Глава 20. Устойчивость сжатых элементов Конструкций

20.1. Понятие о критической силе для сжатого стержня. Формула Эйлера.

Из физики известно, что равновесие тела, устойчиво, если при малом отклонении от равновесного положения возникает сила или пара сил, возвращающая его в положение равновесия. Кроме устойчивого, известны также неустойчивое и безразличное равнове­сия, но для механических конструкций допустимы лишь случаи устойчивого равновесия. Если по каким-либо причинам упругое те­ло или конструкция при отклонении от равновесного положения не возвращается к исходному, то говорят, что произошла потеря устойчивости.

Явление потери устойчивости упругого тела рас­смотрим на примере сжатого стержня. Представим, что на прямолинейный стальной стержень, зажатый одним концом в вертикальном положении (рис. 20.1 а) сверху надет шар. При небольшом значении силы тя­жестиG₁, сжимающей стержень, он сохраняет прямолинейную форму и находится в устойчивом равновесии.

Действительно, если отклонить шар вместе с верхней частью стержня в сторону, то под действием упругих сил стержень, поколебавшись около положения равно­весия, снова примет прямолинейную форму. Постепенно увеличивая сжимающую нагрузку путем установки более тяжелых шаров (рис. 20.1 б), увидим, что стержень хотя и сохраняет прямолинейную форму, но при отклонении от положения равновесия возвращается в исходное положение гораздо медленнее. Наконец, при некоторой нагрузкеG₃ (рис. 20.1.в) стержень изогнется, и прямолинейная форма устойчивого равновесия переходит в но­вую, криволинейную форму устойчивого равновесия.

Если теперь стержень принудительно выпрямить или, наоборот, изогнуть еще больше, он после нескольких колебаний займет исходное равновесное положение в изогнутом состоянии.

Максимальная сжимающая нагрузка , при которой прямоли­нейная форма стержня устойчива, называется критической силой.

Смысл расчета на устойчивость сжатого стержня заключается в том, чтобы он при некотором значенииF осевой нагрузки со­хранял устойчивость прямолинейной формы и обладал при этом не­которым запасом устойчивости (рис. 20.2).

(20.1)

Условие устойчивости сжатого стержня;

(20.2)

– коэффициент запаса устойчивости.

Задачу определения критической силы впервые чисто матема­тически решил Л.Эйлер в 1744 г. Формула Эйлера имеет вид

(20.3)

где – минимальное значение момента инерции площадки попе­речного сечения стержня, так как потеря устойчивости происходит в плоскости наименьшей жесткости; – длина стержня.

Экспериментальные исследования, связанные с проверкой формулы Эйлера, показывают, что при прочих равных условиях (одинаковые материал, форма и раз­меры поперечного сечения, а также длина стержня) значение критической силы зависит от способа за­крепления его концов.

– коэффициент приведения длины, т.е. число, показывающее, во сколько раз следует увеличить дли­ну шарнирно закрепленного с обоих концов стержня, чтобы критическая сила для него была равна крити­ческой силе стержня в данных условиях закрепления.

Изображены несколько случаев закрепления (рис. 20.3)стержня и указаны соответствующие значе­ния коэффициента приведения : а) оба конца шарнирно закреплены; б) один конец жестко закреплен, другой – свободен; в) один конец закреплен шарнирно, второй имеет "плавающую" заделку; г) один конец заделан жестко, второй имеет "плавающую" заделку; д) оба конца заделаны жестко; е) один конец заделан жестко, другой за­креплен шарнирно.