Глава 4. Плоская система произвольно расположенных сил (пспрс)

4.1. Приведение силы к точке

Теорема о параллельном переносе силы в любую заданную или выбранную точку

Пусть дана сила , приложенная к точке А твердого тела, и ее требуется перенести в точку 0. Приложим к телу в точке 0 уравновешенную систему сил , параллельных и равных ей по модулю (т.е. ). Теперь, кроме силы , приложенной к точке 0, образовались пара сил с моментом и момент данной силы относительно точки 0: т.е..

Таким образом, всякую силу , приложенную к телу в точке А, можно переносить параллельно линии действия в любую точку О, присоединив пару сил, момент которой равен моменту данной силы относительно новой точки ее приложения.

Операция такого переноса силы называется приведением силы к точке, а появляющаяся при этом пара с моментом – присоединенной парой.

Операция приведения силы к точке имеет глубокий физический смысл.

4.2. Приведение к точке плоской системы произвольно расположенных сил

Пусть задана система четырех сил и

Выберем произвольную точку O – центр приведения – и приведем к нему силу , т.е. перенесем силу в точку O, присоединим пару сил с моментом (на рисунке присоединенные моменты изображены круговыми стрелками, направленными в сторону поворота силами и соответствующих плеч )

Затем приведем к точке O силу . Перенесем ее в эту точку и присоединим пару с моментом . Так же поступим с остальными

силами и , присоединив пары с моментами и. Как видно из рисунка, в результате последовательного приведения заданных сил к точке образовались система сходящихся сил и система присоединенных пар с моментами, равными моментам заданных сил относительно точки (центра) приведения.

С помощью силового многоугольника находим силу , эквивалентную системе приведенных сил. Сложив алгебраические моменты присоединенных пар, найдем момент одной эквивалентной им пары:

или, так как моменты присоединенных пар равны моментам данных сил относительно центра приведения,

Главный вектор системы:

Главный момент системы:

Произвольная плоская система сил эквивалентна одной силе – главному вектору – и одной паре, момент которой равен главному моменту.

Допустим, что, приведя плоскую систему сил к точке, мы получили главный вектор и пару сил с моментом .

Представим главный момент в виде пары сил (), численно равных главному вектору (), и с плечом . Расположим эту пару таким образом, чтобы одна из сил оказалась направленной вдоль линии действия главного вектора, но в противоположную сторону.

Тогда силы и можно исключить как взаимно уравновешенные, а оставшаяся сада и есть искомая равнодействующая рассматриваемой системы сил.

Расстояние от центра приведения до линии действия равнодействующей:

Следовательно, равнодействующая ПСПРС равна главному вектору и расстояние от центра приведения до линии действия равнодействующей равно частному от деления главного момента на модуль главного вектора или равнодействующей.

4.3. Теорема Вариньона

Непосредственно из равенства () вытекает важная зависимость между моментом равнодействующей и моментами составляющих сил, известная в механике как теорема Вариньона. Перепишем предыдущее равенство в таком виде:

Из последнего рисунка следует, что – момент равнодействующей относительно любой точки, а по формуле, поэтому последнее равенство можно переписать в виде

,

т.е. момент равнодействующей ПСПРС относительно любой точки равен алгебраической сумме моментов сил системы, взятых относительно той же точки.