Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Томский Политехнический Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Терёхина, Фикс - Высшая математика

.pdf

Скачиваний:

136

Добавлен:

29.05.2015

Размер:

2.54 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1314 / 2114 15 16 17 18 19 20 21 > Следующая >>>

3) zAPI[EM OB]EE RE[ENIE ISHODNOGO URAWNENIQ

Y =

C1(x) cos x + C2(x) sin x =

ln j p2 cos x + p2 cos2 x ; 1j + C1) cos x +

= (p

arcsin(p2 sin x) + C2! sin x:

rASKRYWAEM SKOBKI, PEREGRUPPIROWYWAEM SLAGAEMYE TAK, ^TOBY

WYDELITX OB]EE RE[ENIE ODNORODNOGO URAWNENIQ I ^ASTNOE RE[ENIE

NEODNORODNOGO:

yOB]EE = C1 cos x + C2 sin x+

ln j p2 cos x + p2 cos2 x ; 1j cos x + p

arcsin(p2 sin x) sin x:

14: y00

; 2y0 + y = xe4 :

1) nAHODIM RE[ENIE ODNORODNOGO URAWNENIQ

) k1 = k2 = 1:

y00 ;2y0 + y = 0 ) k2 ;2k +1 = 0 ) (k ;1)2 = 0

)

y1 = e y2 = x

Y = (C1 + C2 x)e

2) pOLAGAEM C1 = C1(x)

C2 = C2(x)

I OB]EE RE[ENIE ISHODNO-

GO URAWNENIQ I]EM W WIDE

Y = [C1(x) + C2(x) x]

pROIZWODNYE

e :

FUNKCIJ C1(x)

C2(x) DOLVNY UDOWLETWORQTX SISTEME

C0 (x)y1

C0 (x)y2 = 0

(x)ex

+ C0

(x) x ex = 0

+ x ex) = e

C0 (x)y0

= f

(x)

) >

(x)ex

+ C0

(x)(ex

:sOKRA]AEM ex ZATEM WY^ITAEM IZ>

2-GO URAWNENIQ

1-E I POLU^AEM

C0 =

iZ 1-GO URAWNENIQ C0

x =

;x3

;

iNTEGRIRUQ POLU^ENNYE RAWENSTWA, OPREDELIM

C1(x) =

(x) dx

+ C1:

; Z x3

2x2

C2(x) =

(x) dx

+ C2:

;3x3

zAPI[EM OB]EE RE[ENIE ISHODNOGO URAWNENIQ

Y = [C1(x) + C2(x) x] ex = "

;

! x# ex =

+ C1 +

2x2

3x3

= C1 + C2 x e

6x2

e :

132

		1
	15: rE[ITX ZADA^U kO[I
	y00 ; 3y0 + 2y =		y(0) = 1 + 8 ln 2 y0(0) = 14 ln 2:
	y00 ; 3y0 + 2y =	3 + e;x	y(0) = 1 + 8 ln 2 y0(0) = 14 ln 2:
	1) nAHODIM RE[ENIE ODNORODNOGO URAWNENIQ
y00	; 2xy0 + y = 02x ) k2 ; 3k + 2 = 0x			)	2xk1 = 1 k2 = 2:
y1	= e y2 = e	)	Y = C1e	+ C2e	:
		)

2) pOLAGAEM C1 = C1(x) C2 = C2(x) I OB]EE RE[ENIE ISHODNOGO URAWNENIQ I]EM W WIDE Y = C1(x)ex + C2(x)e2x:

pROIZWODNYE FUNKCIJ C1(x) C2(x) DOLVNY UDOWLETWORQTX SISTEME

= 0

C0 (x)ex

+ C0 (x)e2x = 0

C0 (x)y1

+ C0 (x)y2

) >

C0 (x)y0 +

C0 (x)y0 = f(x)

(x)ex

+ 2C0

(x)e2x =

3 + e x

1 1

C0 (x) + C0 (x)ex = 0

>C0 (x) =

;

C0 (x)ex

;

C0 (x) + 2C0 (x)ex =

) >

C0 (x)ex + 2C0 (x)ex =

3ex + 1

; 2

3ex + 1

iZ 2-GO URAWNENIQ POLU^AEM

(x) =

ex (3ex + 1)

iZ 1-GO URAWNENIQ

C0 (x) =

(x)ex =

;

;3ex

+ 1

iNTEGRIRUQ POLU^ENNYE RAWENSTWA, OPREDELIM

C1(x) =

(x) dx

(1 + 3ex) ; 3ex dx =

; Z

3ex + 1 ; Z

3ex + 1

3ex

= ; Z 1 ;

dx = ;x + ln j3ex + 1j + C1:

3ex + 1

C2(x) =

(x) dx

(1 + 3ex) ; 3ex dx =

Z ex (3ex + 1) Z

ex(3ex + 1)

= Z e;x

; 3

! dx = ;e;x ; 3x + 3 ln j3ex + 1j + C2:

3ex + 1

3) zAPI[EM OB]EE RE[ENIE ISHODNOGO URAWNENIQ

Y = C1(x) ex + C2(x) e2x =

x 2x x x x 2x x 2x x

= C1 e + C2 e + e ln j3e + 1j;xe + 3e ln j3e + 1j;3xe ;e -: pOSLE PREOBRAZOWANIJ POLU^IM OKON^ATELXNOE WYRAVENIE DLQ OB]E

GO RE[ENIQ

y = C1ex + C2 e2x + ex [(1 + 3ex) ln j1 + 3exj ; 1] :

133

nAHODIM ^ASTNOE RE[ENIE. dLQ \TOGO PREDWARITELXNO NAJDEM PROIZ- WODNU@ OT POLU^ENNOGO WYRAVENIQ DLQ OB]EGO RE[ENIQ

y0 = C1ex+2C2e2x+ex [(1 + 3ex) ln j1 + 3exj ; 1]+ex [3ex ln j1 + 3exj + 3ex] :

pODSTAWLQEM NA^ALXNYE USLOWIQ I POLU^AEM SISTEMU DLQ NAHOVDE- NIQ KONSTANT

8 y(0) = 1 + 8 ln 2

1 + 8 ln 2 = C1 + C2 + [4 ln 4 ; 1]

< y0(0) = 14 ln 2

) <

14 ln 2 =

+ 2

+ [4 ln 4 ; 1] + [3 ln 4 + 3] )

C1 + C2 = 2

C1 = 6

1 + 8 ln 2 = C1 + C2 + 8 ln 2 ; 1

) <

C2 = ;4:

14 ln 2 = C1 + 2C2

+ 14 ln 2 + 2:

C1 + 2C2 = ;2

~ASTNOE:

RE[ENIE

y^ASTN: = 6ex ; 4 e2x + ex [(1 + 3ex) ln j1 + 3exj ; 1] :

3.2.2. mETOD NEOPREDELENNYH KO\FFICIENTOW

mETOD WARIACII QWLQETSQ UNIWERSALXNYM METODOM RE[ENIQ NEOD- NORODNYH URAWNENIJ. nO W RQDE SLU^AEW PRI EGO REALIZACII PRIHO- DITSQ INTEGRIROWATX NE WSEGDA PROSTYE FUNKCII.

sU]ESTWUET BOLEE PROSTOJ PO ISPOLNENI@ METOD POISKA OB]EGO RE[ENIQ NEODNORODNOGO URAWNENIQ { METOD NEOPREDELENNYH KO\FFI- CIENTOW. nO ON MOVET BYTX ISPOLXZOWAN TOLXKO W TOM SLU^AE, ESLI PRAWAQ ^ASTX URAWNENIQ QWLQETSQ FUNKCIEJ "SPECIALXNOGO WIDA."

pUSTX TREBUETSQ NAJTI OB]EE RE[ENIE URAWNENIQ

	ay00 + b y0 + c y = f(x)
GDE f(x)	ESTX FUNKCIQ "SPECIALXNOGO WIDA"
	f(x) = e x [P(x) cos x + Q(x) sin x]
GDE P (x)	Q(x); MNOGO^LENY.

sHEMA NAHOVDENIQ OB]EGO RE[ENIQ

a) wYPISYWAEM ODNORODNOE URAWNENIE, SOOTWETSTWU@]EE DANNOMU NEODNORODNOMU: ay00 +by0 +cy = 0: sOSTAWLQEM HARAKTERISTI^ESKOE URAWNENIE ak2 + b k + c = 0: nAHODIM EGO KORNI I ZAPISYWAEM OB]EE RE[ENIE ODNORODNOGO URAWNENIQ Y = C1 y1(x) + C2 y2(x):

134

tEOREMA NALOVENIQ.

b) pRISTUPAEM K POISKU ^ASTNOGO RE[ENIQ Y ? NEODNORODNOGO URAW- NENIQ, ISHODQ IZ WIDA PRAWOJ ^ASTI f(x), DLQ \TOGO:

ZAPISYWAEM OB]IJ WID PRAWOJ ^ASTI (SM. NIVE PRIMERY W TABLI- CE). zAMETIM, ^TO "OB]IJ WID" KASAETSQ LI[X MNOGO^LENOW, WHODQ- ]IH W FUNKCI@ f(x). oB]IJ WID MNOGO^LENA I BUDET SODERVATX NEOPREDELENNYE KO\FFICIENTY, KOTORYE ZATEM NUVNO BUDET OPREDE- LQTX. pOKAZATELI \KSPONENT I ARGUMENTY TRIGONOMETRI^ESKIH FUNK- CIJ PRI \TOM OSTA@TSQ NEIZMENNYMI. oDNOWREMENNo OPREDELQEM HA- RAKTERNOE ^ISLO (W OB]EM SLU^AE - KOMPLEKSNOE), KOTOROE NUVNO SO- POSTAWITX S KORNQMI HARAKTERISTI^ESKOGO URAWNENIQ. pRI \TOM:

ESLI \TO ^ISLO NE QWLQETSQ KORNEM HARAKTERISTI^ESKOGO URAWNE- NIQ, TO WYRAVENIE DLQ Y ? POWTORQET OB]IJ WID PRAWOJ ^ASTI URAW- NENIQ,

ESLI \TO ^ISLO QWLQETSQ ODNOKRATNYM KORNEM HARAKTERISTI^ESKO- GO URAWNENIQ, TO \TO WYRAVENIE NEOBHODIMO UMNOVITX NA x

ESLI \TO ^ISLO QWLQETSQ DWUHKRATNYM KORNEM HARAKTERISTI^ESKO-

GO URAWNENIQ, TO WYRAVENIE OB]EGO WIDA NEOBHODIMO UMNOVITX NA x2:

c) COSTAWLENNOE WYRAVENIE DLQ Y ? PODSTAWLQEM W ISHODNOE NEOD- NORODNOE URAWNENIE I IZ POLU^ENNOGO RAWENSTWA LEWOJ I PRAWOJ EGO ^ASTEJ NAHODIM NEOPREDELENNYE KO\FFICIENTY. zAPISYWAEM Y ?,

A ZATEM I OB]EE RE[ENIE WSEGO URAWNENIQ SOGLASNO TEOREME O STRUK- TURE OB]EGO RE[ENIQ Y = Y + Y ?:

w RQDE SLU^AEW TAKVE POLEZNO POLXZOWATXSQ SLEDU@]EJ TEOREMOJ.

eSLI PRAWAQ ^ASTX URAWNENIQ PREDSTAW- LQET SOBOJ SUMMU DWUH FUNKCIJ "SPECIALXNOGO WIDA"

f(x) = f1(x) + f2(x) TO EGO ^ASTNOE RE[ENIE MOVET BYTX NAJ-

DENO KAK SUMMA ^ASTNYH RE[ENIJ		Y ? = Y ?	+ Y ?
		1	2
GDE Y ?	Y ? ESTX ^ASTNYE RE[ENIQ URAWNENIJ
1	2
	ay00 + b y0 + c y = f1(x)	ay00 + b y0 + c y = f2(x):

pRIWEDEM PRIMERY SOSTAWLENIQ OB]EGO WIDA ^ASTNOGO RE[ENIQ URAW- NENIQ PO WIDU PRAWOJ ^ASTI S U^ETOM KORNEJ HARAKTERISTI^ESKOGO URAWNENIQ (POKA BEZ NAHOVDENIQ NEOPREDELENNYH KO\FFICIENTOW).

135

pRAWAQ ^ASTX

oB]IJ WID

pROWERQEMOE

URAWNENIQ

PRAWOJ

^ASTI

^ISLO

f(x)

z = i

f(x) = Pn(x)

= 0 = 0

;1=2 5

z = 0

x (3x

;

x=5

A x + B

z = 0

)

z = 0

; 2) (1

; x + x

A x + B x + C

x3 (2 + x2

; 3x3)

A x3 + B x2 + C x + D

z = 0

2: f(x) = Pn(x) e x

6= 0 = 0

e;x 3e;x

e;x

z = =

;

(5x + 2) e

(Ax + B) e

z = = 2

x2 e;x=3 (2x + x2) e;x=3

(Ax2 + Bx + C) e;x=3

z = = ;1=3

3: f(x) = Pn(x) cos x+

= 0

6= 0

+Qm(x) sin x

5 cos 2x

sin 2x + 7 cos 2x

A cos 2x + B sin 2x

z = 2i

x sin x

(2x + 1) cos x

(Ax + B) cos x+

z = i

x cos x

;

2 sin x

+(Cx + D) sin x

x2 sin

(Ax2 + Bx + C) cos

z = i=2

+ x cos

+(Dx2 + Ex + F) sin

4: f(x) = e x(Pn(x) cos x+

6= 0 6= 0

+Qm(x) sin x)

e;x sin 2x

e;x(A cos 2x + B sin 2x)

= ;1

= 2

e;x (3 cos 2x

;

sin 2x)

z =

;

((Ax + B) cos 5x+

x e

cos 5x

= 3

= 5

(2x ; 7) e3x sin 5x

+(Cx + D) sin 5x)

z = 3 5i

136

21: y00 + 3y0 + 2y = 3x:	k2 + 3k + 2 = 0 ) k1 = ;1 k2 = ;2:
a) y00 + 3y0 + 2y = 0 )	k2 + 3k + 2 = 0 ) k1 = ;1 k2 = ;2:
		Y	= C1 e;x + C2 e;2x:

b) f(x) = 3x { MNOGO^LEN 1-OJ STEPENI (1-J SLU^AJ TABLICY). pROWERQEMOE W \TOM SLU^AE ^ISLO -"0" NE SOWPADAET S KORNQMI

HARAKTERISTI^ESKOGO URAWNENIQ, PO\TOMU ^ASTNOE RE[ENIE POWTORIT W OB]EM WIDE PRAWU@ ^ASTX URAWNENIQ, T.E. Y ? = Ax + B:

c)oB]EE RE[ENIE: Y = Y + Y ? = C1 e;x + C2 e;2x + (Ax + B):

16: y00 ; 4y0 = 2x2 ; 1:

a) y00 ; 4y0 = 0 )	k2 ; 4k = 0 )	k1 = 0 k2 = 4:
			Y	= C1 + C2 e4x:

b) f(x) = (2x2 ; 1) { MNOGO^LEN 2-OJ STEPENI (1-J SLU^AJ TABL.). pROWERQEMOE W \TOM SLU^AE ^ISLO "0" SOWPADAET S ODNIM IZ KORNEJ HARAKTERISTI^ESKOGO URAWNENIQ, PO\TOMU ^ASTNOE RE[ENIE POWTORIT W OB]EM WIDE PRAWU@ ^ASTX URAWNENIQ I DOPOLNITELXNO UMNOVAETSQ

NA x1, T.E. Y ? = (Ax2 + Bx + C				)	x: ?	4x	2

c)	oB]EE RE[ENIE	:	Y = Y +Y = C1			+C2 e +(Ax +Bx+C) x:
	17: y00 + y = 3ex:
	a) y00 + y = 0 ) k2 + 1 = 0 ) k1 2 = i:
						Y = C1	cos x + C2 sin x:
	b) f(x) = 3 ex {		(2-J SLU^AJ TABLICY)


pROWERQEMOE W \TOM SLU^AE ^ISLO z = = 1 NE SOWPADAET S KORNQMI
HARAKTERISTI^ESKOGO URAWNENIQ, PO\TOMU ^ASTNOE RE[ENIE POWTORIT
W OB]EM WIDE PRAWU@ ^ASTX URAWNENIQ T.E. Y ? = A ex:
c) oB]EE RE[ENIE:		Y = Y + Y ? = C1 cos x + C2 sin x + A ex:
18: y00 ; 4y = (5x + 1) e;2x:
a) y00 ; 4y = 0 )	k2 ; 4 = 0 ) k1 = ;2 k2 = 2:
			Y	= C1 e2x + C2 e;2x:

b) f(x) = (5x + 1) e;2x { (2-J SLU^AJ TABLICY).

pROWERQEMOE W \TOM SLU^AE ^ISLO = ;2 SOWPADAET S ODNIM IZ KOR- NEJ HARAKTERISTI^ESKOGO URAWNENIQ, PO\TOMU ^ASTNOE RE[ENIE, PO- WTORIW W OB]EM WIDE PRAWU@ ^ASTX URAWNENIQ, DOPOLNITELXNO UMNO-

137

b) f(x) = x2 e;3x

	x	,	.	. Y		= (Ax	+ B) e;		x:
VAETSQ NA 1			T E		?			2x
	c)	YOB]EE = Y + Y ? = C1 e2x + C2 e;2x + (Ax + B) x e;2x:
	19: y00 + 6y0 + 9y = x2 e;3x:
	a) y00 + 6y0	+ 9y = 0 )					k2 + 6k + 9 = 0 ) k1 = k2 = ;3:
										Y	= (C1 + C2 x) e;3x:

{ (2-J SLU^AJ TABLICY).

pROWERQEMOE W \TOM SLU^AE ^ISLO = ;3 SOWPADAET S OBOIMI KOR- NQMI HARAKTERISTI^ESKOGO URAWNENIQ, PO\TOMU ^ASTNOE RE[ENIE, PO- WTORIW W OB]EM WIDE PRAWU@ ^ASTX URAWNENIQ, DOPOLNITELXNO UMNO-

x2:

c)YOB]EE = Y + Y ? = (C1 + C2 x) e;3x + (Ax2 + Bx + C) e;3x x2:

20: y00 + 2y0 = 3 cos 2x:

=0 ) = 0 )VAETSQ NA x2, T.E. Y ? = (Ax2 + Bx + C) e;3x = 0 k2 = ;2: 2xa) y00 + 2y0 k1k2 + 2k

Y = C1 + C2 e; :

b) f(x) = 3 cos 2x { (3-J SLU^AJ TABLICY).

pROWERQEMOE W \TOM SLU^AE ^ISLO i = 2i NE SOWPADAET S KORNQMI HARAKTERISTI^ESKOGO URAWNENIQ, PO\TOMU ^ASTNOE RE[ENIE POWTORIT

WOB]EM WIDE PRAWU@ ^ASTX URAWNENIQ, T.E. Y ? = A cos 2x + B sin 2x:

c)YOB]EE = Y + Y ? = C1 + C2 e;2x + A cos 2x + B sin 2x:

21: y00 + 16y = 2 sin 4x:
a) y00 + 16y = 0 ) k2 + 16 = 0 )	k1	2 = 4i:

		Y = C1 cos 4x + C2 sin 4x:
b) f(x) = 2 sin 4x { (3-J SLU^AJ TABLICY).

pROWERQEMOE W \TOM SLU^AE ^ISLO i = 4i SOWPADAET S KORNQMI
HARAKTERISTI^ESKOGO URAWNENIQ, PO\TOMU ^ASTNOE RE[ENIE, POWTORIW
W OB]EM WIDE PRAWU@ ^ASTX URAWNENIQ, DOPOLNITELXNO UMNOVAETSQ
NA x, T.E. Y ? = (A cos 4x + B sin 4x) x:
YOB]EE = Y + Y ? = C1 cos 4x + C2 sin 4x + (A cos 4x + B sin 4x) x:
22: y00 + y0 ; 2y = x sin x:
a) y00 + y0 ; 2y = 0 ) k2 + k ; 2 = 0 ) k1 = 1 k2x = ;2:	2x	:
Y = C1 e + C2 e;

b) f(x) = x sin x { (3-J SLU^AJ TABLICY).

138

pROWERQEMOE W \TOM SLU^AE ^ISLO i = 1 i NE SOWPADAET S KORNQMI HARAKTERISTI^ESKOGO URAWNENIQ, PO\TOMU ^ASTNOE RE[ENIE POWTORIT

W OB]EM WIDE PRAWU@ ^ASTX URAWNENIQ, T.E.

Y ? = (Ax + B) cos x + (Cx + D) sin x:

YOB]EE = Y + Y ? = C1 ex + C2 e;2x + (Ax + B) cos x + (Cx + D) sin x:

23: y00 + 4y = e3x cos 2x:

a) y00 + 4y = 0 ) k2 + 4 = 0 ) k1 2 = 2i: )

Y = C1 cos 2x + C2 sin 2x: b) f(x) = e3x cos 2x { (4-J SLU^AJ TABLICY).

pROWERQEMOE W \TOM SLU^AE ^ISLO i = 3 2 i NE SOWPADAET S KORNQMI HARAKTERISTI^ESKOGO URAWNENIQ, PO\TOMU ^ASTNOE RE[ENIE

POWTORIT W OB]EM WIDE PRAWU@ ^ASTX URAWNENIQ,

Y ? = e3x(A cos 2x + B sin 2x):

YOB]EE = Y + Y ? = C1 cos 2x + C2 sin 2x + e3x(A cos 2x + B sin 2x):

24: y00 + 4y0 + 5y = e;2x sin x:

a) y00 + 4y0 + 5y = 0 ) k2 + 4k + 5 = 0 ) k1 2 = ;2 i:

Y = e;2x(C1 cos x + C2 sin x): b) f(x) = e;2x sin x { (4-J SLU^AJ TABLICY).

pROWERQEMOE W \TOM SLU^AE ^ISLO i = ;2 i SOWPADAET S KORNQMI HARAKTERISTI^ESKOGO URAWNENIQ, PO\TOMU ^ASTNOE RE[ENIE POWTORIT

W OB]EM WIDE PRAWU@ ^ASTX URAWNENIQ I DOPOLNITELXNO UMNOVAETSQ

NA x, T.E. Y ? = e;2x(A cos x + B sin x) x:

YOB]EE = Y + Y ? = e;2x(C1 cos x + C2 sin x) + e;2x(A cos x + B sin x) x:

w SLEDU@]IH PRIMERAH POKAZANY PRIEMY NAHOVDENIQ NEOPREDELEN-

NYH KO\FFICIENTOW A B		C D :::.
	25: y00 + 4y0 + 4y = 5x + 3:		)
	a) y00 + 4y0 + 4y = 0 )	k2 + 4k + 4 = 0	)
	(k + 2)2 = 0 ) k1 = k2	= ;2 )			+ C2 x)e;2x:
	(k + 2)2 = 0 ) k1 = k2	= ;2 )		Y = (C1	+ C2 x)e;2x:
	b) f(x) = 5x + 3:

pROWERQEMOE W \TOM SLU^AE ^ISLO "0" NE SOWPADAET NI S ODNIM KORNEM HARAKTERISTI^ESKOGO URAWNENIQ, PO\TOMU ^ASTNOE RE[ENIE POWTORIT

139

W OB]EM WIDE PRAWU@ ^ASTX URAWNENIQ, T.E. Y ? = Ax + B:

dLQ NAHOVDENIQ POKA NEOPREDELENNYH KO\FFICIENTOW A B PODSTA- WIM \TO RE[ENIE Y ? W ISHODNOE URAWNENIE WMESTO y, NAJDQ PREDWA-

RITELXNO (Y )0 = A (Y )00 = 0: tOGDA
y00 + 4y0 + 4y = 5x + 3 ) 4A + 4(Ax + B) = 5x + 3	)
4Ax + (4A + 4B) = 5x + 3:

pRIRAWNIWAQ KOFFICIENTY PRI ODINAKOWYH STEPENQH x W LEWOJ I PRAWOJ ^ASTQH RAWENSTWA, IMEEM

PRI

x1 :

4A = 5

)

A = 5=4

PRI

x :

4A + 4B = 3

B =

;

1=2:

zAPISYWAEM ^ASTNOE RE[ENIE Y ? =

54x:; 21:

c) oB]EE RE[ENIE NEODNORODNOGO URAWNENIQ:

Y = Y + Y ? = (C1 + C2 x)e;2x +

; 2

26: y00

; 3y0 = x2 ; x:

a) y00 ; 3y0 = 0 ) k2 ; 3k = 0

)

k(k ; 3) = 0 )

k1 = 0 k2 = 3:

= C1 + C2e3x:

b) pRAWAQ ^ASTX URAWNENIQ ESTX MNOGO^LEN 2-OJ STEPENI, ^TO SO- OTWETSTWUET 1-MU SLU^A@ PRIWEDENNOJ TABLICY, I ^ISLO z = 0 cOW- PADAET S ODNIM IZ KORNEJ HARAKTERISTI^ESKOGO URAWNENIQ, PO\TOMU WYRAVENIE DLQ Y POWTORIT OB]IJ WID PRAWOJ ^ASTI I BUDET SODER- VATX MNOVITELX x

Y ? = x (Ax2 + B x + C) = A x3 + B x2 + C x:

pODSTAWIM \TO WYRAVENIE W ISHODNOE URAWNENIE, NAJDQ PREDWARI- TELXNO

(Y )0 = 3Ax2 + 2Bx + C (Y )00 = 6Ax + 2B: iMEEM RAWENSTWO DWUH MNOGO^LENOW

6Ax + 2B ; 3(3Ax2 + 2Bx + C) = x2 ; x:

pRIRAWNIWAEM KO\FFICIENTY PRI ODINAKOWYH STEPENQH x W LEWOJ I PRAWOJ ^ASTQH RAWENSTWA

PRI x2	1
PRI x2	: ;9A = 1 A = ;9

140

PRI x1

6A ;

6B = ;1 B =

PRI x0

2B ; 3C = 0 C =

! :

~ASTNOE RE[ENIE

Y = x

; 9 x2

oB]EE RE[ENIE NEODNORODNOGO URAWNENIQ

Y = Y + Y ? = C1 + C2e3x + x

x ; 9 x2! :

27: y00

; 2y0 + y = (2x + 3) ex:

)

a) y00 ; 2y0 + y = 0 ) k2 ; 2k + 1 = 0

(k ; 1)2 = 0 ) k1 = k2 = 1:

= (C1 + C2 x) ex:

b) nAHODIM ^ASTNOE RE[ENIE Y .

pRAWAQ ^ASTX f(x) = (2x + 3) ex = P(x) e x					ESTX PROIZWEDENIE PO-
KAZATELXNOJ FUNKCII NA MNOGO^LEN 1-OJ STEPENI, ^TO SOOTWETSTWUET
2-OMU SLU^A@ PRIWEDENNOJ TABLICY, I ^ISLO z = = 1 QWLQETSQ
DWUHKRATNYM KORNEM HARAKTERISTI^ESKOGO URAWNENIQ, PO\TOMU WY-
RAVENIE DLQ Y POWTORIT OB]IJ WID PRAWOJ ^ASTI I BUDET SODERVATX
MNOVITELX x2
Y = x2 (Ax + B)		ex = (Ax3 + Bx2) ex:
pODSTAWIM \TO WYRAVENIE W ISHODNOE URAWNENIE, NAJDQ PREDWARI-
TELXNO
(Y )0 = (Ax3 + (3A + B)x2 + 2Bx) ex
(Y )00 = (Ax3 + (6A + B)x2 + (6A + 4B)x + 2B) ex:
pODSTAWIM Y	(Y )0	(Y )00	W URAWNENIE I SOKRATIM NA ex.
[Ax3 + (6A + B)x2 + (6A + 4B)x + 2B] ; 2[Ax3 + (3A + B)x2 + 2Bx] +
+[Ax3 + Bx2] = (2x + 3)
RASKRYWAEM SKOBKI I PRIWODIM PODOBNYE				6Ax + 2B = 2x + 3:
oTKUDA IMEEM	6A = 2 A =		1 2B = 3	B	=	3:
			3		1	2	3	! :
zAPISYWAEM ^ASTNOE RE[ENIE			Y = x2	ex	3 x +		2	! :
c) oB]EE RE[ENIE NEODNORODNOGO URAWNENIQ									3	1
								ex	3	1
			Y = (C1 + C2 x) ex			+ x2		ex	2 +	3 x! :

141

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1314 / 2114 15 16 17 18 19 20 21 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
20.12.2018280.58 Кб1Теория организации для ТПУ.doc
#
29.05.2015516.61 Кб25Теория экзамен.doc
#
02.05.2019210.94 Кб5теория_«SWOT» анализ_сам.работа.doc
#
12.11.201975.69 Mб0Теория_БЖД_практика.doc
#
30.07.2019118.89 Кб2ТерВер_шпора.docx
#
29.05.20152.54 Mб136Терёхина, Фикс - Высшая математика.pdf
#
22.11.20191.87 Mб7Терминология.doc
#
29.05.201537.45 Кб27Термодин 1-10.docx
#
29.05.201513.16 Кб24Термодин 21-30.docx
#
29.05.201523.55 Кб19Термодин 31-40.doc
#
29.05.2015194.56 Кб17Термодин 71-80.doc