Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Томский Политехнический Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Терёхина, Фикс - Высшая математика

.pdf

Скачиваний:

136

Добавлен:

29.05.2015

Размер:

2.54 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1819 / 2119 20 21 > Следующая >>>

SUMMY ISHODNOGO RQDA

1 b		b	1			b
S (x) = n=1 aZ un(x)dx	=	Za	0n=1 un(x)1		dx =	Za	S(x) dx:
X			@ X	A

pO-PROSTU GOWORQ: PRAWILXNO SHODQ]IJSQ RQD MOVNO PO^LENNO DIF-

FERENCIROWATX I INTEGRIROWATX W INTERWALE SHODIMOSTI. pRI \TOM POLU^A@]IESQ W REZULXTATE \TIH OPERACIJ RQDY TAKVE PRAWILXNO

SHODQTSQ W TOJ VE OBLASTI SOOTWETSTWENNO K PROIZWODNOJ I PERWOOB-

RAZNOJ SUMMY ISHODNOGO RQDA. dLQ PRIMERA RASSMOTRIM RQD

1 (;1)n+1 xn = 1 ; x + x2 ; x3 + : : : + (;1)n+1xn + : : ::

n=1

jxj < 1 TAK KAK W KAVDOJ TO^-

|TOT RQD RAWNOMERNO SHODITSQ DLQ

KE \TOGO INTERWALA RQD BUDET QWLQTXSQ SHODQ]IMSQ GEOMETRI^ESKIM

RQDOM

1 qn SO ZNAMENATELEM jqj < 1:

n=1

sUMMU \TOGO RQDA MOVNO NAJTI KAK SUMMU BESKONE^NO UBYWA@]EJ

GEOMETRI^ESKOJ PROGRESSII SO ZNAMENATELEM q =

S(x) =

; q

1 + x

1) pRODIFFERENCIRUEM DANNYJ RQD PO^LENNO

(;1)

n+1

+ : : : + (;1)

n+1

nX=1

x 0 = ;1 + 2x ; 3x

nx ;

+ : : :

eGO SUMMA S (x)

BUDET RAWNA PROIZWODNOJ OT SUMMY ISHODNOGO RQDA

S (x) = S0(x) =

= ;

1 + x

(1 + x)2

2) pROINTEGRIRUEM ISHODNYJ RQD PO^LENNO

n+1

xn+1

n=1 Z

(;1)

dx = x ;

2 +

3 ; : : : + (;1)

n + 1

+ : : :

eGO SUMMA S (x)

BUDET RAWNA INTEGRALU OT SUMMY ISHODNOGO RQDA

S (x) = Z S(x) dx = Z

dx = ln j1 + xj:

1 + x

2.2. sTEPENNYE RQDY. iNTERWAL SHODIMOSTI

o P R E D E L E N I E.

fUNKCIONALXNYJ RQD WIDA

a0 + a1x + a2x2 + : : : + anxn + : : :

GDE a1 a2 : : : an; DEJSTWITELXNYE ^ISLA, NAZYWAETSQ STEPENNYM RQDOM.

dLQ STEPENNYH RQDOW SPRAWEDLIWA SLEDU@]AQ TEOREMA.

174

(R = 1).

tEOREMA aBELQ. eSLI STEPENNOJ RQD SHODITSQ PRI x = x1 TO ON SHODITSQ DLQ WSEH jxj < jx1j.

eSLI STEPENNOJ RQD RASHODITSQ PRI x = x2 TO ON RASHODITSQ DLQ WSEH jxj > jx2j.

iZ TEOREMY aBELQ SLEDUET, ^TO SU]ESTWUET TAKOE ZNA^ENIE

x = R > 0, ^TO DLQ jxj < R STEPENNOJ RQD SHODITSQ, A DLQ jxj > R RASHODITSQ. |TO ^ISLO R NAZYWAETSQ RADIUSOM SHODIMOSTI STEPEN- NOGO RQDA. iNTERWAL (;R R) NAZYWAETSQ INTERWALOM SHODIMoSTI. rQD WIDA

X1 an(x;x0)n = a0 + a1(x;x0) + a2(x ;x0)2 + : : : + an(x ;x0)n + : : :

n=1

NAZYWAETSQ STEPENNYM RQDOM OB]EGO WIDA. dLQ TAKOGO RQDA INTERWAL SHODIMOSTI OPREDELQETSQ NERAWENSTWOM jx ; x0j < R, T.E. INTERWAL

SHODIMOSTI: (;R + x0 R + x0).

rADIUS SHODIMOSTI MOVET BYTX RAWEN 0, I TOGDA RQD SHODITSQ TOLXKO W ODNOJ TO^KE, NO MOVET BYTX I NEOGRANI^ENNO BOLX[IM

w POSLEDNEM SLU^AE RQD SHODITSQ NA WSEJ ^ISLOWOJ OSI.

dLQ NAHOVDENIQ INTERWALA SHODIMOSTI STEPENNOGO RQDA UDOBNO POLXZOWATXSQ DOSTATO^NYMI PRIZNAKAMI SHODIMOSTI ZNAKOPOLOVI- TELXNYH RQDOW I, W ^ASTNOSTI, PRIZNAKAMI dALAMBERA I kO[I. w SOOTWETSTWIE S \TIMI PRIZNAKAMI STEPENNOJ RQD SHODITSQ, ESLI

	un+1
lim	un+1	< 1 ILI	lim n	un	j	< 1:
n!1	un		n!1 qj		j
\|TI USLOWIQ I PRIMENQ@TSQ DLQ NAHOVDENIQ INTERWALA SHODIMOSTI
STEPENNOGO RQDA.

oTMETIM, ^TO NAHOVENIE INTERWALA SHODIMOSTI TAKVE WKL@^AET I PROWERKU SHODIMOSTI RQDA NA KONCAH POLU^ENNOGO INTERWALA.

1 4n xn

1) iSPOLXZUEM PRIZNAK dALAMBERA.

n=1

sOSTAWIM PREDEL OTNO[ENIQ POSLEDU@]EGO ^LENA RQDA K PREDYDU-

]EMU I

POTREBUEM, ^TOBY ON BYL PO MODUL@ MENX[E EDINICY.

lim jun+1j = lim

4n+1 xn+1

lim

= 4

(n + 1)3 4nxn

(n + 1)3

n!1

junj

n!1

j n!1

tEPERX

POTREBUEM, ^TOBY 4

< 1 OTKUDA

x <

1. pOLU^AEM IN-

TERWAL ZNA^ENIJ x W KOTOROM RQD SHODITSQ ;1=4 < x < 1=4:

175

x 2 (;3 7):

1=4:

2) pROWERQEM SHODIMOSTX RQDA NA KONCAH INTERWALA. dLQ \TOGO

PODSTAWLQEM ZNA^ENIQ x = 1 W ISHODNYJ RQD, POLU^AEM ^ISLOWOJ

RQD I ISSLEDUEM EGO SHODIMOSTX ODNIM IZ PRIZNAKOW SHODIMOSTI ^I

4 -

SLOWYH RQDOW.

1 4n xn

1 4n (1=4)n

1 1

a) pRI x =

IMEEM RQD

n=1

rQD SHODITSQ KAK OBOB]ENNYJ GARMONI^ESKIJ T.K. k

= 3 > 1:

b) pRI x =

IMEEM RQD

1 4n

xn=

1 4n (;1=4)n

1 (;1)n

n=1

rQD SHODITSQ ABSOL@TNO, TAK KAK SHODITSQ SOOTWETSTWU@]IJ ZNAKO-

POLOVITELXNYJ RQD (SM. P. A).

iTAK, OBA KONCA INTERWALA PRINADLEVAT INTERWALU SHODIMOSTI, T.E. RQD SHODITSQ W ZAKRYTOM INTERWALE ;1=4 x

1 (

;

1)n (x ; 2)n :

iSPOLXZUEM PRIZNAK kO[I.

n=1

zAPI[EM PREDEL KORNQ n-OJ STEPENI IZ OB]EGO ^LENA RQDA I POTRE-

BUEM, ^TOBY ON PO MODUL@ BYL MENX[E EDINICY.

2)n

(

;

lim v

;

n!1 u

t R E B U E M, ^TOBY j

;

< 1

;

5 < x

;

2 < 5:

) j

pOLU^ILI INTERWAL ZNA^ENIJ x DLQ KOTORYH ISHODNYJ RQD QWLQETSQ

SHODQ]IMSQ ;3 < x < 7:

2) pROWERQEM SHODIMOSTX RQDA NA KONCAH INTERWALA. dLQ \TOGO

PODSTAWLQEM ZNA^ENIQ x = ;3 I x = 7 W ISHODNYJ RQD, POLU^AEM ^ISLOWOJ RQD I ISSLEDUEM EGO SHODIMOSTX ODNIM IZ PRIZNAKOW SHODIMOSTI ^ISLOWYH RQDOW.

pRI x = 7

IMEEM RQD 1 (

;

1)n (x ; 2)n

= 1 (;1)n

5n = 1 (

;

1)n:

n=1

rQD RASHODITSQ,

TAK KAK PREDEL EGO OB]EGO ^LENA NE RAWEN NUL@.

pRI x =

;

IMEEM RQD

1 (

;

1)n (x ; 2)n =

1 (;1)n (;5)n

n=1

1 (;1)2n = 1

1: rQD RASHODITSQ, TAK KAK NE WYPOLNQETSQ NEOBHO-

n=1

DIMYJ PRIZNAK SHODIMOSTI. iTAK, KONCY INTERWALA NE PRINADLEVAT INTERWALU SHODIMOSTI I RQD SHODITSQ PRI

176

1 8n xn

iSPOLXZUEM PRIZNAK dALAMBERA.

n=1

sOSTAWIM PREDEL OTNO[ENIQ POSLEDU@]EGO ^LENA RQDA K PREDYDU-

]EMU I

POTREBUEM, ^TOBY ON BYL PO MODUL@ MENX[E EDINICY.

lim jun+1j = lim

8n+1 xn+1

lim

= 8

x :

(n + 1) 8nxn

n!1

junj

n!1

j n!1

(n + 1)

j j

tEPERX

POTREBUEM, ^TOBY

< 1

OTKUDA

x <

1. pOLU^AEM IN-

TERWAL ZNA^ENIJ x W KOTOROM RQD SHODITSQ

;1=8 < x < 1=8:

2) pROWERQEM SHODIMOSTX RQDA NA KONCAH INTERWALA. dLQ \TOGO POD-

STAWLQEM ZNA^ENIQ x =

W ISHODNYJ RQD, POLU^AEM ^ISLOWOJ RQD

I ISSLEDUEM EGO SHODIMOSTX

1 8n xn

1 8n (1=8)n

a) pRI x =

IMEEM RQD

n=1

rQD RASHODITSQ KAK GARMONI^ESKIJ.

b) pRI x =

1 IMEEM RQD

1 8n

xn= 1 8n (;1=4)n

= 1 (;1)n :

n=1

rQD ZNAKO^EREDU@]IJSQ, SHODITSQ PO PRIZNAKU lEJBNICA, TAK KAK

lim

= lim 1

= 0: sOOTWETSTWU@]IJ ZNAKOPOLOVITELXNYJ RQD

n!1 j

n!1 n

QWLQETSQ RASHODQ]IMSQ GARMONI^ESKIM. hOTQ SHODIMOSTX W DANNOJ

TO^KE QWLQETSQ USLOWNOJ, ZNA^ENIE

x = ;1=8

WKL@^AETSQ W INTER-

WAL SHODIMOSTI. iTAK, RQD SHODITSQ W INTERWALE

;1=8 x < 1=8:

1 n (x2

; 2x)n :

wOSPOLXZUEMSQ PRIZNAKOM dALAMBERA.

n=1

(n + 1) (x2

; 2x)n+1

x2 ; 2x

lim

un+1 = lim

n (x2

2x)n

3n+1

;

< 1

t R E B U E M, ^TOBY

;

pOLU^ILI DWA

NERAWENSTWA DLQ NAHOVDENIQ INTERWALA ZNA^ENIJ x DLQ KOTORYH IS-
		;3 < x2		; 2x < 3: oTKUDA IMEEM:
HODNYJ RQD QWLQETSQ SHODQ]IMSQ
2	I x	2	; 2x ;	3 < 0:
x ; 2x + 3 > 0
pERWOE NERAWENSTWO SPRAWEDLIWO DLQ L@BYH ZNA^ENIJ x TAK KAK DIS-
KRIMINANT KWADRATNOGO TREH^LENA OTRICATELXNYJ.

nAHODIM KORNI WTOROGO KWADRATNOGO TREH^LENA I ZAPISYWAEM NE- RAWENSTWO W WIDE (x ; 3)(x + 1) < 0: rE[ENIE NERAWENSTWA NAHODIM METODOM INTERWALOW. pOLU^AEM INTERWAL SHODIMOSTI ;1 < x < 3:

177

2) pROWERQEM SHODIMOSTX RQDA NA KONCAH INTERWALA.
a)	pRI x = 3		IMEEM RQD 1 n (x2 ; 2x)n =				1 n 3n = 1
			n=1	3n			n=1	3n	n=1
			X				X		X
b)	pRI x =	;	1 IMEEM TOT VE RQD	1 n		(x2 ; 2x)n= 1			n 3n
		;		n=1		3n		n=1	3n
rQD 1 n RASHODITSQ, TAK KAK lim				X				X
rQD 1 n RASHODITSQ, TAK KAK lim				un	6	=:0
	n=1		n!1		6
	X
	wYWOD: RQD SHODITSQ W OTKRYTOM INTERWALE (;1 3):

=X1 n:

n=1

(n + 1) (3x2

+ 4x + 2)n :

wOSPOLXZUEMSQ RADIKALXNYM

n=1

PRIZNAKOM kO[I.

lim

n!1 u

(n + 1) (3x2 + 4x + 2)n

(3x2 + 4x + 2)

t R E B U E M, ^TOBY

< 1

j3x + 4x + 2j > 1:

(3x2 + 4x + 2)

+ 4x + 2 < ;1.

rE[AEM DWA NERAWENSTWA:

3x + 4x + 2 > 1

rE[ENIEM NERAWENSTWA

3x2 + 4x + 2 > 1

3x2 + 4x + 1 > 0

(3x + 1)(x + 1) > 0

BUDUT MNOVESTWA

x < ;1

I x >

;1=3.

nERAWENSTWO 3x +4x+2 <

3x +4x+3 < 0 RE[ENIJ NE IMEET,

TAK KAK DISKRIMINANT KWADRATNOGO TREH^LENA OTRICATELXNYJ.

iTAK, RQD SHODITSQ DLQ

x < ;1

x > ;1=3.

2) pROWERQEM SHODIMOSTX RQDA NA KONCAH INTERWALOW

pRI x = ;1 IMEEM RASHODQ]IJSQ RQD 1

+ 1)

= 1 1:

n=1

pRI x = ;1=3 IMEEM RASHODQ]IJSQ RQD

(n + 1) = 1 1:

n=1

wYWOD: ISHODNYJ RQD SHODITSQ DLQ

x 2 (;1 ;1)U(;1=3 +1):

(;1)n

wOSPOLXZUEMSQ PRIZNAKOM kO[I.

n=1

(x + 2)2n

(

1)n

lim

;

(x + 2)2

n!1 u (x + 2)2n

t R E B U E M, ^TOBY

jx + 2j > 1:

(x + 2)2

;

rE[AEM DWA NERAWENSTWA: x + 2

> 1

x + 2 <

1. rE[ENIEM \TIH

178

NERAWENSTW BUDUT MNOVESTWA

x < ;3 I

x >

;1.

2) pROWERQEM SHODIMOSTX RQDA NA KONCAH INTERWALOW

pRI x = ;3 IMEEM RASHODQ]IJSQ RQD

((;1)1)2nn

1 (;1)n:

n=1

;

n=1

pRI x =

;

1 IMEEM RASHODQ]IJSQ RQD

(;1)

1 (

;

1)n:

n=1

(1)2n

n=1

wYWOD: ISHODNYJ RQD SHODITSQ DLQ

x 2 (;1 ;3)U(;1 +1):

1 3n xn

wOSPOLXZUEMSQ PRIZNAKOM dALAMBERA.

n=1

lim

3n+1 xn+1

= lim

= 3x

lim

= 0 < 1:

3n xn

n!1

(n + 1)!

n!1 n + 1

j n!1 n + 1

pREDEL RAWEN NUL@ DLQ L@BYH ZNA^ENIJ x, PO\TOMU RQD SHODITSQ NA

WSEJ ^ISLOWOJ PRQMOJ x 2 (;1 +1).

x2n+1

wOSPOLXZUEMSQ PRIZNAKOM dALAMBERA.

n=1

n + 3

2n+3

n + 3

lim

(n + 1)! x

= x2

lim (n + 1) =

> 1:

pn + 4

n! x2n+1

n!1

rQD RASHODITSQ NA WSEJ ^ISLOWOJ OSI, KROME ODNOJ TO^KI x = 0:

1 n! xn

wOSPOLXZUEMSQ PRIZNAKOM dALAMBERA.

n=1

nn .

lim

(n + 1)! xn+1

= lim

(n + 1) x nn

= lim

x nn

(n + 1)n+1 n! xn

(n + 1)n+1

(n + 1)n

n!1

= jxj nlim!1

n + 1

= jxj e;

jxj

< e =)

;e < x < e:

t R E B U E M,

^TOBY

jxj e;1 < 1

2) pROWERQEM SHODIMOSTX RQDA NA KONCAH INTERWALA.

a) pRI x = e IMEEM RQD

1 n!

n=1

iSPOLXZUQ PRIBLIVENNU@ FORMULU sTIRLINGA DLQ FAKTORIALOW BOLX-

ne !n

[IH ^ISEL n!

2 n

ZAPI[EM \KWIWALENTNYJ RQD

ne !n

1 n! en

2 n

= 1 p

2 n:

n=1

rQD RASHODITSQ, TAK KAK EGO OB]IJ ^LEN NE STREMITSQ K 0.

179

aNALOGI^NYJ WYWOD DELAEM DLQ DRUGOGO KONCA PROMEVUTKA x = ;e:

rQD SHODITSQ W OTKRYTOM INTERWALE ;e < x < e:

10:

2 ! :

wOSPOLXZUEMSQ PRIZNAKOM kO[I.

n=1

2 !

= ln

2 !

ln 2 ! < 1:

nlim!1 v ln

pOLU^ILI INTERWAL SHODIMOSTI RQDA

;1 < ln 2

! < 1 =)

e;1 < 2

< e =)

2e;1 < x < 2e:

2) pROWERQEM SHODIMOSTX RQDA NA KONCAH INTERWALA.

pRI x = 2e

IMEEM RASHODQ]IJSQ RQD

2 ! =

1 :

n=1

pRI x = 2e;1 RQD TOVE RASHODITSQ 1 lnn 02e2;1 1

1 (;1)n:

n=1

rQD SHODITSQ W OTKRYTOM INTERWALE 2e;

< x < 2e:

11:

1 e;2nx:

iSPOLXZUEM PRIZNAK kO[I

n=1

e;2x

= e;2x:

lim

2nx

)

;

x > 0:

n!1 qej;2;x < 1j =

2x < 0 =

2)	pROWERQEM
	1	e;2n 0 =
	X
	n=1

SHODIMOSTX ISHODNOGO RQDA W TO^KE x = 0:

X	X
1 e0	= 1 1; RQD RASHODITSQ.
n=1	n=1
	rQD SHODITSQ W OTKRYTOM INTERWALE 0 < x < 1:

1 2n

sin2n x

12:

wOSPOLXZUEMSQ PRIZNAKOM dALAMBERA.

n=1

nlim

2n+1 sin2(n+1) x

= nlim

2 sin2 x n2

2 sin2 x

(n + 1)2

sin2n x

(n + 1)2

iTAK, RQD BUDET SHODITXSQ, ESLI

sin x

< 1 OTS@DA

j sin x j < p

< sin x < p

+ 2 n < x <

+ 2 n:

180

pROWERQEM SHODIMOSTX ISHODNOGO RQDA NA KONCAH INTERWALA.

1 2

(1=2)

1 1

( 1= 2)

pRI

= 4

;

n=1

RQD SHODITSQ.

wYWOD: ISHODNYJ RQD SHODITSQ W INTERWALE ;4

+2 n x

+2 n:

13:

; n1 !n2

(x + 1)2n:

iSPOLXZUEM PRIZNAK kO[I.

n=1

lim nv

+ 1)2n

n!1 u

; n!

1 n

(x + 1)

(x + 1)2

< 1:

= lim

; n!

= e;

n!1

(x+1)

< e

jx+1j <

;

e < x+1 <

;1;

e < x < ;1+ e:

pROWERQEM SHODIMOSTX ISHODNOGO RQDA NA KONCAH INTERWALA.

pRI x = ;1 + pe

POLU^AEM RQD

1;n1

!n (x + 1)2n =

1 ; n1 !n (p

)2n =

1 ; n1

en:

n=1

rQD RASHODITSQ,

TAK KAK PREDEL EGO OB]EGO ^LENA

lim un = lim

en =

e;1

= e;n

en = 1

=:0

; n!

n!1

pRI

x =

;

POLU^AEM TO^NO TAKOJ VE RQD

; n1 !n

+ 1)2n =

1;n1 !n (;p

)2n =

en:

n=1

wYWOD: RQD SHODITSQ DLQ WSEH x IZ INTERWALA

;1;p

< x < ;1+p

14:

1 nx+2:

n=1

zAPI[EM RQD W WIDE

: sOPOSTAWIM EGO S OBOB]ENNYM

(x+2)

n=1

;

GARMONI^ESKIM RQDOM,

KOTORYJ, KAK IZWESTNO, SHODITSQ PRI

n=1

k > 1:

pO\TOMU ISHODNYJ RQD BUDET SHODITXSQ DLQ (;(x + 2)) > 1

ILI

x < ;3:

iTAK, RQD SHODITSQ W INTERWALE ;1 < x < ;3:

181

3. rQDY tEJLORA I mAKLORENA

wY[E MY GOWORILI, ^TO W OBLASTI SHODIMOSTI STEPENNOJ RQD ABSOL@TNO SHODITSQ K NE- KOTOROJ NEPRERYWNOJ FUNKCII, NAZYWAEMOJ SUMMOJ RQDA. oDNAKO, ZADA^A O NAHOVDENII SUMMY PROIZWOLXNOGO STEPENNOGO RQDA QWLQETSQ ^ASTO NERAZRE[IMOJ, KROME NEKOTORYH ^ASTNYH SLU^AEW. pRO]E OBSTOIT DELO S RE[ENIEM OBRATNOJ ZADA^I { RAZLOVENIEM DIF- FERENCIRUEMOJ FUNKCII W STEPENNOJ RQD. oSNOWNYM PRILOVENIEM TAKIH RAZLOVENIJ QWLQ@TSQ PRIBLIVENNYE WY^ISLENIQ ZNA^ENIJ FUNKCIJ, OPREDELENNYH INTEGRALOW, PRE- DELOW.

3.1. pONQTIE O RQDE tEJLORA

wSQKAQ FUNKCIQ PRI SOBL@DENII OPREDELENNYH USLOWIJ W INTERWA-

LE, SODERVA]EM TO^KU

MOVET BYTX PREDSTAWLENA W NEM W WIDE

STEPENNOGO RQDA, I \TOT RQD BUDET EE RQDOM tEJLORA.

o P R E D E L E N I E.

rQDOM tEJLORA FUNKCII f(x)

NAZYWAETSQ

STEPENNOJ RQD WIDA

f(x) = f(x0) +

0(x0)

(x ; x0) + : : : +

f(n)(x0)

(x ; x0)n + : : : :

rQDOM mAKLORENA FUNKCII f(x) NAZYWAETSQ RQD

f0(0)

f00(0)

f(n)(0) n

f(x) = f(0) +

1! x +

+ : : : +

+ : : :

rQDY tEJLORA I mAKLORENA ESTX RAZLOVENIE FUNKCII W RQD PO

STEPENQM (x;x0) I x

SOOTWETSTWENNO, ILI PREDSTAWLENIE FUNKCII

W OKRESTNOSTI TO^EK

ILI

x STEPENNYM RQDOM.

kO\FFICIENTY RQDOW tEJLORA I mAKLORENA WY^ISLQ@TSQ ^EREZ ZNA^ENIQ PROIZWODNYH FUNKCII WSEH PORQDKOW W TO^KAH x = x0 I x = 0 SOOTWETSTWENNO. nO SU]ESTWOWANIE PROIZWODNYH L@BOGO PO- RQDKA, OKAZYWAETSQ, NE QWLQETSQ DOSTATO^NYM USLOWIEM RAZLOVIMOS- TI FUNKCII W RQD tEJLORA.

dOSTATO^NOE USLOWIE RAZLOVENIQ FUNKCII W RQD tEJLORA.

wSQKAQ FUNKCIQ f(x), BESKONE^NO DIFFERENCIRUEMAQ W INTERWALE

jx ; x0j < r MOVET BYTX RAZLOVENA W \TOM INTERWALE W SHODQ]IJ- SQ K NEJ STEPENNOJ RQD, NAZYWAEMYJ RQDOM tEJLORA, ESLI W \TOM INTERWALE OSTATOK RQDA Rn(x) STREMITSQ K NUL@ nlim!1 Rn(x) = 0 (?):

182

oSTATOK RQDA tEJLORA MOVNO ZAPISATX, NAPRIMER, W FORME lAGRAN-

VA	Rn((x) =	f(n+1)(c)	(x;x0)	n+1		GDE	c	NEKOTORAQ	,	WOOB]E GOWORQ
		(n + 1)!

PROIZWOLXNAQ, TO^KA RASSMATRIWAEMOGO INTERWALA. uSLOWIE (?) WY- POLNQETSQ, ESLI PROIZWODNYE WSEH PORQDKOW FUNKCII OGRANI^ENY NE-

KOTORYM ^ISLOM jf(n)(x0)j M:
eSLI ZAPISATX RQD tEJLORA WMESTE S OSTATO^NYM ^LENOM, TO PO-
LU^IM, TAK NAZYWAEMU@, FORMULU tEJLORA.
	1	f(n)(x0)		n f(n+1)(c)	n+1
f(x) =	X		(x ; x0)	+ (n + 1)! (x ; x0)		:
		n!
	n=1

rAZLOVENIE FUNKCIJ W STEPENNYE RQDY MOVNO PROWODITX DWUMQ SPO- SOBAMI.

1)nEPOSREDSTWENNO WY^ISLQTX KO\FFICIENTY RQDA ^EREZ ZNA^E- NIQ PROIZWODNYH FUNKCII PO FORMULE cn = f0(x0)=n!:

2)iSPOLXZOWATX [ABLONNYE RQDY \LEMENTARNYH FUNKCIJ (SM. TABL.) dLQ \TOGO NUVNO ISHODNU@ FUNKCI@ PREOBRAZOWATX K SOOTWET- STWU@]EMU WIDU, POSLE ^EGO MOVNO ISPOLXZOWATX STANDARTNOE RAZ- LOVENIE. |TO SPOSOB OBY^NO BOLEE PROST W ISPOLNENII.

3.2.rAZLOVENIQ FUNKCIJ W RQD tEJLORA I mAKLORENA

pOKAVEM NA PRIMERAH, KAK RASKLADYWATX FUNKCI@ W RQD tEJLORA ILI mAKLORENA NEPOSREDSTWENNO I, ISPOLXZUQ GOTOWYE RAZLOVENIQ.

1: y = 3x3 + 5x2 ; 4x + 7 x0 = ;2:

rASKLADYWAEM W RQD MNOGO^LEN PO STEPENQM (x ; x0) = (x + 2) WY- ^ISLQQ ZNA^ENIQ FUNKCII I EE PROIZWODNYH W TO^KE x0 = ;2 I POD- STAWLQQ W RQD tEJLORA.

y(;2) = 11 y0 = 9x2 + 10x		; 4 y0(;2) = 12 y00 = 18x + 10
y00(;2) = ;26	y000 = 18:
oSTALXNYE PROIZWODNYE RAWNY NUL@.
		12		26	18
y = 3x3 + 5x2	;4x + 7 = 11 +	1!	(x+ 2) + ;2! (x + 2)2 +		3! (x + 2)3 =
	= 11 + 12(x + 2) ; 13(x + 2)2				+ 3(x + 2)3:

183

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1819 / 2119 20 21 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
20.12.2018280.58 Кб1Теория организации для ТПУ.doc
#
29.05.2015516.61 Кб25Теория экзамен.doc
#
02.05.2019210.94 Кб6теория_«SWOT» анализ_сам.работа.doc
#
12.11.201975.69 Mб0Теория_БЖД_практика.doc
#
30.07.2019118.89 Кб2ТерВер_шпора.docx
#
29.05.20152.54 Mб136Терёхина, Фикс - Высшая математика.pdf
#
22.11.20191.87 Mб7Терминология.doc
#
29.05.201537.45 Кб27Термодин 1-10.docx
#
29.05.201513.16 Кб24Термодин 21-30.docx
#
29.05.201523.55 Кб19Термодин 31-40.doc
#
29.05.2015194.56 Кб17Термодин 71-80.doc