Терёхина, Фикс - Высшая математика

Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Томский Политехнический Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

arcsin z = x + C1

z = sin(x + C1)

dy = sin(x + C1) dx:

.pdf

Скачиваний:

136

Добавлен:

29.05.2015

Размер:

2.54 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1213 / 2113 14 15 16 17 18 19 20 21 > Следующая >>>

y0 = p(y) y0		= p0 p:
x	x	y
uRAWNENIE PRIMET WID
	p0 p = 32 sin3 y cos y						)	dydp p = 32 sin3 y cos y
Z	p dp = 32 Z sin3 y cos y dy							)	p2=2 = 8 sin4 y + C1:
tAK KAK y(1) = =2			I y0(1) = p = 4 TO MOVNO SRAZU NAJTI C1.
	16	= 8 sin4( =2) + C1						8 = 8 + C1		C1 = 0:
	2	= 8 sin4( =2) + C1						8 = 8 + C1		C1 = 0:
iTAK, IMEEM
	p2									= 4 sin2 y:
	2 = 8 sin4 y			p2 = 16 sin4 y					p = y0	= 4 sin2 y:
dy					dy
dx = 4 sin2 y			)			= 4 dx			) ;ctg y = 4x + C2:
dx = 4 sin2 y			)		sin2 y	= 4 dx			) ;ctg y = 4x + C2:
tAK KAK	y(1) = =2,			TO
	;ctg ( =2) = 4 + C2						0 = 4 + C2			C2 = ;4:
oKON^ATELXNO, ^ASTNOE RE[ENIE									4x = 4 ; ctg y:

8: y00 = q1 ; y02:

dANNOE URAWNENIE NE SODERVIT W QWNOM WIDE NI SAMOJ FUNKCII y(x) NI

NEZAWISIMOJ PEREMENNOJ x. tAKIM OBRAZOM, PORQDOK \TOGO URAWNENIQ MOVNO PONIZITX KAK PODSTANOWKOJ y0 = z(x) ) y00 = z0(x)

TAK I PODSTANOWKOJ y0 = p(y) ) y00 = p0(y) p: iSPOLXZUQ PERWU@, POLU^IM

y = ; cos(x + C1) + C2:

p1 ; z2 = dx

dxdy = sin(x + C1)

122

y(x)

3. lINEJNYE URAWNENIQ 2 { GO PORQDKA

lINEJNYM DIFFERENCIALXNYM URAWNENIEM WTOROGO PORQDKA NAZY- WAETSQ URAWNENIE, W KOTOROM ISKOMAQ FUNKCIQ I EE PROIZWOD- NYE WHODQT W PERWYH STEPENQH I NE PEREMNOVA@TSQ.

lINEJNOE DIFFERENCIALXNOE URAWNENIE 2-GO PORQDKA IMEET WID ay00 + b y0 + c y = f(x):

GDE a b c; LIBO FUNKCII OT x LIBO POSTOQNNYE ^ISLA. eSLI f(x) = 0 TO URAWNENIE NAZYWAETSQ O D N O R O D N Y M, ILI URAWNENIEM BEZ PRAWOJ ^ASTI. eSLI f(x) 6= 0TO URAWNENIE NAZYWAETSQ N E O D N O R O D N Y M, ILI URAWNENIEM S PRAWOJ ^ASTX@.

3.1. oDNORODNYE LINEJNYE URAWNENIQ

oTMETIM, ^TO TAKIE URAWNENIQ, KAK I WSQKIE DIFFERENCIALXNYE URAWNENIQ, IME@T BES^ISLENNOE MNOVESTWO RE[ENIJ, NO RE[ENIQ OD- NORODNYH LINEJNYH URAWNENIJ L@BOGO PORQDKA OBLADA@T SPECIFI- ^ESKIMI SWOJSTWAMI.

sWOJSTWA RE[ENIJ LINEJNOGO ODNORODNOGO URAWNENIQ

1. eSLI FUNKCIQ y1(x) QWLQETSQ KAKIM-LIBO ^ASTNYM RE[ENIEM

URAWNENIQ

ay00 + b y0 + c y = 0:

TO FUNKCIQ C y1(x) GDE C ; const TAKVE QWLQETSQ RE[ENIEM \TOGO URAWNENIQ.

2. eSLI FUNKCII y1(x) y2(x) { QWLQ@TSQ ^ASTNYMI RE[ENIQMI

URAWNENIQ

ay00 + b y0 + c y = 0:

TO IH SUMMA y1(x)+y2(x) TAKVE QWLQETSQ RE[ENIEM \TOGO URAWNENIQ. 3. eSLI FUNKCII y1(x) y2(x) { QWLQ@TSQ ^ASTNYMI RE[ENIQMI

URAWNENIQ

ay00 + b y0 + c y = 0:

TO IH LINEJNAQ KOMBINACIQ C1 y1(x) + C2 y2(x) TAKVE QWLQETSQ RE[ENIEM \TOGO URAWNENIQ.

123

y1(x) 6= y2(x)

lINEJNAQ ZAWISIMOSTX I LINEJNAQ NEZAWISIMOSTX SISTEMY FUNKCIJ. oPREDELITELX wRONSKOGO

sISTEMA FUNKCIJ y1(x) y2(x) NAZYWAETSQ LINEJNO NEZAWISIMOJ, ESLI NI ODNU IZ \TIH FUNKCIJ NELXZQ PREDSTAWITX W WIDE LINEJNOJ KOMBINACII OSTALXNYH, NAPRIMER w ^ASTNOSTI, DWE FUNKCII y1(x) I

y2(x) NAZYWA@TSQ L I N E J N O N E Z A W I S I M Y M I, ESLI ODNU IZ NIH NELXZQ LINEJNO WYRAZITX ^EREZ DRUGU@, T.E.

ILI y1(x) 6= const: y2(x)

sISTEMA FUNKCIJ y1(x) y2(x) NAZYWAETSQ LINEJNO ZAWISIMOJ, ESLI ODNU IZ \TIH FUNKCIJ MOVNO PREDSTAWITX W WIDE

y1(x) = y2(x) ILI	y1(x)	= = const:
	y2(x)

oB]IM KRITERIEM LINEJNOJ ZAWISIMOSTI I NEZAWISIMOSTI SISTEMY

FUNKCIJ QWLQETSQ OPREDELITELX wRONSKOGO. dLQ SISTEMY DWUH FUNK- CIJ OPREDELITELX wRONSKOGO IMEET WID

	W [y1		y2] =	y1	y2	= y1 y0	;	y2 y0 :
				y0	y0	2	;		1
				1	2
CFORMULIRUEM KRITERIJ LINEJNOJ ZAWISIMOSTI ^EREZ OPREDE-
LITELX wRONSKOGO.
t E O R E M A	1.	eSLI OPREDELITELX wRONSKOGO							NI PRI
	1.								W[y1 y2] 6= 0
KAKIH x TO SISTEMA FUNKCIJ y1					y2 QWLQETSQ LINEJNO NEZAWISIMOJ.
t E O R E M A 2.			eSLI OPREDELITELX wRONSKOGO W [y1 y2] TOV-
DESTWENNO RAWEN NUL@, TO SISTEMA FUNKCIJ y1									y2 QWLQETSQ LINEJNO
ZAWISIMOJ.

fUNDAMENTALXNAQ SISTEMA RE[ENIJ LINEJNOGO ODNOROD- NOGO URAWNENIQ.

sISTEMA FUNKCIJ y1(x) y2(x) OBRAZUET F U N D A M E N T A L X N U @ S I S T E M U RE[ENIJ LINEJNOGO ODNORODNOGO URAWNENIQ n-GO

PORQDKA, ESLI ONA UDOWLETWORQET DWUM USLOWIQM:

1)FUNKCII y1(x) y2(x) QWLQ@TSQ RE[ENIQMI URAWNENIQ,

2)FUNKCII y1(x) y2(x) QWLQ@TSQ LINEJNO NEZAWISIMYMI.

iTAK, DLQ ODNORODNOGO LINEJNOGO URAWNENIQ 2-GO PORQDKA L@BAQ PARA LINEJNO NEZAWISIMYH RE[ENIJ y1(x) y2(x) OBRAZUET FUNDAMEN- TALXNU@ SISTEMU RE[ENIJ.

124

k2 y0

tEOREMA O STRUKTURE OB]EGO RE[ENIQ LINEJNOGO ODNOROD- NOGO URAWNENIQ 2-GO PORQDKA

eSLI FUNKCII y1(x) y2(x) OBRAZU@T FUNDAMENTALXNU@ SISTEMU RE[ENIJ LINEJNOGO ODNORODNOGO URAWNENIQ ay00 + b y0 + c y = 0, TO EGO OB]EE RE[ENIE QWLQETSQ IH LINEJNOJ KOMBINACIEJ

Y = C1 y1(x) + C2 y2(x):

tAKIM OBRAZOM, ^TOBY NAJTI OB]EE RE[ENIE LINEJNOGO ODNORODNO- GO URAWNENIQ 2-GO PORQDKA, NUVNO NAJTI KAKU@-LIBO PARU LINEJNO NEZAWISIMYH RE[ENIJ I SOSTAWITX IH LINEJNU@ KOMBINACI@.

dLQ URAWNENIJ S POSTOQNNYMI KO\FFICIENTAMI FUNDAMENTALX- NAQ SISTEMA RE[ENIJ NAHODITSQ DOWOLXNO PROSTO. rASSMOTRIM METOD RE[ENIQ TAKIH URAWNENIJ.

pOISK OB]EGO RE[ENIQ LINEJNOGO ODNORODNOGO URAWNENIQ S POSTOQNNYMI KO\FFICIENTAMI.

rASSMOTRIM URAWNENIE 2-GO PORQDKA.

mETOD RE[ENIE LINEJNOGO ODNORODNOGO URAWNENIQ S POSTOQNNYMI KO\FFICIENTAMI

ay00 + b y0 + c y = 0

BYL PREDLOVEN |JLEROM. w SOOTWETSTWIE S NIM RE[ENIE URAWNENIQ I]ETSQ W WIDE y(x) = ekx ) y0 = k ekx y00 = k2 ekx:

pODSTAWLQQ W URAWNENIE I DELQ OBE EGO ^ASTI NA ekx 6= 0POLU^AEM

ALGEBRAI^ESKOE URAWNENIE DLQ OPREDELENIQ POKAZATELQ k ak2 + b k + c = 0

KOTOROE NAZYWAETSQ H A R A K T E R I S T I ^ E S K I M URAWNENIEM DLQ DANNOGO DIFFERENCIALXNOGO.

hARAKTERISTI^ESKOE URAWNENIE POLU^AETSQ IZ DANNOGO DIFFEREN- CIALXNOGO FORMALXNOJ ZAMENOJ W NEM y00 ! ! k y ! 1: tAKIM OBRAZOM, RE[ENIE DIFFERENCIALXNOGO URAWNENIQ SWODITSQ K RE[ENI@ ALGEBRAI^ESKOGO URAWNENIQ

ay00 + b y0 + c y = 0 = ak2 + b k + c = 0:

) -

hARAKTERISTI^ESKOE URAWNENIE QWLQETSQ OBY^NYM KWADRATNYM URAW NENIEM, KORNI KOTOROGO NAHODQTSQ PO IZWESTNYM FORMULAM:

125

k1 2 = ;b p

ak2 + b k + c = 0

b2 ; 4ac

k1 2 =

;b p

k2 + b k + c = 0

b2 ; 4c

k1 2 = ;b 2p

ak2 + 2b k + c = 0

b2 ; ac

k2 + 2b k + c = 0 k1 2 = ;b pb2

; c:

w ZAWISIMOSTI OT ZNAKA DISKRIMINANTA D = b2 ; 4ac URAWNENIQ

WOZMOVNY TRI SLU^AQ.

kORNI k1 k2

fUND: SISTEMA

oB]EERE[ENIE

y1 y2

Y = C1y1 + C2y2

1) D > 0

y1 = ek1x

Y = C1ek1x + C2ek2x

k1 6=k2

y2 = ek2x

2) D = 0

y1 = ekx

Y = ekx (C1 + C2 x)

k1 = k2 = k

y2 = xekx

3) D < 0

y1 = e x cos x

= e x (C1 cos x + C2 sin x)

k1 2 = i

y2 = e x sin x

pRI OTRICATELXNOM ZNA^ENII DISKRIMINANTA (3 - J SLU^AJ TABLI- CY) KWADRATNOE URAWNENIE, KAK IZWESTNO, NE IMEET DEJSTWITELXNYH KORNEJ, NO ONO IMEET PARU KOMPLEKSNO-SOPRQVENNYH KORNEJ i: ~ISLA I ; DEJSTWITELXNYE, A i; MNIMAQ EDINICA, OPREDE- LQEMAQ SOOTNO[ENIEM i2 = ;1 ILI i = p;1: nA MNOVESTWE KOMPLEKSNYH ^ISEL STANOWITSQ WOZMOVNYM IZWLE^ENIE KORNQ ^ETNOJ STEPENI IZ OTRICATELXNOGO ^ISLA, A ZNA^IT MOVNO ZAPISYWATX RE[E- NIQ KWADRATNYH URAWNENIJ S OTRICATELXNYM DISKRIMINANTOM:

x2 + 1 = 0

) x2 = ;1

)

x1 2 = p

i = 0 = 1:

x2 + 4 = 0

) x2 = ;4 ) x1 2 = p

= 2p

= 0

= 2:

x2 + 4x + 5 = 0 ) x1 2 = ;2

= ;2 i = ;2 = 1:

4 ; 5

x2 ; x + 2 = 0 )

x1 2 = 1 p21 ;

8 = 1

1 2ip

= 2

2 i

= 2 = 2 :

126

1: y00 ; 3y0 + 2y = 0:

y00 ;3y0 + 2y = 0 ) k2 ;3k + 2 = 0 k1 = 2 k2 = 1 (D > 0


		3 p
)	k1 2 =	3 p		9	; 8	=	3 1
)		2					2
k1 6=k2)			Y = C1 e2x + C2 ex:
k1 6=k2)

2: y00 + 5y0 = 0:

y00 + 5y0 = 0 ) k2 + 5k = 0 ) k(k + 5) = 0 )

k1 = 0 k2 = ;5

(k1 6=k2)

Y = C1 + C2 e;5x:

3: 2y00 + 5y0 + 2y = 0:

2y00 + 5y + 2y = 0 ) 2k2 + 5k + 2 = 0 )

;5 p

k1 2

25 ; 16

;5 3

)

k1 =

;

1=2 k2

;

(D > 0 k1 6=k2)

Y = C1 e;x=2 + C2 e;2x:

4: 4y00 ; 25y = 0:

4y00 ; 25y = 0 ) 4k2 ; 25 = 0 ) k2 = 25=4 ) k1 2 = 5=2

(D > 0 k1 6=k2)

Y = C1 e;5x=2 + C2 e5x=2:

5: y00 + 6y0 + 9y = 0:

y00 + 6y0 + 9y = 0 ) k2 + 6k + 9 = 0 ) k1 2 = ;3 p

9 ; 9

= ;3

ILI

(k+3)

= 0 k1

= k2 = ;3

(D = 0) Y = e;

(C1 + C2x):

6: 25y00 ; 10y0 + y = 0:

25y00 ; 10y0 + y = 0

) 25k2 ; 10k + 1 = 0 ) (5k ; 1)2 = 0

5 p

ILI

k1 2 =

; 25

= 1

(D = 0

k1 = k2)

Y = ex=5(C1 + C2x):

127

7: y00 + 6y0 + 13y = 0:

)

k2 + 6k + 13 = 0

)

y00 + 6y0 + 13y = 0

;3 p

= ;3 p

k1 2 =

9 ;

2 i

(D < 0

k1 2 = i)

= ;3 = 2

Y = e;3x(C1 cos 2x + C2 sin 2x):

8: y00 ; y0 + y = 0:

k2 ; k + 1 = 0

y00 ; y0

+ y = 0

)

3 i

k1 2 =

;

2 i

(D < 0

k1 2 = i)

= 1=2 = p3=2

Y = ex=2 0C1 cos p

+ C2 sin p

x1 :

9: y00 + 25y = 0:

y00 + 25y = 0

)

k2 + 25 = 0

)

k2 =

;25

) k1 2 = 5 i

(D < 0

k1 2

= i)

= 0 = 5

Y = C1 cos 5x + C1 sin 5x:

10: 2y00 + 5y = 0:

) k1 2 = q

2y00 + 5y = 0

)

2k2 + 5 = 0

)

k2 =

;5=2

5=2

= 0 = q

(D < 0

k1 2

= i)

5=2

Y = C1 cos q2

x + C1 sin q2

11: y00 ;

2y0 + y = 0

y(0) = 4

y0(0) = 2:

nAHODIM SNA^ALA OB]EE RE[ENIE

y00 ; 2y0 + y = 0 ) k2

; 2k + 1 = 0

)

(k ;

1)2x= 0 ) k1 2 = 1:

oB]EE RE[ENIE:

Y = e (C1 + C2x):

nAHODIM ZNA^ENIQ KONSTANT:

Y = ex(C1

+ C2 x)

)

y(0) = 4

)

Y 0 = e (C2x + C1 + C2)

< y0(0) = 2

4 = e0(C1 + C2

)

C1 = 4

)

C1 = 4

2 = e (C2 0 + C1 + C2)

C1 + C2 = 2

C2 = ;2:

oTWET: ^ASTNOE RE[ENIE

Y = e (4 ; 2x):

128

C1 C2

3.2. nEODNORODNYE LINEJNYE URAWNENIQ 2-GO PORQDKA S POSTOQNNYMI KO\FFICIENTAMI

rASSMOTRIM URAWNENIQ WIDA	ay00 + b y0 + c y = f(x)
GDE p q POSTOQNNYE ^ISLA, A f(x)	NEKOTORAQ NEPRERYWNAQ, ILI KU-
SO^NO { NEPRERYWNAQ FUNKCIQ.
uRAWNENIE ay00 + b y0 + c y = 0	S TEMI VE KO\FFICIENTAMI, NO

S PRAWOJ ^ASTX@ RAWNOJ NUL@, NAZYWAETSQ ODNORODNYM URAWNENIEM, SOOTWETSTWU@]IM DANNOMU NEODNORODNOMU.

tEOREMA O STRUKTURE OB]EGO RE[ENIQ NEODNORODNOGO LINEJ- NOGO URAWNENIQ.

eSLI Y ? { KAKOE-LIBO ^ASTNOE RE[ENIE DANNOGO NEODNORODNOGO URAW- NENIQ, A Y { OB]EE RE[ENIE, SOOTWETSTWU@]EGO ODNORODNOGO URAW- NENIQ, TO OB]EE RE[ENIE Y NEODNORODNOGO URAWNENIQ ESTX SUMMA

Y = Y + Y ?:

sU]ESTWU@T DWA OSNOWNYH METODA RE[ENIQ NEODNORODNYH URAWNE- NIJ: METOD lAGRANVA (METOD WARIACII PROIZWOLXNYH POSTOQNNYH), KOTORYJ QWLQETSQ UNIWERSALXNYM METODOM RE[ENIQ, I METOD NEOPRE- DELENNYH KO\FFICIENTOW, KOTORYJ PRIMENQETSQ TOLXKO W TEH SLU^A- QH, KOGDA PRAWAQ ^ASTX URAWNENIQ IMEET SPECIALXNYJ WID.

3.2.1.mETOD WARIACII PROIZWOLXNYH POSTOQNNYH

nASTOQ]IJ METOD, MOVET BYTX ISPOLXZOWAN DLQ OTYSKANIQ OB]EGO RE[ENIQ NEODNORODNOGO URAWNENIQ DLQ L@BOJ PRAWOJ ^ASTI URAWNE- NIQ. sU]NOSTX \TOGO METODA ZAKL@^AETSQ W SLEDU@]EM.

pUSTX TREBUETSQ NAJTI OB]EE RE[ENIE NEODNORODNOGO URAWNENIQ ay00 + by0 + c = f(x):

1) zAPI[EM SOOTWETSTWU@[EE DANNOMU ODNORODNOE URAWNENIE ay00 + by0 + cy = 0 PO KORNQM HARAKTERISTI^ESKOGO URAWNENIQ SOSTAW- LQEM EGO FUNDAMENTALXNU@ SISTEMU RE[ENIJ y1(x) y2(x), ZAPISY- WAEM OB]EE RE[ENIE ODNORODNOGO URAWNENIQ Y = C1y1 + C2y2:

2) rE[ENIE ISHODNOGO NEODNORODNOGO URAWNENIQ BUDEM ISKATX W TAKOM VE WIDE, NO PRI \TOM S^ITATX FUNKCIQMI OT x T.E. C1 = C1(x) C2 = C2(x): tOGDA RE[ENIE URAWNENIQ PRIMET WID

129

Y = C1(x)y1 + C2(x)y2: dLQ PROIZWODNYH POKA NEIZWESTNYH FUNKCIJ

C1(x) C2(x) IMEEM SISTEMU
		8	C0	(x) y1			+ C0	(x) y2 = 0	=	C0	(x) C0 (x):
			1	(x) y0			2	(x) y0 = f(x)	=	C0	(x) C0 (x):
			C0	(x) y0			+ C0	(x) y0 = f(x)	)	1	2
		<	1			1	2	2
	fUNKCII:			C1(x) C2(x) NAHODIM POSLEDU@]IM INTEGRIROWANIEM.
	8	C1(x) =			R	C1(x) dx + C1
	8	C2(x) =			R	C0 (x) dx		+ C2
	<				R	2
3)	:				R				PODSTAWLQEM W OB]EE RE[ENIE
3)	\|TI WYRAVENIQ DLQ C1(x) C2(x)								PODSTAWLQEM W OB]EE RE[ENIE

DANNOGO NEODNORODNOGO URAWNENIQ

Y = C1(x)y1 + C2(x)y2:

w DANNOM METODE TEOREMA O STRUKTURE OB]EGO RE[ENIQ NEODNOROD- NOGO URAWNENIQ NE ISPOLXZUETSQ, NO POLU^ENNOE RE[ENIE URAWNENIQ WSEGDA MOVNO PREDSTAWITX W WIDE SUMMY DWUH SLAGAEMYH, ODNO IZ KOTORYH ESTX OB]EE RE[ENIE ODNORODNOGO URAWNENIQ Y A WTOROE { ^ASTNOE RE[ENIE NEODNORODNOGO.

12: y00 ; y0 = e2x cos ex:

1) nAHODIM RE[ENIE ODNORODNOGO URAWNENIQ					) k1 = 0 k2 = 1:
y00 ; y0 = 0 ) k2	; k = 0		) k(k ; 1) = 0
x		Y	x	:
y1 = 1 y2 = e	)		= C1 + C2e
			C2 = C2(x) I OB]EE RE[ENIE ISHODNOGO
2) pOLAGAEM C1 = C1(x)

URAWNENIQ I]EM W WIDE Y = C1(x) + C2(x)ex: pROIZWODNYE FUNKCIJ C1(x) C2(x) DOLVNY UDOWLETWORQTX SISTEME

(x)y1

+ C0

(x)y2 = 0

(x) 1 + C0

(x) ex = 0

)

(x) ex = e2x cos ex

(x)y0

+ C0

(x)y0 = f(x)

(x)

0 + C0

WY^ITAEM IZ 1 ; GO

)

C:0

;

e2x cos ex:

)

URAWNENIQ 2 ; E

e2x cos ex

;

1-GO URAWNENIQ

= e

tOGDA IZ

; ex

;

cos e

iNTEGRIRUQ POLU^ENNYE RAWENSTWA,

OPREDELIM

C1(x) = ; Z e2x cos exdx=

; Z ex cos exd(ex) = ;ex sin ex ; cos ex +

C2(x) = Z ex cos exdx = Z

cos ex d(ex) = sin ex +

130

3) zAPI[EM OB]EE RE[ENIE ISHODNOGO URAWNENIQ

Y = C1 + C2ex + (;ex sin ex ; cos ex + ex sin ex) = C1 + C2ex ; cos ex:

oTMETIM, ^TO TEOREMA O STRUKTURE OB]EGO RE[ENIQ NEODNORODNO- GO URAWNENIQ WYPOLNQETSQ, TAK KAK PERWYE DWA SLAGAEMYH QWLQ@TSQ OB]IM RE[ENIEM ODNORODNOGO URAWNENIQ, A POSLEDNEE OBRAZUET ^AST- NOE RE[ENIE NEODNORODNOGO.

13: y00

+ y =

cos

1) nAHODIM RE[ENIE ODNORODNOGO URAWNENIQ

y00 + y = 0

)

k2 + 1 = 0

) k1 2 = i

y1 = cos x

y2 = sin x

)

= C1 cos x + C2 sin x:

2) pOLAGAEM C1 = C1(x)

C2 = C2(x)

I OB]EE RE[ENIE ISHODNOGO

URAWNENIQ I]EM W WIDE Y

= C1(x) cos x + C2(x) sin x: pROIZWODNYE

FUNKCIJ C1(x) C2(x) DOLVNY UDOWLETWORQTX SISTEME

C0 (x) cos x +

C0 (x) sin x = 0

(cos x)

C0 (x)(

sin x) + C0 (x) cos x =

(sin x)

;

pcos 2x

1-GO URAWNENIQ WTOROE, POLU^AEM

pOSLE UMNOVENIQ WY^ITAEM IZ

(cos2 x

+ sin2 x) =

;

sin x

)

;

sin x

pcos 2x

cos x

tOGDA IZ 1-GO URAWNENIQ WYRAVAEM

;

pcos 2x

sin x

iNTEGRIRUQ POLU^ENNYE RAWENSTWA, OPREDELIM

C1(x) =

(x) dx =

; Z

sin x dx

d(cos x)

pcos 2x

p2 cos2 x

;

ln j p2 cos x + p2 cos2 x ; 1j + C1 :

= p

C2(x) =

C0 (x) dx =

cos x dx

d(sin x)

pcos 2x

;

2 sin2 x

arcsin(p2 sin x) + C2:

= p

131

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1213 / 2113 14 15 16 17 18 19 20 21 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
20.12.2018280.58 Кб1Теория организации для ТПУ.doc
#
29.05.2015516.61 Кб25Теория экзамен.doc
#
02.05.2019210.94 Кб6теория_«SWOT» анализ_сам.работа.doc
#
12.11.201975.69 Mб0Теория_БЖД_практика.doc
#
30.07.2019118.89 Кб2ТерВер_шпора.docx
#
29.05.20152.54 Mб136Терёхина, Фикс - Высшая математика.pdf
#
22.11.20191.87 Mб7Терминология.doc
#
29.05.201537.45 Кб27Термодин 1-10.docx
#
29.05.201513.16 Кб24Термодин 21-30.docx
#
29.05.201523.55 Кб19Термодин 31-40.doc
#
29.05.2015194.56 Кб17Термодин 71-80.doc