Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Томский Политехнический Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Терёхина, Фикс - Высшая математика

.pdf

Скачиваний:

136

Добавлен:

29.05.2015

Размер:

2.54 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 214 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 > Следующая >>>

tABLICA 1.5.

tIP SOMNOVITELQ

pROSTEJ[IE DROBI W RAZLOVENII

W ZNAMENATELE

DROBI NA SLAGAEMYE

(x ; a)

k;1

II.

(x ; a)

; a)k + (x

; a)k;1 + : : : +

(x ; a)2

+ x ; a

III.

x2 + px + q

+ B

+ px + q

Arx+Br

Ar;1x + Br;1

A1x+B1

IV. (x

+ px + q)

r +

1 +: : : +

+px+q

(x +px+q)

+ px + q)

;

tABLICA 1.6.

iSHODNAQ DROBX

wID E< RAZLOVENIQ NA SLAGAEMYE

3x + 4

x (x + 5)(x ; 7)

x + 5

x ; 7

(x ; 3)(x + 2)3

x ; 3

(x + 2)3

(x + 2)2

x + 2

x2 + 3x

Ax + B

Cx + D

+ x2 + 4

(x2 ; 3x + 5)(x2 + 4)

x2 ; 3x + 5

2x + 3

Dx + E

2 +

(x + 2)(x

+ 3)

+ 2

+ 3

Bx + C

x ; 2

x 2; 8

x + 2x

+ 4

Dx + E

x + 4

Bx + C

x ; 1

(x ; 1)(x + x + 2)

+ x + 2)

+ x + 2

1:	Z	x5 + x4			; 8 dx:
		x3	;	4x

pODYNTEGRALXNAQ DROBX QWLQETSQ NEPRAWILXNOJ, PO\TOMU PREVDE WSE- GO NEOBHODIMO WYDELITX CELU@ ^ASTX I PREDSTAWITX DROBX W WIDE SUMMY CELOJ ^ASTI I PRAWILXNOJ DROBI. tAKOE RAZLOVENIE DLQ DAN- NOJ DROBI MY UVE ZAPISYWALI WY[E, PO\TOMU WOSPOLXZUEMSQ POLU- ^ENNYM REZULXTATOM

x5 + x4 ; 8 = (x2 + x

+ 4) +

4x2 + 16x ; 8:

x3 ; 4x

;

pO\TOMU ISHODNYJ INTEGRAL BUDET RAWEN SUMME

x5 + x4 ; 8 dx =

(x2 + x

+ 4) dx +

4x2 + 16x ; 8

dx:

;

Z (x2 + x + 4) dx =

x2 ;

pERWYJ INTEGRAL

3 +

2 + 4x + C1:

nAHODIM WTOROJ INTEGRAL, DLQ ^EGO :

rASKLADYWAEM ZNAMENATELX NA PROSTYE SOMNOVITELI

;

4x = x(x2 ; 4) = x

(x ; 2)

(x + 2):

wYPISYWAEM PODYNTEGRALXNU@ DROBX I RASKLADYWAEM EE NA

SUMMU PROSTEJ[IH DROBEJ

4x2 + 16x ; 8

= A +

(?)

x ; 2

x + 2

x (x ;

(x + 2)

w DANNOM SLU^AE MY IMEEM SOMNOVITELI I-GO TIPA I KAVDOMU SOMNO-

VITEL@ W RAZLOVENII ZNAMENATELQ SOOTWETSTWUET ODNA PROSTEJ[AQ

DROBX I-GO TIPA (SM. TABL. 1.5, 1.6)

nAHODIM NEOPREDELENNYE KO\FFICIENTY A B

C: dLQ \TOGO

PRIWODIM K OB]EMU ZNAMENATEL@ DROBI W PRAWOJ ^ASTI RAWENSTWA

4x2 + 16x ; 8

= A(x ; 2)(x + 2) + B x (x + 2) + C x (x ; 2):

x (x ; 2) (x + 2)

iZ RAWENSTWA DWUH DROBEJ S RAWNYMI ZNAMENATELQMI SLEDUET I RA-

WENSTWO IH ^ISLITELEJ

4x2 + 16x ; 8 = A(x ; 2)(x + 2) + B x (x + 2) + C x (x ; 2)

(??)

|TO RAWENSTWO SPRAWEDLIWO DLQ L@BYH ZNA^ENIJ x: dLQ NAHOVDENIQ TREH NEOPREDELENNYH KO\FFICIENTOW MOVNO W POLU^ENNOE RAWENSTWO PODSTAWITX L@BYE TRI ZNA^ENIQ x I POLU^ITX TRI SOOTNO[ENIQ DLQ NAHOVDENIQ KO\FFICIENTOW A B C:

oTMETIM, ^TO NAIBOLEE RACIONALXNO ISPOLXZOWATX TE ZNA^ENIQ x KOTORYE QWLQ@TSQ KORNQMI ZNAMENATELQ, W NA[EM SLU^AE \TO ^ISLA

0 2 ;2:

pODSTAWLQEM POO^EREDNO \TI ZNA^ENIQ W RAWENSTWO (? ?) I POLU^AEM

PRI

x = 0 :

;8 = A(;2)(2)

A = 2

PRI

x = 2 :

40 = B(2)(4)

B = 5

PRI

x = ;2 :

;24 = C(;2)(;4)

C = ;3:

nAJDENNYE KO\FFICIENTY PODSTAWLQEM W RAZLOVENIE DROBI (?)

4x2 + 16x ;

= 2 +

x ; 2

x (x ;

(x + 2)

x + 2

iNTEGRIRUEM PROSTEJ[IE SLAGAEMYE

4x2 + 16x

; 8

dx =

dx +

dx =

x (x ; 2) (x + 2)

Z x

x ; 2

x + 2

= 2 Z

d(x

; 3 Z

d(x + 2)

x + 5 Z

x + 2

;

x2(x

2)5

= 2 ln j x j + 5 ln j x ; 2 j ; 3 ln j x + 2 j + C2 = ln

(x +;2)3

+ C2:

sUMMIRUEM \TOT REZULXTAT S REZULXTATOM INTEGRIROWANIQ CELOJ ^AS-

TI ISHODNOJ DROBI I POLU^AEM OKON^ATELXNO

x5 + x4 ; 8dx

= x3

+ x2

+ 4x

+ ln

x2(x ;

2)5

+ C:

;

(x + 2)3

C).

(KONSTANTY C1 C2 OB_EDINENY W ODNU KONSTANTU

dx:

(x2

;

3x + 2)2

pODYNTEGRALXNAQ DROBX QWLQETSQ PRAWILXNOJ, PO\TOMU INTEGRIRO-

WANIE PROWODIM PO SHEME:

rASKLADYWAEM ZNAMENATELX NA PROSTYE SOMNOVITELI

(x2 ; 3x + 2)2 = ((x ; 1)(x ; 2))2 = (x ; 1)2(x ; 2)2:

wYPISYWAEM PODYNTEGRALXNU@ DROBX I RASKLADYWAEM EE NA

SUMMU PROSTEJ[IH DROBEJ (SM. TABL. 1.5, 1.6)

(?)

(x ; 1)2 (x ; 2)2

(x ; 1)2

x ; 1

(x ; 2)2

x ; 2

3) nAHODIM NEOPREDELENNYE KO\FFICIENTY A B, C D: dLQ \TOGO PRIWODIM K OB]EMU ZNAMENATEL@ DROBI W PRAWOJ ^ASTI RAWENSTWA (PRI^EM,O^EWIDNO, OB]IM ZNAMENATELEM QWLQETSQ ZNAMENATELX DROBI W LEWOJ RAWENSTWA) I WYPISYWAEM RAWENSTWO ^ISLITELEJ

x2 = A(x;2)2+B (x;1) (x;2)2+C (x;1)2+D (x;1)2 (x;2) (??)

|TO RAWENSTWO SPRAWEDLIWO DLQ L@BYH ZNA^ENIJ x: iSPOLXZUEM SNA- ^ALA TE ZNA^ENIQ x KOTORYE QWLQ@TSQ KORNQMI ZNAMENATELQ, W NA- [EM SLU^AE \TO ^ISLA 1 I 2: pODSTAWLQEM POO^EREDNO \TI ZNA^ENIQ W RAWENSTWO (? ?) I POLU^AEM

PRI x = 1	: IMEEM	1	= A(;1)2	2	=)	A = 1
PRI x = 2	:	4	= C(1)		=)	C = 4:
tAK KAK BOLX[E DEJSTWITELXNYH KORNEJ U ZNAMENATELQ NET, WOZXMEM
L@BOE ZNA^ENNIE x I PODSTAWIM W RAWENSTWO (? ?)
PRI x = 0 :			IMEEM 0 = 4A ; 4B + C ;				2D:
pODSTAWIM POLU^ENNYE RANEE ZNA^ENIQ A I C I POLU^IM

0 = 4 ; 4B + 4 ; 2D =) 2B + D = 4:

tREBUETSQ SOSTAWITX E]E ODNO URAWNENIE, SWQZYWA@]EE KO\FFICIEN- TY B I D. mOVNO SNOWA WZQTX KAKOE-LIBO ZNA^ENIE x I PODSTAWITX W RAWENSTWO (? ?), NO MOVNO ISPOLXZOWATX I TAKOJ PRIEM: PRIRAWNQTX KO\FFICIENTY PRI ODINAKOWYH STEPENQH x W LEWOJ I PRAWOJ ^ASTQH RAWENSTWA (? ?). w NA[EM SLU^AE LEGKO UWIDETX, ^TO PRI RASKRYTII SKOBOK W PRAWOJ ^ASTI RAWENSTWA ^LENOW S x3 BUDET DWA: Bx3 I Dx3 A SLEWA ^LENA S x3 NET WOOB]E, PO\TOMU URAWNIWAQ KO\FFICIENTY PRI

x3 W LEWOJ I PRAWOJ ^ASTQH RAWENSTWA, POLU^IM

0 = B + D: iTAK,

DLQ NAHOVDENIQ B I D IMEEM PROSTU@ SISTEMU

2B + D = 4

= 4 D =

;

B + D = 0

)

tAKIM OBRAZOM, PODYNTEGRALXNAQ DROBX ZAPI[ETSQ W WIDE SUMMY

PROSTEJ[IH DROBEJ

(x ; 1)2 (x ;

2)2

(x ; 1)2

x ; 1

(x ; 2)2

x ; 2

4) iNTEGRIRUQ PO^LENNO, POLU^IM

x2 dx

4 dx

;4 dx =

Z (x ; 1)2 (x ; 2)2

(x ; 1)2

Z x ; 1

Z (x ; 2)2

x ; 2

= ;x ; 1 + 4 ln j x ; 1 j + ;x ; 2 ; 4 ln j x ; 2 j + C:

3: Z		dx		:

		(x2 + x)(x2 + 1)
1)	rASKLADYWAEM ZNAMENATELX NA PROSTYE SOMNOVITELI
			(x2 + x)(x2 + 1) = x(x + 1)(x2 + 1):
2)	wYPISYWAEM PODYNTEGRALXNU@ DROBX I RASKLADYWAEM EE NA
SUMMU PROSTEJ[IH DROBEJ
	1				A		B		Cx + D
					= x	+			+ x2 + 1	(?)
			x(x + 1)(x2 + 1)				x + 1
w DANNOM SLU^AE MY IMEEM SOMNOVITELI I-GO I III-GO TIPOW, I KAV-
DOMU SOMNOVITEL@ W RAZLOVENII ZNAMENATELQ SOOTWETSTWU@T SWOI
PROSTEJ[IE DROBI (SM. TABL. 1.5, 1.6). pRIWODIM K OB]EMU ZNAMENA-
TEL@ I PRIRAWNIWAEM ^ISLITELI
1 = A(x + 1)(x2 + 1) + B x (x2 + 1) + Cx2 (x + 1) + D x (x + 1) (??)
iMEEM DWA DEJSTWITELXNYH KORNQ x = 0								x = ;1. pODSTAWLQEM \TI
ZNA^ENIQ W RAWENSTWO				(??) I NAHODIM DWA NEOPREDELENNYH KO\FFI-

CIENTA
PRI	x = 0 : IMEEM	1	= A 1 1	=)	A = 1
PRI	x = ;1 :	1	= B(;1)(2)	=)	B = ;1=2:

~TOBY NAJTI OSTALXNYE KO\FFICIENTY, MOVNO LIBO PRIDATX PERE- MENNOJ x DWA PROIZWOLXNYH ZNA^ENIQ, LIBO PRIRAWNQTX KO\FFICIEN- TY PRI ODINAKOWYH STEPENQH x W LEWOJ I PRAWOJ ^ASTQH RAWENSTWA (??) I ISPOLXZOWATX UVE NAJDENNYE KO\FFICIENTY.

PRI

x3 : IMEEM

0 = A + B + C

C = ;1=2

PRI

x2 :

0 = A + C + D

D = ;1=2:

pODSTAWLQEM \TI ZNA^ENIQ W RAZLOVENIE ISHODNOJ DROBI

(?)

1 1

= x ; 2

; 2

x(x + 1)(x2 + 1)

x + 1

x2 + 1

iNTEGRIRUQ, POLU^IM

x dx

= Z

; 2 Z

x(x + 1)(x2 + 1)

x + 1

x2 + 1

= ln j x j ;

2 ln j x + 1 j ;

4 ln j x2 + 1 j ; 2 arctg x + C:

4: Z x3 ; 1

1) rASKLADYWAEM ZNAMENATELX NA PROSTYE SOMNOVITELI

(x3 ; 1) = (x ; 1)(x2 + x + 1):

w DANNOM SLU^AE MY IMEEM SOMNOVITELI I-GO I III-GO TIPOW, I KAV- DOMU SOMNOVITEL@ W RAZLOVENII ZNAMENATELQ SOOTWETSTWU@T SWOI PROSTEJ[IE DROBI (SM. TABL. 1.5, 1.6).

2) wYPISYWAEM PODYNTEGRALXNU@ DROBX I RASKLADYWAEM EE NA SUMMU PROSTEJ[IH DROBEJ

1		=	A	+	Bx + C	(?)

2			x ; 1		2
	(x ; 1)(x + x + 1)				x + x + 1
3) pRIWODIM K OB]EMU ZNAMENATEL@ I PRIRAWNIWAEM ^ISLITELI

1 = A(x2 + x + 1) + B x (x ; 1) + C(x ; 1) (??)
iMEEM ODIN DEJSTWITELXNYJ KORENX x = 1. pODSTAWLQEM \TO ZNA^ENIE
W RAWENSTWO (??) I NAHODIM ODIN NEOPREDELENNYJ KO\FFICIENT
PRI x = 1 : 1 = A 3	=) A = 1=3:
~TOBY NAJTI KO\FFICIENTY B I C,	MOVNO SNA^ALA PRIDATX PERE-

MENNOJ x ZNA^ENIE, RAWNOE NUL@, A ZATEM PRIRAWNQTX KO\FFICIENTY,

NAPRIMER, PRI x2 W LEWOJ I PRAWOJ ^ASTQH RAWENSTWA

(??).

PRI

x = 0 : IMEEM 1

= A 1 + C (;1)

C = ;2=3

PRI

x2 :

IMEEM

= A + B

B = ;1=3:

pODSTAWLQEM \TI ZNA^ENIQ W RAZLOVENIE ISHODNOJ DROBI

(?)

1=3

;

x ; 3

= 1

x + 2

x3 ; 1

x ; 1

; 3 x2 + x + 1

x ; 1 x2 + x + 1 3

4) iSHODNYJ INTEGRAL RAZOBXETSQ NA SUMMU DWUH INTEGRALOW

x + 2

3 Z

; 3 Z

dx =

x3 ; 1

x ; 1

x2 + x + 1

2x + 1

ln jx ; 1j ; 3

2 ln jx2 + x + 1j + p3 arctg

! + C:

iNTEGRIROWANIE PERWOGO SLAGAEMOGO NE PREDSTAWLQET TRUDA, A WTOROJ INTEGRAL OTNOSITSQ K KLASSU INTEGRALOW, SODERVA]IH KWADRATNYJ TREH^LEN W ZNAMENATELE DROBI (cM. PRIMER 5, P.1.3.1.).

1.3.3. iNTEGRIROWANIE PROSTEJ[IH IRRACIONALXNOSTEJ

iNTEGRALY OT IRRACIONALXNYH FUNKCIJ UVE RASSMATRIWALISX PRI IZLOVENII METODOW INTEGRIROWANIQ. eSTX INTEGRALY OT IRRA- CIONALXNYH FUNKCIJ, KOTORYE MOVNO RE[ITX NEPOSREDSTWENNYM IN- TEGRIROWANIEM ILI PODWEDENIEM POD ZNAK DIFFERENCIALA. nO OSOBO \FFEKTIWNYM METODOM INTEGRIROWANIQ IRRACIONALXNOSTEJ QWLQET- SQ METOD PODSTANOWKI (SM. P.1.2.4). pRI INTEGRIROWANII WYRAVENIJ, SODERVA]IH IRRACIONALXNOSTI, WYBOR PODSTANOWKI DIKTUETSQ TEM, ^TO NEOBHODIMO IZBAWITXSQ OT IRRACIONALXNOSTI I NOWOJ IRRACIO- NALXNOSTI W HODE PREOBRAZOWANIQ PODYNTEGRALXNOGO WYRAVENIQ PO- QWITXSQ NE DOLVNO. pRI \TOM ISPOLXZU@TSQ KAK ALGEBRAI^ESKIE, TAK I TRIGONOMETRI^ESKIE PODSTANOWKI.

pROSTEJ[IE IRRACIONALXNOSTI

k PROSTEJ[IM IRRACIONALXNOSTQM OTNOSQTSQ FUNKCII, W KOTORYE WHODQT RADIKALY RAZLI^NYH STEPENEJ

ILI

(ax + b)

ILI

ax + b

+ d

w PODOBNYH INTEGRALAH IZBAWITXSQ OT IRRACIONALXNOSTI MOVNO,

WWEDQ WMESTO

ILI

(ax + b)

ILI

ax + b

NOWU@ PEREMENNU@ tp

PRI^EM STEPENX p DOLVNA BYTX TAKOJ,

+ d

^TOBY IZWLEKALISX KORNI WSEH

STEPENEJ, WHODQ]IH W DANNU@ PODYNTEGRALXNU@ FUNKCI@.

px dx

= x = t12 t = px

= t6 12t11 dt=

dx = 12t

t8 +t3

px2 + px

t17 dt

t14 dt

= 12 Z

t3(t5 +1)

= 12 Z t5 +1

= 12 Z 0t

t5 +1

1 dt=

t10 t5

p@x10

px5

1 A

= 12 010 ; 5 + 5 ln jt5 +1j1= 12 0

;

+ 5 ln j px5 + 1j1+C

x + px2 + px

dx =

= t6 t = px

dx = 6t5 dt

x(1 + px)

t6 + t4 + t

+ t3 + 1

= Z

t6(1 + t2)

6t dt = 6 Z

1 + t2

dt =

p 4

= 6 Z (t + 1 + t2 ) dt = 6(t =4 + arctgt) = 6(

=4 + arctg

x) + C

+ p

x = t12 t = p

dx =

dx = 12t11

px5

px7

+ t

t15

; t14

12t

dt = 12 Z

; 1

dt =

(t2

+ t

) dt = 12(t3=3 + t2=2

2 ln t

) =

Z12

;

; t

;

2 px

2 ln

) + C

12( px3=3 +

px2=;2

;

= 6 Z

x = t10

dx = 10t9

x(px + px2)

10t9 dt

= Z

= 10 Z

= : : :

t10(t5 + t4)

t5(t + 1)

3x + 2 = t6 x =

(t6

;

+ p3

dx =

dx = 2t5 dt

3x + 2

2t5 dt

t3 dt

= Z

= 2 Z

= : : :

t3 + t2

t +

x + 1 = t6 x = t6

;

x + 1

dx =

;

dx = 6t5 dt

x + 1 + px + 1

; t3

6t5

dt = 6

; t6

dt = : : :

Z t6

+ t2

+ p

+ 1

dx = x ; 3 = t4 x = t4 + 3 =

x ; 3

; 3

dx = 4t3 dt

x ; 3 + 1

t + t

= Z

dt = 4 Z

+ t

dt = : : :

t2 + 1

; x

= t2

; x dx

= 1 + x

1 + x

x = 1

; t

dx =

;4t dt

1 + t2

(1 + t2)2

;4t (1 + t2)

dt =

t2 dt

= : : :

;

Z (1 + t2) (1

t2)

(1 + t2)2 (1

t2)

x = t

dx;= 6t5dt =

6t5dt

;

px + px

t2 +t3

t = px

t3dt

= 6

(t3

+1)

;1dt

= 6

(t+1)(t2 ;t+1) dt

= :::

t+1

;

Z t+1

t+1

10:

= x ; 2 = t2 dx = 2tdt

2tdt

Z px;2 + 4

t+4

x = t2 + 2

= 2

(t+4) ;4 dt = 2

= 2t

;

8 ln

t+4

;

t+4

= j t = px;2 j = 2px;2 ; 8 ln jpx;2+4j + C:

oSNOWOJ CELX@ PRIWEDENNYH WY[E PRIMEROW BYLO UBEDITXSQ W TOM,^TO PRI UDA^NOJ ZAMENE INTEGRALY OT IRRACIONALXNYH FUNKCIJ PRIWO- DQTSQ K INTEGRALAM OT RACIONALXNYH DROBEJ (W NEKOTORYH SLU^AQH MOVET POLU^ITXSQ I CELAQ RACIONALXNAQ FUNKCIQ), INTEGRIROWANIE KOTORYH MY RASSMATRIWALI W PREDYDU]EM PARAGRAFE.

1.3.4. iNTEGRIROWANIE DIFFERENCIALXNYH BINOMOW

iNTEGRIROWANIE DIFFERENCIALXNYH BINOMOW, T.E. INTEGRALOW WIDA

Z xm ( a xn + b)p dx

WOZMOVNO TOLXKO W TREH SLU^AQH S POMO]X@ PODSTANOWOK ~EBY[EWA. eSLI ^ISLA m n p I IH UKAZANNYE KOMBINACII NE UDOWLETWORQ@T NI ODNOMU IZ SLU^AEW, TO INTEGRAL OT DANNOGO DIFFERENCIALXNOGO BINOMA QWLQETSQ NEBERU]IMSQ, T.E. NE WYRAVAETSQ W \LEMENTARNYH FUNKCIQH.

	sLU^AI				pODSTANOWKA

1)	p { CELOE ^ISLO		x = ts GDE s { OB]IJ ZNAMENATELX
				DROBEJ n I m
2)	m + 1	;CELOE ^ISLO	axn + b = ts, GDE s { ZNAMENATELX
	n
				DROBI p
3)	m + 1	+ p{ CELOE ^ISLO	axn + b		= ts GDE s{ ZNAMENATELX
	n		xn

			DROBI p

nIVE PRIWEDENY PRIMERY, ILL@STRIRU@]IE TO, ^TO DIFFERENCI- ALXNYJ BINOM S POMO]X@ PODSTANOWOK ~EBY[EWA PRIWODITSQ K RA- CIONALXNOJ FUNKCII, W ^ASTNOSTI K RACIONALXNOJ DROBI.

11: Z px(1 + px)4 dx = Z x1=2 1 + x1=3

dx =

m = 1=2

n = 1=3

p = 4 ; CELOE

x = t6 dx = 6t5dt

= Z t3 1 + t2 4 6t5 dt = 6 Z t8 1 + t2 4 dt = : : :

12:

x;1

1 + x1=3

dx =

Z x(1 + px)3

m = ;1

n = 1=3

p = ;3 ; CELOE

= t3 dx = 3t2dt

= Z

3t2 dt

= 3 Z

= : : :

t3 (1 + t)3

t (1 + t)3

13:

x;1(8

x2);1=3dx =

Z x p8

; x2

;

m = ;1 n = 2 p = ;1=3

m + 1

1 + 1

; CELOE

;

= 0

8 ; x2 = t3 x = (8 ; t3)1=2

dx = ;3t2(8

;

t3);1=2

t3);1=2 dt

t dt

= ;2

(8 ; t3)1=2 t

= ;2 Z

;

t3)

t dt

= ;2 Z

= : : :

;

t) (4 + 2t + t2)

14: Z

= Z x;2 1 + x3 ;

5=3

dx =

3 (1 + x3)5

n = 3 p =

;5=3

m = ;2

m + 1

+ p = ;2 + 1

;

CELOE

;

1 + x3 = t3 x3 x = (t3

;

1);1=3

dx = ;t2(t3

;

1);4=3dt

(1 + x3);5=3

= (t3 x3);5=3 = t;5 x;5

= t;5 (t3 ; 1)5=3 = ; Z (t3 ; 1)2=3 t;5 (t3 ; 1)5=3 t2 (t3 ; 1);4=3 dt =

=; Z (t3 ; 1) t;3 dt = ; Z (1 ; t;3) dt = : : :

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 214 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
20.12.2018280.58 Кб1Теория организации для ТПУ.doc
#
29.05.2015516.61 Кб25Теория экзамен.doc
#
02.05.2019210.94 Кб5теория_«SWOT» анализ_сам.работа.doc
#
12.11.201975.69 Mб0Теория_БЖД_практика.doc
#
30.07.2019118.89 Кб2ТерВер_шпора.docx
#
29.05.20152.54 Mб136Терёхина, Фикс - Высшая математика.pdf
#
22.11.20191.87 Mб7Терминология.doc
#
29.05.201537.45 Кб27Термодин 1-10.docx
#
29.05.201513.16 Кб24Термодин 21-30.docx
#
29.05.201523.55 Кб19Термодин 31-40.doc
#
29.05.2015194.56 Кб17Термодин 71-80.doc