Терёхина, Фикс - Высшая математика

c) oB]EE RE[ENIE ISHODNOGO URAWNENIQ

Y = Y + Y = e;2x (C1 cos 4x + C2 sin 4x) + 3 cos 4x ; sin 4x:

30: y00 + y = 4 cos x:

a) nAJD<M OB]EE RE[ENIE SOOTWETSTWU@]EGO ODNORODNOGO URAWNENIQ

b) nAJDEM ^ASTNOE RE[ENIE NEODNORODNOGO URAWNENIQ PO EGO PRA- WOJ ^ASTI S U^ETOM KORNEJ HARAKTERISTI^ESKOGO URAWNENIQ. pRAWAQ ^ASTX SOOTWETSTWUET 3-MU SLU^A@ TABLICY, PRI^EM KOMPLEKSNO- SO- PRQVENNYE ^ISLA, KOTORYE MY SOSTAWLQEM, z = i = i QWLQ@TSQ KORNQMI HARAKTERISTI^ESKOGO URAWNENIQ. zNA^IT, ^ASTNOE RE[ENIE NEODNORODNOGO URAWNENIQ, POWTORQQ OB]IJ WID PRAWOJ ^ASTI URAWNE- NIQ, DOPOLNITELXNO DOLVNO BYTX UMNOVENO NA x

Y = x (A cos x + B sin x): Y

(Y )0 = x(;A sin x + B cos x) + A cos x + B sin x (Y )00 = x(;A cos x + B sin x) ; 2A sin x + 2B cos x:

pODSTAWIM IH W ISHODNOE URAWNENIE

;2A sin x+2B cos x;x(A cos x+B sin x)+x(A cos x+B sin x) = 4 cos x: pRIWEDEM PODOBNYE ^LENY ;2A sin x + 2B cos x = 4 cos x: pRIRAWNIWAQ W \TOM RAWENSTWE KO\FFICIENTY PRI SINUSAH, KOSINU- SAH POLU^IM A = 0 B = 2:

c) oB]EE RE[ENIE ISHODNOGO URAWNENIQ

Y= Y + Y = C1 cos x + C2 sin x + 2x sin x:

31: nAJTI ^ASTNOE RE[ENIE URAWNENIQ

y00 + 6y0 + 10y = 80ex cos x y(0) = 4 y0(0) = 10:

a) y00 + 6y0 + 10y = 0 ) k2 + 6k + 10 = 0 ) k1 2 = ;3 i oB]EE RE[ENIE ODNORODNOGO URAWNENIQ Y = e;3x(C1 cos x+C2 sin x):

143

b) f(x) = 80ex cos x:

~ISLA z = i = 1 i NE QWLQ@TSQ KORNQMI HARAKTERISTI^ES- KOGO URAWNENIQ, PO\TOMU ^ASTNOE RE[ENIE NEODNORODNOGO URAWNENIQ ZAPI[ETSQ W WIDE Y = ex(A cos x + B sin x): nAJDEM

(Y )0 = ex(A cos x + B sin x) + ex(;A sin x + B cos x) = = ex [(A + B) cos x + (B ; A) sin x]

(Y )00= ex[(A+B) cos x+(B;A) sin x]+ex[;(A+B) sin x+(B;A) cos x] = = ex(2B cos x;2A sin x):

pODSTAWLQEM W ISHODNOE URAWNENIE, SOKRA]AQ ODNOWREMENNO ex

2B cos x;2A sin x+6(A+B) cos x+6(B;A) sin x+10(A cos x+B sin x) = = 80 cos x:

Y = e;3x(C1 cos x + C2 sin x) + ex(4 cos x + 2 sin x):

iSPOLXZUQ NA^ALXNYE USLOWIQ, NAJDEM ZNA^ENIQ POSTOQNNYH C1 C2. dLQ \TOGO NUVNO PRODIFFERENCIROWATX POLU^ENNOE OB]EE RE[ENIE

Y 0 = e;3x((;3C1 + C2) cos x;e;3x(3C2 + C1) sin x) + 2ex(2 cos x;sin x): pOLU^AEM DWA URAWNENIQ DLQ OPREDELENIQ C1 C2:

Y (0) = C1 + 4 = 4 C1 = 0 Y 0(0) = ;3C1 + C2 + 6 = 10 C2 = 4:

~ASTNOE RE[ENIE, UDOWLETWORQ@]EE ZADANNYM NA^ALXNYM USLOWIQM,

BUDET IMETX WID

Y = 4e;3x sin x + 2ex(2 cos x + sin x):

144

4. sISTEMY LINEJNYH URAWNENIJ

4.1. oSNOWNYE PONQTIQ

s SISTEMAMI DIFFERENCIALXNYH URAWNENIJ WSTRE^A@TSQ PRI IZ- U^ENII PROCESSOW, DLQ OPISANIQ KOTORYH NUVNO ISKATX NESKOLXKO FUNKCIJ ODNOWREMENNO PO URAWNENIQM, SWQZYWA@]IM SAMI FUNKCII I IH PROIZWODNYE.

bUDEM DALEE W KA^ESTWE NEZAWISIMOJ PEREMENNOJ ISPOLXZOWATX t, A NEIZWESTNYE FUNKCII OBOZNA^ATX

pROIZWODNYE ISKOMYH FUNKCIJ PO t BUDEM OBOZNA^ATX x(t) y(t) z(t): rE[ITX SISTEMU - OZNA^AET NAJTI \TI FUNKCII.

~A]E WSEGO PRIHODITSQ IMETX DELO NE S PROIZWOLXNOJ, A S TAK NA- ZYWAEMOJ, N O R M A L X N O J SISTEMOJ LINEJNYH DIFFERENCIALXNYH URAWNENIJ, T.E. SISTEMOJ, RAZRE[ENNOJ OTNOSITELXNO PROIZWODNYH ISKOMYH FUNKCIJ. pRI \TOM KAVDOE URAWNENIE SISTEMY QWLQETSQ LINEJNYM. nORMALXNAQ SISTEMA LINEJNYH DIFFERENCIALXNYH URAW-

^ISLAMI. wWEDEM W RASSMOTRENIE MATRICY:

MATRICA-STOLBEC NEIZWESTNYH FUNKCIJ X(t) MATRICA-STOLBEC IH PROIZWODNYH X(t) MATRICA-STOLBEC FUNKCIJ F(t) MATRICA KO\F- FICIENTOW SISTEMY A

nORMALXNAQ LINEJNAQ SISTEMA DIFFERENCIALXNYH URAWNENIJ W MAT- RI^NOJ FORME ZAPI[ETSQ

I 2) X = A X:

dLQ NORMALXNOJ SISTEMY LINEJNYH DIFFERENCIALXNYH URAWNE- NIJ MOVNO PO^TI SLOWO W SLOWO POWTORITX PONQTIQ ^ASTNYH I OB- ]EGO RE[ENIJ, KOTORYE BYLI RANEE SFORMULIROWANY DLQ LINEJNYH URAWNENIJ WYS[EGO PORQDKA. tAK, DLQ SISTEMY 2-GO PORQDKA:

145

1) dWA RE[ENIQ SISTEMY X1(t) X2(t) OBRAZU@T FUNDAMENTALXNU@ SISTEMU RE[ENIJ ODNORODNOJ SISTEMY X = AX , ESLI ONI LINEJNO

NEZAWISIMY, T.E. X1(t) 6= X2(t).

2) eSLI X1(t) X2(t) OBRAZU@T FUNDAMENTALXNU@ SISTEMU RE[E- NIJ ODNORODNOJ SISTEMY X = AX, TO EE OB]EE RE[ENIE IMEET WID

X(t) = C1 X1(t) + C2 X2(t):

3)eSLI X (t) ESTX KAKOE - LIBO ^ASTNOE RE[ENIE NEODNORODNOJ SISTEMY X = AX + F (t), A X(t) { OB]EE RE[ENIE SOOTWETSTWU@- ]EJ ODNORODNOJ SISTEMY X = AX, TO OB]EE RE[ENIE NEODNORODNOJ SISTEMY ZAPI[ETSQ X(t) = X(t) + X (t):

4)rE[ITX ZADA^U kO[I DLQ NORMALXNOJ SISTEMY OZNA^AET, ^TO IZ

OB]EGO RE[ENIQ SISTEMY (MNOVESTWA WSEH EE RE[ENIJ) NEOBHODIMO WYDELITX ODNO, UDOWLETWORQ@]EE NA^ALXNYM USLOWIQM

x(0) = x0 y(0) = y0:

5) nEMNOGO O MEHANI^ESKOM SMYSLE NORMALXNOJ SISTEMY I EE RE[E- NIQ. eSLI RASSMATRIWATX ISKOMYE FUNKCII x(t) y(t) KAK PEREMEN- NYE KOORDINATY DWIVU]EJSQ W PLOSKOSTI OXY TO^KI M(x(t) y(t)), TO SISTEMA X = AX + F (t) OPISYWAET ZAWISIMOSTX MEVDU KOMPONEN- TAMI SKOROSTI vx = x(t) vy = y(t) DWIVU]EJSQ TO^KI I EE KOOR-

DINATAMI WO WREMENI. rE[ENIE SISTEMY X(t) = 0 x(t) 1 NAZYWA@T

. @ y(t) A ,

ZAKONOM DWIVENIQ TO^KI eSLI ISKL@^ITX IZ ZAKONA DWIVENIQ WREMQ TO POLU^IM TRAEKTORI@ DWIVENIQ TO^KI, FORMA KOTOROJ ZAWISIT KAK OT NA^ALXNOGO POLOVENIQ TO^KI, TAK I OT WREMENI. eSLI DWIVENIE OPISYWAETSQ ODNORODNOJ SISTEMOJ, TO FORMA TRAEKTORII DWIVENIQ TO^KI ZAWISIT TOLXKO OT EE NA^ALXNOGO POLOVENIQ.

4.2. mETODY RE[ENIQ SISTEM

iZ WSEH METODOW RE[ENIQ NORMALXNYH SISTEM LINEJNYH DIFFE- RENCIALXNYH URAWNENIJ OSTANOWIMSQ NA DWUH:

"METOD ISKL@^ENIQ",

"METOD |JLERA" (METOD HARAKTERISTI^ESKOGO URAWNENIQ).

146

4.1.1. mETOD ISKL@^ENIQ

|TOT METOD PREDSTAWLQET SOBOJ METOD SWEDENIQ SISTEMY K ODNOMU URAWNENI@ WYS[EGO PORQDKA. mETOD DOSTATO^NO PROST I LEGKO REA- LIZUEM DLQ SISTEMY 2-GO PORQDKA.

iZLOVIM KRATKO SHEMA RE[ENIQ ODNORODNOJ SISTEMY METODOM |J-

DAET DWA KORNQ k1 k2.

147

3) zAPISYWAEM SISTEMU ODNORODNYH ALGEBRAI^ESKIH URAWNENIJ

oTMETIM, ^TO DANNAQ ODNORODNAQ SISTEM W SILU RAWENSTWA NUL@ EE OPREDELITELQ IMEET BESKONE^NOE MNOVESTWO NENULEWYH RE[ENIJ, IZ KOTORYH NAS USTRAIWAET L@BAQ PARA.

4) wYPISYWAEM FUNDAMENTALXNU@ SISTEMU RE[ENIJ I OB]EE RE- [ENIE SISTEMY SOGLASNO TEOREME O EGO STRUKTURE. nA \TOM \TAPE I WOZNIKA@T N@ANSY, SWQZANNYE S WIDOM KORNEJ HARAKTERISTI^ESKOGO URAWNENIQ. pRI \TOM SLU^AJ RAZLI^NYH DEJSTWITELXNYH KORNEJ QW- LQETSQ NAIBOLEE PROSTYM W REALIZACII DAVE I DLQ SISTEM BOLEE WY- SOKOGO PORQDKA. nAIBOLX[U@ SLOVNOSTX PREDSTAWLQET SLU^AJ KRAT- NYH KORNEJ.

nAJDEM METODOM |JLERA RE[ENIQ SLEDU@]IH SISTEM.

8 x = 6x ; 8y

2 nAJTI OB]EE RE[ENIE SISTEMY < y = ;x + 4y:

zAPISYWAEM HARAKTERISTI^ESKOE URAWNENIE DLQ ^EGO WYPISYWAEM

: ,

MATRICU DANNOJ SISTEMY, OT \LEMENTOW GLAWNOJ DIAGONALI OTNIMAEM ^ISLO k I PRIRAWNIWAEM K NUL@ OPREDELITELX POLU^ENNOJ MATRICY

uRAWNENIQ SISTEMY QWLQ@TSQ LINEJNO: ZAWISIMYMI, SISTEMA IMEET

BES^ISLENNOE MNOVESTWO RE[ENIJ. oSTAWLQEM WTOROE URAWNENIE, IZ KOTOROGO POLU^AEM SWQZX MEVDU r1 I r2: r1 = 2r2:

oDNO NEIZWESTNOE WYBIRAEM PROIZWOLXNO. nAPRIMER, POLAGAQ r1 = 2 ,

148

iTAK, OB]EE RE[ENIE SISTEMY

rASSMOTRIM RE[ENIE NEODNORODNYH SISTEM.

150

5. nAJTI OB]EE RE[ENIE NEODNORODNOJ SISTEMY rE[IM SISTEMU METODOM ISKL@^ENIQ

8 x = ;4y + 6 cos t

< y = x:

a) : t: pRODIFFERENCIRUEM PERWOE URAWNENIE PO

x = ;4y ; 6 sin t:

b) zNA^ENIE y PODSTAWIM IZ WTOROGO URAWNENIQ

x = ;4x ; 6 sin t: tAKIM OBRAZOM, IMEEM NEODNORODNOE URAWNENIE

x + 4x = ;6 sin t:

oB]EE RE[ENIE SOOTWETSTWU@]EGO ODNORODNOGO URAWNENIQ: KORNI HA- RAKTERISTI^ESKOGO URAWNENIQ

~ASTNOE RE[ENIE URAWNENIQ I]EM PO WIDU PRAWOJ ^ASTI

x = A cos t + B sin t:

pOSLE PODSTANOWKI W URAWNENIE I NAHOVDENIQ NEOPREDELENNYH KO\F- FICIENTOW IMEEM

x = ;2 sin t:

iTAK, x(t) = C1 cos 2t + C2 sin 2t ; 2 sin t: iZ PERWOGO URAWNENIQ SISTEMY IMEEM