7.4. Скорости и ускорения различных точек вращающегося тела

Определим скорость и ускорение любой точки в любой момент времени. Для этой цели установим зависимость между угловыми величи­нами, и, характеризующими вращательное движение тела, и линейными величинами и, характеризующими движение точек тела.

Допустим, что тело, показанное на рисунке, вращаемся согласно уравнению . Требуется определить скорость и ускорение точки А этого тела, расположенной на расстоянии от оси вращения O. Пусть тело за некоторое время t повернулось на угол , а точка А, двигаясь по окружности из некоторого начального положения, переместилась на расстояние . Так как уголвыражается в радианах, то

(7.9)

т.е. расстояние, пройденное точкой вращающегося тела, пропорционально его углу поворота. Расстояние S и угол поворота – функции времени, a – величина, постоянная для данной точки. Продифференцируем по времени обе части равенства (7.9) и получим

но – скорость точки, a – угловая скорость тела, поэтому

(7.10)

т.е. скорость точки вращающегося тела пропорциональна его угловой скорости.

Из формулы (7.10) видно, что для точек, расположенных на оси вращения, и скорости этих точек также равны нулю. По мере изменения, т.е. у точек, находящихся дальше от оси вращения, скорости тем больше, чем больше значение . Пропорциональная зависимость скоростей различных точек вращающегося тела от их расстояний относительно оси вращения показана на рисунке.

Продифференцировав обе части равенства (7.10), имеем

,

но – касательное ускорение точки, a –угловое ускорение тела, значит

(7.11)

т.е. касательное ускорение точки вращающегося тела пропорцио­нально его угловому ускорению.

Подставив в формулу, значение скорости из формулы (7.10), получим

(7.12)

т.е. нормальное ускорение точки вращающегося тела пропорционально второй степени его угловой скорости.

Из формулы после подстановки вместо иих значений из формул (7.11) и (7.12) получаем

(7.13)

Направление вектора ускорения, т.е. угол , определяется по одной из формул , причем последнюю из них можно представить теперь в таком виде:

(7.14)

Из формул (7.13) и (7.14) следует, что для точек тела при его вращательном движении по заданному закону можно сначала найти ускорение , а затем разложить его на касательное ускорение и нормальное ускорение, модуль которых

и

7.5. Способы передачи вращательного движения

В технике часто возникает необходимость передачи вращательно­го движения от одной машины к другой (например, от электродвига­теля к станку) или внутри какой-либо машины от одной вращающейся детали к другой. Механические устройства, предназначенные для передачи и преобразования вращательного движения, так и называ­ются передачами.

Глава 8. Сложное движение

8.1. Сложное движение точки

Примером сложного движения точки может служить:

а) лодка (если ее принять за материальную точку), плывущая от одного берега реки к другому;

б) шагающий по ступенькам движущегося эскалатора в метро че­ловек также совершает сложное движение относительно неподвижного свода туннеля.

Таким образом, при сложном движении точка, двигаясь относи­тельно некоторой подвижной материальной среды, которую условимся называть подвижной системой отсчета, одновременно передвигается вместе с этой системой отсчета относительно второй системы от­счета, условно принимаемой за неподвижную.

Движение некоторой точки М по отношению к подвижной системе отсчета называется относительным. Движение подвижной системы от­счета вместе со всеми связанными с ней точками материальной сре­ды по отношению к неподвижной системе отсчета называется для точки М переносным. Движение точки М по отношению к неподвижной системе отсчета называется сложным, или абсолютным.

Для того чтобы видеть сложное (абсолютное) движение точки, наблюдатель должен сам быть связан с неподвижной системой отсче­та. Если же наблюдатель находится в подвижной системе отсчета, то он видит лишь относительную часть сложного движения.

Представим, что точка М переместилась за некоторое время от­носительно подвижной системы координат из начального по­ложения M₀ в положение М₁ по траектории M₀М₁ (траектории относительного движения точки). За это же время подвижная система координат O₁X₁Y₁ вместе со всеми неизменно связанными с ней точ­ками, а значит, и вместе с траекторией относительного движения точки М переместилась в неподвижной системе координат ОХУ в но­вое положение.

Разделим обе части этого равенства на время движения :

и получим геометрическую сумму средних скоростей:

,

которые направлены вдоль соответствующих векторов перемещений. Если теперь перейти к пределам при , то получим

,

выражающее теорему сложения скоростей: при сложном движении точ­ки абсолютная скорость в каждый момент времени равна геометри­ческой сумме переносной и относительной скоростей.

Если задан угол ,то модуль абсолютной скорости

.

Углы, образуемые векторами абсолютной скорости с век­торами и , определяются по теореме синусов.

В частном случае при при сложении этих скоростей образуется ромб или равнобедренный треугольник и, следовательно,

.