Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Томский Политехнический Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Терёхина, Фикс - Высшая математика

.pdf

Скачиваний:

136

Добавлен:

29.05.2015

Размер:

2.54 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 2110 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 > Следующая >>>

d) nAHODIM OB]IJ INTEGRAL

ZAWISIT TOLXKO OT x, A DRUGAQ { TOLXKO OT y, T.E.
y0 = f1(x) f2(y)	ILI	y0	=	f1(x)	ILI	y0	=	f2(y)	:
				f2(y)				f1(x)

aNALOGI^NO, ESLI URAWNENIE IZNA^ALXNO ZADANO W DIFFERENCIALXNOJ FORME M(x y) dx + N(x y) dy = 0, TO ONO BUDET URAWNENIEM S RAZ- DELQ@]IMISQ PEREMENNYMI TOLXKO W TOM SLU^AE, ESLI FUNKCII PRI DIFFERENCIALAH dx I dy UVE QWLQ@TSQ, ILI MOGUT BYTX PREDSTAW- LENY KAVDAQ W WIDE PROIZWEDENIQ (ILI OTNO[ENIQ) DWUH FUNKCIJ, ODNA IZ KOTORYH ZAWISIT OT x, A DRUGAQ OT y NAPRIMER W WIDE f1(x) f2(y) dx + g1(x) g2(y) dy = 0: rE[ENIE URAWNENIQ S RAZDELQ@]I- MISQ PEREMENNYMI OSU]ESTWLQETSQ PO\TAPNO:

1. pUSTX ISHODNOE URAWNENIE IMEET WID y0								= f(x y):
a) pREDSTAWLQEM FUNKCI@ W WIDE PROIZWEDENIQ
f(x y) = f1(x) f2(y),						ISPOLXZUQ RAZLI^NYE ALGEBRAI^ESKIE PRIEMY				.
								y0 = dy
b) zAMENQEM PROIZWODNU@ OTNO[ENIEM									: uRAWNENIE PRI-
MET WID dydx								dx
			= f1(x) f2(y):
c) uMNOVAEM OBE ^ASTI URAWNENIQ NA dx I, ODNOWREMENNO, DELIM
NA FUNKCI@ f2(y) STOQ]U@ NE U "SWOEGO" DIFFERENCIALA. pOLU-
^IM		dy	= f1(x) dx:				pEREMENNYE RAZDELENY		.

		f2(y)

d) iNTEGRIRUEM OBE ^ASTI POLU^ENNOGO URAWNENIQ
				dy
		Z			= Z	f1(x) dx + C:
				f2(y)
2.	eSLI URAWNENIE ZADANO W NEQWNOJ FORME, TO SLEDUET IZ NEGO

WYRAZITX y0 W QWNOM WIDE I DALEE DEJSTWOWATX KAK UVE BYLO SKAZANO. 3. eSLI URAWNENIE ZADANO W FORME M(x y) dx + N(x y) dy = 0 TO a) PERENOSIM WTOROE SLAGAEMOE W PRAWU@ ^ASTX

b) KAVDU@ IZ DWUH FUNKCIJ PREDSTAWLQEM W WIDE PROIZWEDENIQ (ILI OTNO[ENIQ) SOMNOVITELEJ, NAPRIMER

f1(x)f2(y) dx = g1(x)g2(y) dy:

c) dELIM OBE ^ASTI URAWNENIQ NA PROIZWEDENIE FUNKCIJ f2(y)g1(x), STOQ]IH NE U "SWOIH" DIFFERENCIALOW.

Z f1(x) dx = Z g2(y) dy + C: g1(x) f2(y)

pREOBRAZOWANIE URAWNENIQ S CELX@ POLU^ENIQ URAWNENIQ S RAZDELEN- NYMI PEREMENNYMI NAZYWAETSQ R A Z D E L E N I E M PEREMENNYH.

1: y0 = (2y ; 1) tg x:

1) zAMENQEM y0 OTNO[ENIEM y0 = dy=dx:

2) uMNOVAEM OBE ^ASTI URAWNE- NIQ NA dx.

3) dELIM NA "STOQ]U@ NE U SWOEGO DIFFERENCIALA" FUNKCI@ (2y ; 1): w REZULXTATE \TIH DEJ- STWIJ PEREMENNYE RAZDELILISX. 4) iNTEGRIRUEM OBE ^ASTI URAW- NENIQ I UPRO]AEM POLU^ENNYJ REZULXTAT. OB]EE RE[ENIE:

2: y0 = y2 ln x :

(y ; 1) x

1) zAMENQEM PROIZWODNU@ y0 OT- NO[ENIEM DIFFERENCIALOW

y0 = dy=dx:

2)uMNOVAEM OBE ^ASTI URAWNE- NIQ NA dx:

3)uMNOVAEM OBE ^ASTI NA

(y ; 1) I DELIM NA y2:

4) iNTEGRIRUEM OBE ^ASTI URAW- NENIQ.

3: y y0 u + 1 = 0:

v1 ; x2

t1 ; y2

r E [ E N I E.

1)zAPI[EM URAWNENIE W QWNOM WIDE, T.E. WYRAZIM y0

2)zAMENQEM PROIZWODNU@ y0 OT- NO[ENIEM DIFFERENCIALOW y0 =

dy=dx:

3)uMNOVAEM NA dx A ZATEM UMNO- VAEM NA y I DELIM NA p1 ; y2:

4)iNTEGRIRUEM I POLU^AEM OB- ]IJ INTEGRAL.

dxdy = (2y

; 1) tg x

dy = (2y ; 1) tg x dx:

= tg x dx:

2y ;

= Z tg x dx + C

;

; ln j cos xj + ln C

2 ln j2y

;

2y ; 1

= C= cos x:

y =

(C= cos x)2 + 1=2:

ln x

1) x

2) dy =

y2;ln x

dx:

(y ; 1) x

(y ;

1)dy = ln x dx:

; 1)

dy =

ln x dx:

= Z

y ; Z

ln x d(ln x):

ln y + 1

= ln2 x

+ C:

1) y0 = ;

;

= ;

;

1 ;2

3) dy =

p1 ; y

;

y dy

= p

;

4) q1 ; y2 = arcsin x + C:

y = q

1 ; (arcsin x + C)2

4: 5x2+y y0 + x = 0:

1)iSPOLXZUQ SWOJSTWO POKAZA- TELXNOJ FUNKCII ax+y = axay, PE- REPI[EM URAWNENIE.

2)zAMENQEM PROIZWODNU@ y0 OT- NO[ENIEM DIFFERENCIALOW y0 =

dy=dx:

3)pERENOSIM x W PRAWU@ ^ASTX, UMNOVAEM NA dx I DELIM NA 5x2 :

4)iNTEGRIRUEM I POLU^AEM OB- ]IJ INTEGRAL.

5: p4 + x2 y0 + x y2 + x = 0:

1) wYNOSIM ZA SKOBKU x I PERE- NOSIM WYRAVENIE x (y2 + 1) W PRAWU@ ^ASTX URAWNENIQ.

2)zAMENQEM y0 = dy=dx:

3)uMNOVAEM OBE ^ASTI URAWNE-

NIQ NA dx I DELIM NA PROIZWE-

DENIE p4 + x2 (y2 + 1):

4) iNTEGRIRUEM OBE ^ASTI URAW- NENIQ:

6: y ; x y0 = 2 (1 + x2 y0):

1) rASKRYWAEM SKOBKI.

2) pERENOSIM SLAGAEMYE S y0 W ODNU ^ASTX URAWNENIQ, OSTALXNYE SLAGAEMYE { W DRUGU@. wYNOSIM y0 ZA SKOBKU.

3) zAMENQEM y0 = dy=dx: uMNOVAEM OBE ^ASTI URAWNENIQ NA dx I DELIM NA PROIZWEDENIE

(2x2 + x) (y ; 2):

4) iNTEGRIRUEM OBE ^ASTI URAW- NENIQ.

1) 5x2 5y y0 + x = 0:

x2 y dy

2) 5y 5 dx +x2 x = 0:

3) 5 dy = ;5; x dx:

Z 5y dy =

Z 5;x

d(;x2):

5;x

ln 5

5y =

5;x2 + C:

1)p4 + x2 y0 + x (y2 + 1) = 0 p4 + x2 y0 = ;x (y2 + 1)

2)p4 + x2 dxdy = ;x (y2 + 1)

x dx

= ;

y2 + 1

4 + x2

4) Z

= ; Z

x dx

y2 + 1

4 + x2

arctg y = ;p4 + x2 + C:

1) y

x y0 = 2 + 2x2 y0

+ x) y0 = (y ;

2) (2x

3) (2x2 + x)

dxdy

= (y

; 2)

(2x2 + x) dy = (y ; 2) dx:

y ;

2x2

+ x

;

2 =

2x2 + x:

ln jy ; 2j = ln

+ ln C:

2x + 1

y = 2 +

2x + 1

7:	2	ydy ; 2xy	2	dx:
6xdx ; 6ydy = 3x
1) sOBIRAEM SLAGAEMYE S dx W OD-
NU ^ASTX URAWNENIQ, A SLAGAEMYE

S dy W DRUGU@.

2) wYNOSIM dx I dy ZA SKOBKI.

3) wYNOSIM 2x I 3y ZA SKOBKI

I DELIM NA PROIZWEDENIE (2 + x2) (3 + y2):

4) iNTEGRIRUEM OBE ^ASTI URAW- NENIQ.


8: 2y2;x2 =						y y0		:
						x
2y2		y		y0 =)			2y2		y dy
2x2		= x					2x2 = x dx				:
x	2;x2 dx = y 2;y2 dy:
Z	x 2;x2 dx = Z y 2;y2								dy:
	1 2;x2			1 C					1 2;y2
;2			; 2				= ;2				:
		ln 2			ln 2					ln 2

2;y2 = 2;x2 + C:

10: y (1 + ln y) + x y0 = 0:

				dy
y (1 + ln y) = ;x dx
		dy		dx
			= ; x
	y (1 + ln y)
Z		d(1 + ln y)		= ; ln x + ln C
		1 + ln y

ln j1 + ln yj = ; ln x + ln C 1 + ln y = Cx =) y = eC=x;1:

1)6xdx + 2xy2dx= 6ydy+3x2ydy

2)(6x + 2xy2)dx = (6y + 3x2y)dy

3)2x (3 + y2) dx = 3y (2 + x2) dy

2x dx = 3y dy2 2

2 + x

3 + y

4) Z

dx = Z

2 + x2

3 + y2

ln j3 + y2j + ln C:

ln jx2 + 2j = 2

x2 + 2 = C q

(3 + y2)3

9: 2x2 y y0 + y2 = 2:

= 2 ; y

2x2 y y0 = 2

;

y2 = y0

)

2x2 y

dy =

2 ; y2

dx:

2x2

2y dy

2 :

2 ; y

2y dy

= Z x2 :

2 ; y2

; ln j2 ; y2j = ;x1 + C:

11: y0 + sin(x + y) = sin(x ; y):
y0 = sin(x ; y) ; sin(x + y):
sin ; sin =
= 2 sin ; cos ; :
2							2
	dxdy = 2 sin(;y) cos x
	dy
			= ;2 cos x dx
	sin y
		dy
Z				= ;2 Z		cosy	x dx
		sin y
					ln	tg2	= ;2 sin x + C:
							95

rASSMOTRIM PRIMER NAHOVDENIQ ^ASTNOGO RE[ENIQ URAWNENIQ PO ZA- DANNOMU NA^ALXNOMU USLOWI@.

12:

rE[ITX ZADA^U kO[I

y0 + 2y ; y2 = 0

y(0) = ;1=4:

nAHODIM SNA^ALA OB]EE RE[ENIE URAWNENIQ:

= y2

; 2y

= (y2 ; 2y)

= dx

y2 ; 2y

ln y ; 2

= x + 1 ln C:

;

y ; 2 = Ce2x:

oB]EE RE[ENIE

oPREDELIM ZNA^ENIE KONSTANTY C, ISHODQ IZ NA^ALXNOGO USLOWIQ.

pODSTAWIM W OB]EE RE[ENIE ZNA^ENIQ x = 0 y = ;1=4:

;1=4 ; 2

= C e0

9 = C:

;1=4

pOLU^ENNOE ZNA^ENIE C PODSTAWLQEM W WYRAVENIE DLQ OB]EGO

RE[ENIQ I ZAPISYWAEM

y ; 2 = 9e2x:

^ASTNOE RE[ENIE:

1.2.2. uRAWNENIQ WIDA

y0 = f(a x + b y + c)

;

URAWNENIQ, DOPUSKA@]IE RAZDELENIE PEREMENNYH

uRAWNENIE WIDA

= f(a x+ b y+ c)

GDE a

b c; POSTOQNNYE,

DOPUSKA@T RAZDELENIE PEREMENNYH, ESLI SDELATX ZAMENU

z(x) = a x + b y + c:

13: y0 = ;4x + 2y ; 6:

sDELAEM ZAMENU

z(x) = ;4x + 2y ; 6:

)

tOGDA

y =

2 z + 2x + 3

= 2 z0 + 2:

pODSTAWLQEM W ISHODNOE URAWNENIE I POLU^AEM URAWNENIE DLQ z(x)

21 z0 + 2 = z

) z0 = 2z ; 4

) dxdz = 2z

; 4:

rAZDELQQ PEREMENNYE, POLU^AEM RE[ENIE

) 2z ; 4 = Ce2x:

= dx )

2 ln j2z ; 4j

= x + 2 ln C

;

+ 2y

4 = Ce

+ 2x + 4:

y = 4 Ce

96;

;

)

3) SDELATX ZAMENU

= t(x):

FUNKCIQ SWOIH ARGUMENTOW f(x y) = g

14: y0 = 2 sin2(2x ; y):

dELAEM ZAMENU PEREMENNOJ			2x ; y	= z z0 = 2 ; y0 y0 = 2 ; z0:
pODSTAWLQQ W ISHODNOE URAWNENIE, POLU^IM:
2 ; z0 = 2 sin2 z	z0 = 2 ; 2 sin2 z			dxdz = 2(1 ; sin2 z)
dz = 2 cos2 z dx:	Z	dz	= 2 Z dx		tgz = 2x + C:
		cos2 z
					tg (2x ; y) = 2x + C:
1.2.3. uRAWNENIQ WIDA			y0 = g	xy!	;
ODNORODNYE URAWNENIQ

o P R E D E L E N I E. dIFFERENCIALXNOE URAWNENIE y0 = f(x y)

NAZYWAETSQ ODNORODNYM, ESLI EGO PRAWAQ ^ASTX ESTX ODNORODNAQ xy ! :

dRUGIMI SLOWAMI: URAWNENIE PERWOGO PORQDKA BUDET QWLQTXSQ OD- NORODNYM, ESLI EGO MOVNO PREDSTAWITX W WIDE

y0 = g yx! :

lEGKO POKAZATX, ^TO WSQKOE ODNORODNOE URAWNENIE SWODITSQ K URAW-

NENI@ S RAZDELQ@]IMISQ PEREMENNYMI PODSTANOWKOJ y

nIVE NA PRIMERAH MY PROILL@STRIRUEM \TO UTWERVDENIE.

dLQ PREOBRAZOWANIQ ODNORODNOGO URAWNENIQ K WIDU, S KOTOROGO NA^INAETSQ ISPOLXZOWANIE PODSTANOWKI, NEOBHODIMO:

1)WYRAZITX W QWNOM WIDE PROIZWODNU@ ISKOMOJ FUNKCII IZ L@BOJ

ISHODNOJ FORMY ZAPISI URAWNENIQ, T.E. ZAPISATX URAWNENIE W QWNOM WIDE y0 = f(x y)

2)PREOBRAZOWATX FUNKCI@ f(x y) K WIDU f(x y) = g(y=x) T.E. ^TO-

BY WYRAVENIE, OPREDELQ@]EE FUNKCI@, SODERVALO BY TOLXKO OTNO-

[ENIE y=x I, WOZMOVNO, KONSTANTY

yx = t(x) y = t(x) x y0 = t0 x + t

KOTORAQ OBQZATELXNO POZWOLIT RAZDELITX PEREMENNYE W POLU^ENNOM URAWNENII. k ODNORODNYM MOGUT OTNOSITXSQ URAWNENIQ, W KOTORYH

OTNO[ENIQ

STOQT POD ZNAKOM KAKOJ-LIBO FUNKCII, NAPRIMER

1: x y0

p y

y=x

;

= x

e =

+ e

)

y x

2: y ; x y0

= x arctg (y=x)

x ; y0 = arctg (y=x)

y0 = y + arctg (y=x):

3: x y0 ; y = (x + y) ln x +x y ) y0 ; xy = 1

xy ! ln 1 + xy !

4: (y + p

) dx = x dy =)

y0 = xy +

y0 = xy + s

wO WSEH SLU^AQH POSLE DELENIQ NA

URAWNENIQ PRIWELISX K

WIDU y0

= g xy

! :

k ODNORODNYM URAWNENIQM 1-GO PORQDKA OTNOSQTSQ TAKVE URAW-

NENIQ y0 = f(x y) PRAWAQ ^ASTX KOTORYH QWLQETSQ OTNO[ENIEM DWUH MNOGO^LENOW, PRI^EM WSE ^LENY ^ISLITELQ I ZNAMENATELQ IME@T ODI-

NAKOWU@ SUMMARNU@ STEPENX PEREMENNYH	x	I y:	tOGDA POSLE DE-
LENIQ ^ISLITELQ I ZNAMENATELQ DROBI NA	x	ILI	x2 ILI x3 (W

ZAWISIMOSTI OT STEPENI MNOGO^LENOW), OSTANUTSQ TOLXKO POSTOQNNYE ^ISLA I OTNO[ENIQ y=x W RAZNYH STEPENQH. nAPRIMER:

1: (x + y) dy ; (x ; y) dx = 0:

mNOGO^LENY PRI dx I dy IME@T PERWU@ STEPENX, URAWNENIE QWLQETSQ

ODNORODNYM, DELIM NA

x x

;

= x ; y

; y=x

y0 =

ODNORODNOE:

x + y

)

+ y=x

;

2: (x2 y + y3) dx + (x3 ; xy2) dy = 0:

rAZDELIM NA dx I WYRAZIM y0

x2 y + y3

(x2 y + y3) + (x3

; xy2) y0 = 0 =)

y0 = ; x3

; xy2 :

wSE SLAGAEMYE ^ISLITELQ I ZNAMENATELQ IME@T TRETX@ STEPENX, RAZ-

DELIM NA x3

x2 y

y=x + (y=x)3

y0 = ;

;

xy2

y0 = ; 1

;

(y=x)2

; ODNORODNOE:

15: y0 = y2 + 3y + 2: x2 x

uRAWNENIE ODNORODNOE I NE TRE- BUET NIKAKIH PREDWARITELXNYH PREOBRAZOWANIJ.

1)dELAEM ZAMENU y=x = t I WSE PREOBRAZOWANIQ, KOTORYE NEOBHO- DIMY.

2)rAZDELQEM PEREMENNYE.

3)iNTEGRIRUEM OBE ^ASTI WYRA- VENIQ.

4)dELAEM OBRATNU@ ZAMENU

t = y=x:

16: (x2 ; x y) dy + y2 dx = 0:

1) rAZDELIM NA dx I WYRAZIM W QWNOM WIDE y0 ZATEM RAZDE- LIM ^ISLITELX I ZNAMENATELX PRAWOJ ^ASTI URAWNENIE NA x2: 2) sDELAEM ZAMENU y=x = t:

3) rAZDELQEM PEREMENNYE.

4) iNTEGRIRUEM.

5) dELAEM OBRATNU@ ZAMENU.

1) xy = t y = t x y0 = t0

x + t:

x + t = t2 + 3t + 2

x = t2 + 2t + 2

2) x dxdt

= (t2 + 2t + 2)

t2 + 2t + 2

(t + 1)2 + 1

Zarctg(ty+ 1) = lnZjxj + ln C

arctg( x

+ 1) = ln(C x):

y = x [tg(ln(C x) ; 1]:

1) (x2

x y) y0 + y2 = 0

; y2

y2=x2

;

; xy

y=x ;

2) x

= t y = t x y0 = t0x + t:

t0x + t =

t0x =

; t

;

= t

; t

+ t x

t ; 1

t ;

(t ;

1) dt

= dx

4) t

= ln

+ ln C

j j

y=x

e = C tx

= Cy:

	17: y0 = xy (1 + ln y ; ln x):
1)	pREOBRAZU-

EM URAWNENIE, ISPOLXZUQ SWOJST- y

WO LOGARIFMOW ln y ; ln x = ln x:

2) sDELAEM ZAMENU y=x = t:

3) rAZDELQEM PEREMENNYE.

4) iNTEGRIRUEM.

5) dELAEM OBRATNU@ ZAMENU.

1) y0 = xy 1 + ln yx!

2)y	= t(x) y	= t x y0 = t0x + t:
x	x + t = t (1 + ln t)
3) t0	x + t = t (1 + ln t)
dt			dt		dx
x dx = t ln t				=
x dx = t ln t			t ln t	=	x

4) ln j ln tj = ln jxj + ln jCj

ln t = Cx t = eCx y = xeCx:

18: x y0	; y =	x	:

		cos y
		x

1)wYRAZIM W QWNOM WIDE y0 RAZ- DELIW ^ISLITELX I ZNAMENATELX PRAWOJ ^ASTI URAWNENIE NA x:

2)sDELAEM ZAMENU y=x = t:

3)rAZDELQEM PEREMENNYE.

4)iNTEGRIRUEM.

5)dELAEM OBRATNU@ ZAMENU.

19: x y0 = q4x2 + y2 + y:

1)wYRAZIM W QWNOM WIDE y0 RAZ- DELIW ^ISLITELX I ZNAMENATELX PRAWOJ ^ASTI URAWNENIE NA x:

2)sDELAEM ZAMENU y=x = t:

3)rAZDELQEM PEREMENNYE.

4)iNTEGRIRUEM.

5)dELAEM OBRATNU@ ZAMENU.

1) y0

+ y

2) y

cos

= t y

= t x y0 = t0x + t:

t0 x + t =

+ t t0

x =

cos t

3) x

cos t dt = dx

cos t

4) Z

cos t dt = Z

sin t = ln jxj + C

sin xy = ln x + C:

1) y0 = v

4x2 + y2 + y

+ y

y0 = v4 + y2

y t

2) x

= t y = t x y0 = t0x + t:

t0x + t = p

+ t

4 + t2

t0x = p

x dxdt = p

4 + t2

= dxx

4 + t2

4) ln jt + p

j = ln jxj + ln C

4 + t2

t + p

= C x:

4 + t2

+ v4 + y2 = C x:

1.2.4. y0 + P(x) y = Q(x) ;

uRAWNENIQ WIDA

LINEJNYE URAWNENIQ

dIFFERENCIALXNOE URAWNENIE y0 = f(x y) QWLQETSQ LINEJNYM, ESLI EGO PRAWAQ ^ASTX ESTX LINEJNOE WYRAVENIE OTNOSITELXNO ISKOMOJ FUNKCII y0 = a(x) y + b(x):

iNYMI SLOWAMI: WSQKOE URAWNENIE 1-GO PORQDKA BUDET LINEJNYM, ESLI ISKOMAQ FUNKCIQ I EE PROIZWODNAQ WHODQT W URAWNENIE W PERWYH STEPENQH I NE PEREMNOVA@TSQ.

100

"kLASSI^ESKAQ" FORMA LINEJNOGO URAWNENIQ { FORMA, S KOTOROJ NA- ^INAETSQ SOBSTWENNO EGO INTEGRIROWANIE:

y0 + P (x) y = Q(x):

wSQKOE LINEJNOE URAWNENIE PREVDE, ^EM PRIMENQTX METODY EGO RE- [ENIQ, NEOBHODIMO PREOBRAZOWATX K "KLASSI^ESKOMU" WIDU.

dLQ RE[ENIQ LINEJNYH URAWNENIJ ISPOLXZU@T DWA, PRIMERNO ODI- NAKOWYH PO TRUDOEMKOSTI, METODA : METOD bERNULLI (PODSTANOWKI) I METOD lAGRANVA (WARIACII PROIZWOLXNOJ POSTOQNNOJ).

mETOD bERNULLI (METOD PODSTANOWKI)

|TOT METOD POZWOLQET S POMO]X@ PODSTANOWKI y = U(x) V (x) SWODITX L@BOE LINEJNOE URAWNENIE K DWUM URAWNENIQM S RAZDELQ@- ]IMISQ PEREMENNYMI OTNOSITELXNO FUNKCIJ U(x) I V (x):

20: y0 + 2xy = xe;x2 { LINEJNOE, W "KLASSI^ESKOJ" FORME.

1) rE[ENIE URAWNENIQ I]EM W WIDE PROIZWEDENIQ DWUH FUNKCIJ y = U(x) V (x): tOGDA y0 = U0 V + V 0 U.

2) pODSTAWLQEM WYRAVENIE DLQ FUNKCII I EE PROIZWODNOJ W URAW- NENIE, GRUPPIRUEM WTOROE I TRETXE SLAGAEMYE I WYNOSIM OB]IJ MNO- VITELX

U0V + V 0U + 2xUV = xe;x2 ) U0V + U(V 0 + 2xV ) = xe;x2 :

3) fUNKCI@ V (x) I]EM IZ USLOWIQ, ^TO WYRAVENIE W SKOBKAH RAWNO NUL@. tOGDA POLU^AEM SISTEMU DWUH DIFFERENCIALXNYH URAWNENIJ DLQ NAHOVDENIQ FUNKCIJ U(x) I V (x)

8	x2
<	V 0 + 2x V = 0
<	U0V = x e;	:
:
4) iZ 1-GO URAWNENIQ NAHODIM FUNKCI@ V (x):
V 0 +2xV = 0	dVdx = ;2xV	dVV	= ;2xdx ln V = ;x2 V = e;x2:
5) pOLU^ENNOE WYRAVENIE DLQ FUNKCII V PODSTAWLQEM WO 2-E URAW-
NENIE SISTEMY U0V = x e;x2 I NAHODIM WTORU@ FUNKCI@ U(x)
U0 e;x2 = x e;x2 U0 = x U =			x dx U = x2 + C:
6) zAPISYWAEM OB]EE RE[ENIE R			2
6) zAPISYWAEM OB]EE RE[ENIE R			y = U(x)V (x) = e;x2 (x2=2 + C):

101

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 2110 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
20.12.2018280.58 Кб1Теория организации для ТПУ.doc
#
29.05.2015516.61 Кб25Теория экзамен.doc
#
02.05.2019210.94 Кб6теория_«SWOT» анализ_сам.работа.doc
#
12.11.201975.69 Mб0Теория_БЖД_практика.doc
#
30.07.2019118.89 Кб2ТерВер_шпора.docx
#
29.05.20152.54 Mб136Терёхина, Фикс - Высшая математика.pdf
#
22.11.20191.87 Mб7Терминология.doc
#
29.05.201537.45 Кб27Термодин 1-10.docx
#
29.05.201513.16 Кб24Термодин 21-30.docx
#
29.05.201523.55 Кб19Термодин 31-40.doc
#
29.05.2015194.56 Кб17Термодин 71-80.doc