8.2. Плоскопараллельное движение тела

Движение твердого тела, при котором все его точки движутся в плоскостях, параллельных некоторой неподвижной плоскости, назы­вается плоскопараллельным.

Изучая плоскопараллельное движение тела М, достаточно рас­сматривать движение его плоского сечения q плоскости ХОУ.

Выберем в сечении q произвольную точку A, которую назовем полюсом. Свяжем с полюсом А некоторую прямую KL , а в самом се­чении вдоль прямой KL проведем отрезок AB, перемещая плоское сечение из положения q в положение q₁. Можно сначала передви­нуть его вместе с полюсом А поступательно, а затем повернуть на угол .

Плоскопараллельное движение тела – движение сложное и состоит из поступательного движения вместе с полюсом и вращательного движения вокруг полюса.

Закон плоскопараллельного движения можно задать тремя уравне­ниями:

.

Дифференцируя заданные уравнения плоскопараллельного движе­ния, можно в каждый момент времени определить скорость и ускорение полюса, а также угловую скорость и угловое ускорение тела.

Пусть, например, движение катящегося колеса диаметром d за­дано уравнениями , где и – м, – рад, t – с. Продифференцировав эти уравнения, нахо­дим, что скорость полюса O , угловая ско­рость колеса . Ускорение полюса и угловое ускорение колеса в данном случае равны нулю. Зная скорость полю­са и угловую скорость тела, можно затем определить скорость лю­бой его точки.

8.3. Определение скорости любой точки тела при плоскопараллельном движении

Пусть дано плоское сечение q , угловая скорость и скорость полюса которого в некоторый момент времени соответственно и .Требуется определить скорость какой-либо точки А.

Расчленим плоскопараллельное движение на составные части – поступательную и вращательную. При поступательном движении вмес­те с полюсом (переносное движение) все точки сечения, и точка А в том числе, имеют переносную скорость , равную скорости по­люса. Одновременно с поступательным сечениеq, совершает враща­тельное движение с угловой скоростью (относительное движение).

,

– относительная скорость точки A ().

Следовательно, в каждый данный момент времени

,

т.е. абсолютная скорость точки тела при плоскопараллельном дви­жении равна геометрической сумме скорости полюса и относительной скорости этой точки вокруг полюса.

Модуль абсолютной скорости может быть определен по формуле

,

а направление – с помощью теоремы синусов. Если же направление абсолютной скорости известно, то ее модуль определяется проще на основании следующей теоремы: проекции скоростей двух точек твер­дого тела на прямую, соединяющую эти точки, равны между собой.

Допустим, что известны скорости и точек A и В какого-либо тела. Приняв за полюс точку A, получим

.

Относительная скорость перпендикулярна АВ. Следовательно, или . Теорема доказана.

Глава 9. Движение несвободной материальной точки

9.1. Основные понятия и аксиомы динамики

Динамика изучает движение материальных тел под действием сил.

В основе динамики лежат следующие аксиомы.

Аксиома 1 (принцип инерции). Всякая изолированная ма­териальная точка находится в состоянии покоя или равномерного и прямолинейного движения, пока приложенные силы не выведут ее из этого состояния.

Аксиома 2 (основной закон динамики). Ускорение матери­альной точки пропорционально действующей силе F и направлено по той прямой, по которой действует эта сила.

Математически вторая аксиома записывается векторным равенством

,

где коэффициент пропорциональности m выражает меру инертности материальной точки и называется ее массой. В Международной системе единиц (СИ) масса выражается в килограммах.

Зависимость между числовыми значениями (модулями) сил и уско­рения выражается равенством

.

На все материальные тела вблизи Земли действует сила тяжести G. При свободном падении на Землю тела любой массы приобретают одно и то же ускорение g, которое называется ускорени­ем свободного падения. Для свободно падающего тела из предыдущего уравнения следует зависимость

.

Таким образом, значение силы тяжести тела в ньютонах равно произведению его массы на ускорение свободного падения.

Аксиома 3 (закон независимости действия сил). Если к материальной точке приложена система сил, то каждая из сил сис­темы сообщает точке такое же ускорение, какое она сообщила бы, действуя одна.

Таким образом, при одновременном действии на материальную точку массой m, например, четырех сил, ускорение , полученное точкой, можно

определить, геометрически сложив ускорения и , возникающие под действием каждой силы в отдель­ности. В то же время ускорение пропорционально равнодейству­ющей тех же сил,

где и .

Аксиома 4. Две материальные точки действуют друг на друга с силами, равными по модулю и направленными в противопо­ложные стороны.