Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Томский Политехнический Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Терёхина, Фикс - Высшая математика

.pdf

Скачиваний:

136

Добавлен:

29.05.2015

Размер:

2.54 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 / 2111 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 > Следующая >>>

21: rE[ITX ZADA^U kO[I. y0 ; y tgx = sin2 x y(0) = 2:

nAJD<M SNA^ALA OB]EE RE[ENIE \TOGO URAWNENIQ.

1) rE[ENIE URAWNENIQ I]EM W WIDE PROIZWEDENIQ DWUH FUNKCIJ

y= U(x) V (x): tOGDA y0 = U0 V + V 0 U.

2)pODSTAWLQEM WYRAVENIE DLQ FUNKCII I EE PROIZWODNOJ W URAW-

NENIE, GRUPPIRUEM WTOROE I TRETXE SLAGAEMYE I WYNOSIM OB]IJ MNO-

VITELX

U0V +V 0U

;UV tg x = sin2 x )

U0V +U(V 0

;V tg x) = sin2 x:

3) pRIRAWNIWAQ WYRAVENIE W SKOBKAH K NUL@, POLU^AEM SISTEMU

DWUH DIFFERENCIALXNYH URAWNENIJ DLQ NAHOVDENIQ FUNKCIJ U(x)

I V (x)

V 0

;

V tg x = 0

U0V = sin x:

4) iZ 1-GO URAWNENIQ NAHODIM FUNKCI@ V

(x):

V 0 ; V tg x = 0

dVdx = V tg x dVV = tg x dx

ln V = ; ln cos x

V =

cos x

5) pOLU^ENNOE WYRAVENIE DLQ FUNKCII V PODSTAWLQEM WO 2-E URAW-

NENIE SISTEMY

U0V = sin2 x I NAHODIM WTORU@ FUNKCI@ U(x)

sin2 x

= sin2 x cos x

U =

Z sin2 x d(sin x)

U =

cos x

sin3 x + C:

6) zAPISYWAEM OB]EE RE[ENIE y = U(x)V (x) = 0sin3 x

+ C1

A cos x

iSPOLXZUQ NA^ALXNOE USLOWIE y(0) = 2 NAHODIM POSTOQNNU@ C:

sin3 0

2 = 0 3

+ C

=) 2 = (0 + C) 1

C = 2:

cos 0

iSKOMOE RE[ENIE ZADA^I kO[I

y = 0sin

x + 21

A cos x

22: (xy0 ; 1) ln x + 2y = 0:

dANNOE URAWNENIE NEOBHODIMO SNA^ALA PREOBRAZOWATX K KLASSI^ES- KOMU WIDU. dLQ \TOGO RASKRYWAEM SKOBKI, PERENOSIM ^LENY IZ ODNOJ ^ASTI URAWNENIQ W DRUGU@, DELIM NA KO\FFICIENT PRI y0:

102

pOLU^IM PREOBRAZOWANNOE URAWNENIE W WIDE y0 +	2y	=	1	:
	x ln x		x
dALXNEJ[EE RE[ENIE PO STANDARTNOJ SHEME.

1) rE[ENIE URAWNENIQ I]EM W WIDE PROIZWEDENIQ DWUH FUNKCIJ

y= U(x) V (x): tOGDA y0 = U0 V + V 0 U.

2)pODSTAWLQEM WYRAVENIE DLQ FUNKCII I EE PROIZWODNOJ W URAW- NENIE, GRUPPIRUEM WTOROE I TRETXE SLAGAEMYE I WYNOSIM OB]IJ MNO-

VITELX		2UV	1			2V	1

	U0V + V 0U +		= x	) U0V + U V 0	+		! = x	:
		x ln x				x ln x

3) pRIRAWNIWAQ WYRAVENIE W SKOBKAH K NUL@, POLU^AEM SISTEMU

DWUH DIFFERENCIALXNYH URAWNENIJ DLQ NAHOVDENIQ FUNKCIJ U(x)

I V (x)

V 0

= 0

x ln x

U0V = 1=x:

V (x):

GO URAWNENIQ NAHODIM FUNKCI@

V 0

V = 0 )

= ;

dx ) ln V = ;2 ln ln x )

x ln x

V =

5) iZ 2-GO URAWNENIQ SISTEMY NAHODIM WTORU@ FUNKCI@ U(x)

= 1

= ln2 x

U = ln3 x + C

ln x

ln3 x

6) oB]EE RE[ENIE

y(x) = UV = 0

+ C1

ln x

@ 3

A ln

zAME^ANIE. iNOGDA PRIHODITSQ RE[ATX URAWNENIQ, KOTORYE, QWLQ- QSX NELINEJNYMI OTNOSITELXNO FUNKCII y(x) OKAZYWA@TSQ LINEJ- NYMI OTNOSITELXNO PEREMENNOJ x. w \TOM SLU^AE URAWNENIE PREOBRA- ZUETSQ K LINEJNOMU OTNOSITELXNO FUNKCII x(y) : x0+P (y) x = Q(y):

23: ey2 (dx ; 2x y dy) = y dy.

uRAWNENIE NE QWLQETSQ LINEJNYM OTNOSITELXNO y: nO MOVNO ZAME- TITX, ^TO PEREMENNAQ x I EE DIFFERENCIAL WHODQT W PERWYH STEPENQH I NE PEREMNOVA@TSQ, PO\TOMU RE[AEM \TO URAWNENIE KAK LINEJNOE

103

OTNOSITELXNO x. pREOBRAZUEM EGO K KLASSI^ESKOMU WIDU.

= y x0 ;2y x = y e;

dx;2x y e

dy = y dy e

;2x y e

1) pODSTANOWKA

x(y) = U(y)V (y) x0

= U0V + V 0U:

2) pODSTAWLQEM W URAWNENIE

; 2yV ) = y e;y2 :

U0V + UV 0 ; 2yUV = y e;y2

U0V + U(V 0

3) zAPISYWAEM SISTEMU 8

V 0

;

2y V = 0

U0V = y e;

4) V 0 ;2y V = 0

dVdy =:2y V

dVV = 2y dy

ln V = y2 V = ey2 :

5) U0 ey2 = y e;y2 U0 = y e;2y2 U = Z y e;2y2 dy = ;14 e;2y2 + C:

6) oB]EE RE[ENIE x(y) = U(y) V (y) = ey2 C ; 14 e;2y2 !:

mETOD lAGRANVA (WARIACII PROIZWOLXNOJ POSTOQNNOJ)

rE[ENIE LINEJNOGO URAWNENIQ y0 + P(x) y = Q(x) METODOM WARIA- CII SOSTOIT IZ DWUH \TAPOW.

1)nAHODIM OB]EE RE[ENIE ODNORODNOGO URAWNENIQ y0 +P(x) y = 0: pOLU^AEM FUNKCI@ y = y(x C) GDE C; PROIZWOLXNAQ POSTOQNNAQ.

2)rE[ENIE ISHODNOGO URAWNENIQ I]EM W TOM VE WIDE, NO S^ITAEM C = C(x): pODSTAWLQEM FUNKCI@ y = y(x C(x)) W ISHODNOE URAWNE- NIE, NAHODIM FUNKCI@ C(x) I ZAPISYWAEM OB]EE RE[ENIE ISHODNOGO URAWNENIQ.

24: xy0 ; y = ;2 ln x:

zAPI[EM URAWNENIE W WIDE				y0 ; xy = ;2xln x:
1)	rE[AEM SOOTWETSTWU@]EE ODNORODNOE URAWNENIE y0						; xy = 0:
dy	y	dy	dx	dy	dx
dx	= x )	y	= x ) Z	y = Z	x	)

ln y = ln x + ln C ) y = C x:

104

S RAZDELQ@]IMISQ

2) rE[ENIE ISHODNOGO URAWNENIQ I]EM W WIDE y = C(x) x: pODSTAWIM \TU FUNKCI@ W URAWNENIE I OPREDELIM C(x).

(C x)0 ;

C x

= ;

2 ln x

) C0 x + C ; C = ;

2 ln x

)

x = ;

2 ln x

:C(x) = ;2 Z

ln x

dx ) C(x) = x

(ln x + 1) + C:

3) zAPISYWAEM OB]EE RE[ENIE ISHODNOGO URAWNENIQ:

y = C(x) x = "x2 (ln x + 1) + C # x:

1.2.5.	uRAWNENIQ WIDA	y0 + P(x) y = Q(x) y	k	;

URAWNENIQ bERNULLI

uRAWNENIE y0 = f(x y) QWLQETSQ URAWNENIEM bERNULLI, ESLI PRAWAQ ^ASTX URAWNENIQ IMEET WID f(x y) = a(x)y + b(x)yk GDE k; L@BOE RACIONALXNOE ^ISLO, ISKL@^AQ SLU^AI k = 0 I k = 1: pRI k = 0 URAWNENIE QWLQETSQ LINEJNYM, A PRI k = 1 ;

PEREMENNYMI.

"kLASSI^ESKAQ" FORMA URAWNENIQ bERNULLI

y0 + P (x) y = Q(x) yk:

mOVNO POKAZATX, ^TO URAWNENIE bERNULLI SWODITSQ K LINEJNOMU, PO- \TOMU PRI RE[ENII KONKRETNYH PRIMEROW URAWNENIE bERNULLI RE[A- ETSQ TAK VE KAK I LINEJNOE LIBO METODOM PODSTANOWKI, LIBO METODOM WARIACII.

25: y0 + x2 y = tgxx py:

rE[ENIE URAWNENIQ I]EM W WIDE:

y(x) = U(x)V (x)

TOGDA y0 = U0V + V 0U

pODSTAWLQEM W ISHODNOE URAWNENIE

U0V +UV 0+ 2 UV =

tg x

0V +U(V 0+

V ) =

tg x

105

8 V 0 + 2

V = 0

pOLU^AEM SISTEMU

> U0V =

nAHODIM FUNKCI@ V IZ:1-GO URAWNENIQ

2dx

V 0 + x V

= ;x

= ;

ln V = ;2 ln x V =

pOLU^ENNOE WYRAVENIE DLQ V

PODSTAWLQEM W LEWU@ I PRAWU@

^ASTX 2-GO URAWNENIQ SISTEMY, PROWODIM NEOBHODIMYE PREOBRAZOWA-

NIQ, RAZDELQEM PEREMENNYE I POLU^AEM

x v

dU = tg xp

= tg

2pU = ; ln j cos xj + 2 ln C

pU = tg x dx

zAPISYWAEM OKON^ATELXNOE WYRAVENIE DLQ U :

U(x) = ln2

cos x

oB]EE RE[ENIE:

y(x) = U V =

ln2

cos x

xe2x

26:

y0 ; y =

y :

1) y = UV y0 = U0V + V 0U:

2) U0V + V 0U ; UV = xeUV

U0V + U(V 0

; V ) = xeUV :

V 0

;

= 0

> U0V = xe

0 ; V = 0 V 0 = V

4) :V

= V

= dx ln V = x V = ex:

xe2x

5) U0V =

U0ex = U ex U0 =

U dU = x dx

2 =

2 +

2 U(x) = px2 + C:

6) y = U(x) V (x) = exp

x2 + C:

106

27: rE[ITX ZADA^U kO[I y0 + x y = (1 + x) e;x y2 y(0) = 1:

pROILL@STRIRUEM NA \TOM PRIMERE RE[ENIE URAWNENIQ bERNULLI METODOM WARIACII PROIZWOLXNOJ POSTOQNNOJ.

1) i]EM RE[ENIE ODNORODNOGO URAWNENIQ

y0 + x y = 0 dxdy = ;x y ) dyy = ;x dx )

2
x	2
ln y = ; 2 + ln C ) y = C e;x =2:

2) pOLAGAEM C = C(x) I RE[ENIE ISHODNOGO URAWNENIQ I]EM W FORME y = C(x) e;x2=2:

pODSTAWLQEM \TO WYRAVENIE W ISHODNOE URAWNENIE.

	C e;x2=2 0 + x C e;x2=2 = (1 + x) e;x C e;x2=2 2
C0 e;x2=2 + C e;x2=2 (		;	x) + x C e;x2=2 = (1 + x) e;x C2 e;x2 :
2		;	2	2	2
C0 e;x	=2 = (1 + x) e;x C2 e;x			C0 = (1 + x) e;x C2 e;x	ex =2

dCC2 = (1 + x) e;(x+x2=2) dx	Z	dCC2 = Z (1 + x) e;(x+x2=2)
Z dCC2 = Z e;(x+x2=2) d(x + x2=2)		;	1	= ;e;(x+x2=2) ;
			C

1
C(x) =			:
	e;(x+x2=2) +
		C

pODSTAWLQEM NAJDENNOE C(x) W FORMU OB]EGO RE[ENIQ y = C(x) e;x2=2:

oB]EE RE[ENIE ISHODNOGO URAWNENIQ y =			e;x2=2			:
	e		(x+x2	=2)
		;			+ C

dLQ POLU^ENIQ ^ASTNOGO RE[ENIQ PODSTAWIM NA^ALXNOE USLOWIE W PO- LU^ENNOE OB]EE RE[ENIE

	e0			e;x2=2

1 =			C = 0 y^ASTN: =		= ex:
	e0 +			e;(x+x2=2)
		C

107

1.2.6. uRAWNENIQ WIDA P (x y) dx + Q(x y) dy = 0	;
URAWNENIQ W POLNYH DIFFERENCIALAH

uRAWNENIE P(x y) dx + Q(x y) dy = 0 QWLQETSQ URAWNENIEM W POL- NYH DIFFERENCIALAH, ESLI WYPOLNQETSQ USLOWIE

@P(x y) = @Q(x y): @y @x

zAMETIM, ^TO WSE RASSMOTRENNYE RANEE URAWNENIQ 1-GO PORQDKA MOV- NO ZAPISATX W DIFFERENCIALXNOJ FORME P (x y) dx + Q(x y) dy = 0, NO NE DLQ WSQKOGO BUDET WYPOLNQTXSQ UKAZANNYJ KRITERIJ.

iNTEGRIROWANIE URAWNENIQ W POLNYH DIFFERENCIALAH PROWODITSQ

SLEDU@]IM OBRAZOM.	@P (x y)		@Q(x y)
1) pROWERQEM WYPOLNENIE USLOWIQ	@P (x y)	=	@Q(x y)	:
	@y		@x

2) eSLI USLOWIE WYPOLNQETSQ, TO LEWAQ ^ASTX URAWNENIQ ESTX POL- NYJ DIFFERENCIAL NEKOTOROJ, POKA NEIZWESTNOJ, FUNKCII U(x y) T.E. P(x y) dx + Q(x y) dy = d U(x y): tOGDA, W SOOTWETSTWII S URAW- NENIEM, dU(x y) = 0 I PO\TOMU OB]IJ INTEGRAL URAWNENIQ W POLNYH DIFFERENCIALAH ZAPI[ETSQ W WIDE U(x y) = C:

tAKIM OBRAZOM, RE[ENIE URAWNENIQ SWODITSQ K NAHOVDENI@ FUNKCII

U(x y):

dLQ NAHOVDENIQ FUNKCII U(x y) SRAWNIM WYRAVENIE DLQ POLNOGO

DIFFERENCIALA FUNKCII DWUH PEREMENNYH		dU = @U@x dx + @U@y dy
S LEWOJ ^ASTX@ URAWNENIQ P(x y)dx + Q(x y)dy = dU
MOVEM ZAPISATX, ^TO	@U@x = P (x y)	@U@y = Q(x y):

|TI SOOTNO[ENIQ I ISPOLXZU@TSQ DLQ NAHOVDENIQ FUNKCII U(x y): rASSMOTRIM OSNOWNYE \TAPY \TOGO METODA NA PRIMERAH.

28: 3x2 y + 2y + 3 dx + (x3 + 2x + 3y2) dy = 0:

1) pROWERQEM USLOWIE @P@y = @Q@x
@		3x2 y + 2y + 3 = 3x2 + 2	@		x3 + 2x + 3y2 = 3x2 + 2:

	@y			@x

iTAK, KRITERIJ WYPOLNQETSQ NA WSEJ PLOSKOSTI. dANNOE URAWNENIE

108

QWLQETSQ URAWNENIEM W POLNYH DIFFERENCIALAH.

2) nAHODIM FUNKCI@

U(x y):

dLQ \TOGO INTEGRIRUEM PO x FUNK-

CI@ P (x y) (\TA FUNKCIQ QWLQETSQ PROIZWODNOJ FUNKCII U(x y) PO

x). pEREMENNAQ

y PRI \TOM S^ITAETSQ POSTOQNNOJ

U(x y) =

3x2 y + 2y + 3

dx = y

3x2 dx + 2y

dx + 3

dx =

= x y + 2xy + 3x + (y):

zDESX POSTOQNNAQ INTEGRIROWANIQ ZAPISYWAETSQ W WIDE FUNKCII (y) (PROIZWODNAQ \TOJ FUNKCII PO x RAWNA NUL@) I \TA FUNKCIQ PODLE- VIT OPREDELENI@.

3) tAK KAK @U@y = Q(x y)						TO POLU^ENNOE WYRAVENIE DLQ U(x y) :
U(x y) = x3 y + 2xy + 3x + (y)								DIFFERENCIRUEM PO PEREMEN-
NOJ	y	I PRIRAWNIWAEM K FUNKCII						Q(x y):
U0	(x y) = x3 y + 2xy + 3x + (y) 0 = x3 + 2x + 0
y		3						y	y
				2	:
Q(x y) = x + 2x + 3y
iTAK,		x3 + 2x + 0		= x3		+ 2x + 3y2		=	0 = 3y2:
		y						)	y

iNTEGRIRUEM PO y			I POLU^AEM				(y) = Z 3y2 dy = y3:
(pOSTOQNNU@ INTEGRIROWANIQ ZDESX MOVNO NE DOPISYWATX, TAK KAK
NAM NUVNA ODNA IZ PERWOOBRAZNYH).
tOGDA WYRAVENIE DLQ FUNKCII							U(x y) PRIMET WID
		U(x y) = x3 y + 2xy + 3x + y3							I OB]IJ INTEGRAL

URAWNENIQ U(x y) = C ILI x3 y + y3 + 2xy + 3x = C:

oTMETIM, ^TO WSEGDA MOVNO UBEDITXSQ W PRAWILXNOSTI POLU^ENNOGO RE[ENIQ, PRODIFFERENCIROWAW WYRAVENIE DLQ FUNKCII U(x y) PO

PEREMENNYM x I		y I PRIRAWNQW SOOTWETSTWENNO K FUNKCIQM
P(x y) I Q(x y):
x3 y + y3 + 2xy + 3x x0					= 3x2 y + 2y + 3 = P (x y)
x3 y + y3 + 2xy + 3x y0					= x3 + 2x + 3y2 = Q(x y):
pROWERKA PODTWERVDAET PRAWILXNOSTX POLU^ENNOGO RE[ENIQ.
29: 0x1 ;	y2		1 dx + 0			x2		; 1y1 dy = 0:
	(x y)2					(x y)2
@	;		A	@P @			;	A
							@Q
1) pROWERQEM USLOWIE				@y =			@x :

109

2xy

;

= ;

; y1 =

;

y)2

;

y)3

;

y)2

;

y)3

iTAK,

KRITERIJ WYPOLNQETSQ. dANNOE URAWNENIE QWLQETSQ URAWNENI-

EM W POLNYH DIFFERENCIALAH.

2) nAHODIM FUNKCI@

U(x y):

dLQ \TOGO INTEGRIRUEM PO x FUNK-

CI@ P (x y)

(\TA FUNKCIQ QWLQETSQ PROIZWODNOJ FUNKCII U(x y)

x). pEREMENNAQ y

PRI \TOM S^ITAETSQ POSTOQNNOJ

U(x y) =

1 dx = ln x +

+ (y):

x ; y

@x ; (x ; y)

3) nAHODIM FUNKCI@

(y) IZ USLOWIQ

Uy0

= Q(x y):

dLQ \TOGO POLU^ENNOE WYRAVENIE DLQ

U(x y) :

U(x y) = ln x +

+ (y)

DIFFERENCIRUEM PO PEREMENNOJ y

x ; y

PRIRAWNIWAEM K FUNKCII

Q(x y):

U0 (x y) = 2y(x ; y) ; y2(;1) +

0 = 2xy ; y2 + 0

; y)2

(x ; y)2

Q(x y) =

; y

;

y)2

tOGDA

2xy ; y

+ 0

= 1

; y)2

(x ; y)2 ; y

)

; y

iNTEGRIRUQ PO

y POLU^IM

(y) =

1 ; 1y! dy = y ; ln y:

(pOSTOQNNU@ INTEGRIROWANIQ ZDESX MOVNO NE DOPISYWATX, TAK KAK

NAM NUVNA ODNA IZ PERWOOBRAZNYH).

tOGDA WYRAVENIE DLQ FUNKCII

U(x y) PRIMET WID

U(x y) = ln x +

+ y ; ln y = ln y

+ y

x ; y

ln x

I OB]IJ INTEGRAL

URAWNENIQ

U(x y) = C

ILI

= C:

x ; y

sPOSOB 2. mOVNO PREDLOVITX I UPRO]ENNYJ WARIANT RE[ENIQ URAW- NENIQ W POLNYH DIFFERENCIALAH, SHEMA KOTOROGO SOSTOIT W SLEDU@- ]EM.

pUSTX TREBUETSQ RE[ITX URAWNENIE WIDA

P (x y) dx + Q(x y) dy = 0:

110

1) pROWERQEM USLOWIE P 0			= Q0 :
		y	8	x
2) zAPISYWAEM SISTEMU				U0 = P (x y)
2) zAPISYWAEM SISTEMU				x
			<	Uy0 = Q(x y):
			:
3) iNTEGRIRUQ PERWOE URAWNENIE SISTEMY PO x A WTOROE PO y NAHODIM
FUNKCII U1(x y) I U2(x y):
8	U1(x y) =	P (x y)dx
<	U2(x y) =	R Q(x y)dy:
:		R
pRI^EM PERWYJ INTEGRAL BERETSQ W PREDPOLOVENII, ^TO y = const A
WO WTOROM - x = const:
4) zAPISYWAEM FUNKCI@			U(x y) = U1(x y)+ NEDOSTA@]IE SLA-
GAEMYE IZ WYRAVENIQ DLQ			U2(x y):

5) pRIRAWNIWAQ POLU^ENNU@ FUNKCI@ KONSTANTE, POLU^AEM OB]IJ INTEGRAL ISHODNOGO URAWNENIQ U(x y) = C:

z A M E ^ A N I E. pRI RE[ENII URAWNENIJ TAKIM SPOSOBOM OBQZATELXNO NUVNO PROWERITX, UDOWLETWORQET LI POLU^ENNAQ FUNK-


CIQ U	(x y) URAWNENI@, T.E. PROWERITX RAWENSTWA
@U@x = P(x y)		@U@y = Q(x y):

eSLI ^ASTNYE PROIZWODNYE FUNKCII U(x y) NE SOWPADUT S FUNKCIQ- MI P (x y) I Q(x y) TO \TO ZNA^IT, ^TO NE U^TENY OSOBENNOSTI \TIH FUNKCIJ I DANNOE URAWNENIE SLEDUET RE[ITX PERWYM SPOSOBOM.

30: x ey2 dx + x2y ey2 + tg2y dy = 0:
zDESX P (x y) = x ey2	Q(x y) = x2y ey2 + tg2y:
pROWERQEM KRITERIJ P0	= 2xyey2 Q0 = 2xyey2	:
y	x

~ASTNYE PROIZWODNYE RAWNY. dANNOE URAWNENIE ESTX URAWNENIE W POLNYH DIFFERENCIALAH. nUVNO NAJTI FUNKCI@ U(x y): iZ SOOT-

NO[ENIQ U0 = P	(x y) = x ey2							NAHODIM
x						2
U1(x y) = Z x ey	2				x	2	2
	2				x		2
		dx =			2 ey			:
iZ SOOTNO[ENIQ			Uy0		= Q(x y) = x2y ey2 + tg2y NAHODIM
U2(x y) = Z x2y ey			2	+ tg2y				1	2
U2(x y) = Z x2y ey				+ tg2y				dy = x2 2 ey		+ tgy ; y:

111

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 / 2111 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
20.12.2018280.58 Кб1Теория организации для ТПУ.doc
#
29.05.2015516.61 Кб25Теория экзамен.doc
#
02.05.2019210.94 Кб6теория_«SWOT» анализ_сам.работа.doc
#
12.11.201975.69 Mб0Теория_БЖД_практика.doc
#
30.07.2019118.89 Кб2ТерВер_шпора.docx
#
29.05.20152.54 Mб136Терёхина, Фикс - Высшая математика.pdf
#
22.11.20191.87 Mб7Терминология.doc
#
29.05.201537.45 Кб27Термодин 1-10.docx
#
29.05.201513.16 Кб24Термодин 21-30.docx
#
29.05.201523.55 Кб19Термодин 31-40.doc
#
29.05.2015194.56 Кб17Термодин 71-80.doc