечения, перпендикулярные продольной оси бруса, на расстоянии х_i от начала данного грузового участка или от начала бруса, т.е. начало координат совмещаем с началом каждого грузового участка или оставляем неподвижным на одном из краев бруса (рис. 7.1а).

3. Отбрасываем любую часть (лучше ту, на которую действует больше сил).

4. Заменяем действие отброшенной части на оставшуюся положительными изгибающим моментом и поперечной силой (рис. 7.1б). При этом используем следующее правило знаков: изгибающий момент в рассматриваемом сечении считается положительным, если от нагрузки, действующей на рассматриваемую отсеченную часть стержня, он стремится растянуть в этом сечении нижние продольные волокна, и отрицательным, если стремится растянуть верхние волокна (рис. 7.2а).

Ординаты эпюр изгибающих моментов принято откладывать со стороны растянутых волокон. Таким образом, знаки для изгибающих моментов в дальнейшем будем использовать только при их вычислении в различных сечениях балки и не указывать на эпюрах изгибающих моментов.

Поперечная сила в сечении считается положительной, если стремится сдвинуть отсеченную часть по ходу часовой стрелки и отрицательной – если против хода часовой стрелки (рис. 7.2б).

5. Составив уравнения равновесия для оставшейся части, определим значения изгибающего момента и поперечной силы в рассматриваемом сечении К (см. рис. 7.1б):

или (7.1)

отсюда(7.2)

Можно сформулировать следующие п р а в и л а п о с т р о е н и я э п ю р Q_y и М_х:

33.Нормальные напряжения при изгибе (вывод формулы).

Рассмотрим плоский прямой изгиб, при котором отличным от нуля будет лишь изгибающий момент. Такой изгиб называетсячистым. При отсутствии поперечной силы естественно допустить, что касательные напряжения в поперечном сечении равны нулю и продольные слои бруса испытывают лишь растяжение или сжатие. На рисунке 2.6 изображено сечение, на элемент которого действует нормальная сила

По определению изгибающего момента как главного момента внутренних сил относительно поперечной оси

. (2.1)

По определению продольной силы как продольной составляющей главного вектора внутренних сил

Рис. 2.6

При прямом чистом изгибе

Получаются три уравнения

(2.2)

которых, однако, недостаточно для определения напряжения . Необходим закон распределения нормальной силыпо сечению. Для определения его введем допущения:

а) продольные слои не надавливают друг на друга.

б) сечения плоские, перпендикулярные продольной оси бруса до приложения нагрузки остаются таковыми и после приложения нагрузки (гипотеза плоских сечений).

в) справедлив закон Гука.

Поскольку продольная сила равна нулю, то в поперечном сечении действуют и положительные напряжения и отрицательные. Значит одни продольные слои удлиняются, другие укорачиваются и существует слой, длина которого остается неизменной. Этот слой называется нейтральным. В деформированном состоянии он образует некоторую цилиндрическую поверхность.

На рисунке 2.7 изображен элемент бруса до деформации. Все слои его имеют одинаковую длину . Рядом изображен деформированный элемент. Длина искривленного нейтрального слоя. Длина расположенного выше слоя

Рис. 2.7

Относительное удлинение его

Нормальное напряжение

(2.3)

Подстановкой выражения (2.3) в уравнения (2.2) получим

то есть

то есть

то есть (2.4)

Полученные результаты говорят о следующем:

1. Нейтральный слой пересекает сечение по центральной оси.

2. Для того чтобы изгиб был прямым, необходимо, чтобы силовая плоскость проходила через главную ось инерции сечения.

3. Подстановкой выражения (2.4) в формулу (2.3) получаем формулу для вычисления напряжения: (2.5)Линия, в точках которой напряжения равны нулю, совпадает с осьюи называетсянейтральной линией.

Наибольшее по модулю напряжение возникает в точках, наиболее удаленных от нейтральной линии, то есть при

или

(2.6)

В формуле (2.6) - абсолютное значение изгибающего момента,- момент сопротивления сечения при изгибе, равный

(2.7)

Формула (2.6) используется при расчете на прочность при изгибе бруса одинаково сопротивляющегося растяжению и сжатию. Условие прочности записывается в виде

Момент сопротивления являетсягеометрической характеристикой прочности сечения бруса при изгибе.

Приведем формулы моментов сопротивления некоторых сечений.

а). круг

.

б). кольцо

,

в). прямоугольник (рис. 2.8 а)

Рис. 2.8

г). равнобедренный треугольник (рис. 2.8 )

Для вычисления напряжения при косом изгибе можно использовать формулу (2.5). Но для этого косой изгиб следует привести к двум прямым изгибам, разложив нагрузку на составляющие, вызывающие изгиб в главных плоскостях инерции бруса. Тогда нормальное напряжение представляется алгебраической суммой напряжений

(2.8)

Первое слагаемое формулы (2.8) имеет смысл напряжения, вызванного изгибающим моментом . Оно принимает наибольшее значение в точках, наиболее удлиненных от главной оси х.

(2.9)

Второе слагаемое формулы (2.8) – это напряжение, вызванное изгибающим моментом Оно принимает наибольшее значение в точках, наиболее удаленных от главной оси.

(2.10)

В формулах (2.9) и (2.10) подставляются модули изгибающих моментов и вычисляются абсолютные значения напряжений.

Если сечение бруса таково, что существует точка, наиболее удаленная как от оси , так и от оси, то напряжение в ней представляется суммой

(2.11)

Конечно, в этой точке оба напряжения должны быть одного знака.

Такими точками являются угловые точки прямоугольного сечения и сечения типа швеллера или двутавра.

Формула (2.11) неприменима в случае круглого сечения, ибо наибольшие нормальные напряжения, вызываемые изгибающими моментами и, действуют в разных точках. Поэтому сумма (2.11) для круглого сечения не имеет физического смыла. Но любая центральная ось круглого сечения является главной. Значит наибольшее нормальное напряжение возникает в точке контура круглого сечения и определяется по формуле

(2.12)

В формуле (2.12) - изгибающий момент, равный геометрической сумме моментови. То есть

(2.13)

С учетом продольной силы