7.2. Вращательное движение. Угловая скорость, угловое ускорение

Движение твердого тела, при котором все его точки перемещаются по окружности с центрами, расположенными на перпендикулярной этим окружностям неподвижной прямой, называется вращательным. Неподвижная прямая, на которой лежат центры круговых траекторий то­чек тела, называется его осью вращения. Для образования оси вра­щения достаточно закрепить какие-либо две точки тела. В качестве примеров вращательного движения тел можно привести движение две­рей или створок окон при их открывании или закрывании.

Представим себе тело в виде цилиндра, ось AB которого лежит в подшипниках.

Движением одной какой-либо точки однозначно определить вращательное движение тела нельзя.

Для установления закона вращательного движения тела, по кото­рому можно определять его положение в данный момент, проведем через ось вращения тела связанную только с нею неподвижную полуплоскость НП, а внутри тела отметим подвижную полуплоскость, ко­торая вращается около оси вместе с телом, теперь угол , образуемый в каждый данный момент времени полуплоскостями НП и ПП, точно определяет положение тела в пространстве. Угол называется углом поворота и выражается в радианах. Чтобы определять положение тела в пространстве в любой момент времени, необходимо знать зависимость между углом поворота и временем t, т.е. знать закон вращательного движения тела:

.

Быстрота изменения угла поворота во времени характеризуется величиной, которая называется угловой скоростью.

Представим, что в некоторый момент времени t положение вращающегося тела определяется углом поворота , а в момент – углом поворота . Следовательно, за время тело повернулось на угол и величина

называется средней угловой скоростью.

Единицей угловой скорости является 1 рад/с. Характеристикой быстроты изменения угловой скорости служит угловое ускорение, обозначаемое . Среднее ускорение

Единица углового ускорения 1 рад/с².

Условимся угол поворота, отсчитываемый против хода стрелок часов, считать положительным, а отсчитываемый по ходу стрелок часов – отрицательным.

Векторы и – это скользящие векторы, которые направлены по оси вращения в ту сторону, чтобы, глядя из конца вектора (или ), видеть вращение, происходящее против часовой стрелки.

Если векторы и направлены в одну сторону, то вращательное движение тела ускоренное – угловая скорость возрастает. Если векторы и направлены в противоположные стороны, то вращение тела замедленное – угловая скорость уменьшается.

7.3. Частные случаи вращательного движения

1. Равномерное вращательное движение. Если угловое ускорение и, следовательно, угловая скорость

, (7.1)

то вращательное движение называется равномерным. Из выражения (7.1) после разделения переменных

.

Если при изменении времени от 0 до t угол поворота изменялся от (начальный угол поворота) до , то, интегрируя уравнение в этих пределах

,

получаем уравнение равномерного вращательного движения

,

которое в окончательном виде записывается так:

(7.2)

Если , то

(7.3)

Таким образом, при равномерном вращательном движении угловая скорость

или при

2. Равнопеременное вращательное движение. Если угловое ускорение

, (7.4)

то вращательное движение называется равнопеременным. Производя разделение переменных в выражении (7.4):

и приняв, что при изменении времени от 0 до t угловая скорость изменилась от (начальная угловая скорость) до, проинтегрируем уравнение в этих пределах:

или

т.е. получим уравнение

(7.5)

выражающее значение угловой скорости в любой момент времени.

Закон равнопеременного вращательного движения или, с учетом уравнения (7.5):

Полагая, что в течение времени от 0 до t угол поворота изменялся от до, проинтегрируем уравнение в этих пределах:

или

Уравнение равнопеременного вращательного движения в оконча­тельном виде:

. (7.6)

Первую «вспомогательную формулу получим» исключив из формул (7.5) и (7.6) время:

(7.7)

Исключив из тех же формул угловое ускорение , получим вторую вспомогательную формулу:

, (7.8)

где – средняя угловая скорость при равнопере­менном вращательном движении.

Когда и , формулы (7.5), (7.6), (7.7) и (7.8) приобретают более простой вид:

В процессе конструирования угловое перемещение выражают не в радианах, а просто в оборотах.

Угловая скорость, выражаемая количеством оборотов в минуту, называется частотой вращения и обозначается n. Установим зависимость между (рад/с) и n (об/мин). Так как , то при n (об/мин) за t = 1 мин = 60с угол поворота . Следо­вательно,

.

При переходе от угловой скорости (рад/с) к частоте вращения n (об/мин) имеем

.