Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Томский Политехнический Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Терёхина, Фикс - Высшая математика

.pdf

Скачиваний:

136

Добавлен:

29.05.2015

Размер:

2.54 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 / 2112 13 14 15 16 17 18 19 20 21 > Следующая >>>

wIDNO, ^TO WTORAQ FUNKCIQ WKL@^AET W SEBQ PERWU@, PO\TOMU FUNK-
x2		y2	+ tgy ; y:
CIQ U(x y) = 2	e		+ tgy ; y:	x2
				x2	y2	+ tgy ; y = C:
oB]IJ INTEGRAL URAWNENIQ U(x y) = C , ILI				2	e	+ tgy ; y = C:

sDELAEM PROWERKU. nAJDEM PROIZWODNYE OT POLU^ENNOJ FUNKCII PO x I PO y I SRAWNIM \TI PROIZWODNYE S FUNKCIQMI P (x y) I Q(x y):

ey2

+ tgy

;

= x ey2 = P (x y):

@x2

A0x

+ tgy y = x

y e

cos2 y ;

1 =

0 2

;

= x2y ey2 + 1 ; cos y = x2y ey2 + tg2y = Q(x y): cos2 y

pROWERKA PODTWERVDAET PRAWILXNOSTX POLU^ENNOGO RE[ENIQ.

1.2.7. oPREDELENIE TIPA URAWNENIQ 1-GO PORQDKA

rE[ENIE L@BOGO DIFFERENCIALXNOGO URAWNENIQ 1-GO PORQDKA NE- OBHODIMO NA^INATX S OPREDELENIQ EGO TIPA, TAK KAK \TIM OPREDELQ- ETSQ SHEMA EGO DALXNEJ[EGO INTEGRIROWANIQ. tIP URAWNENIQ MOVNO PRAKTI^ESKI WSEGDA OPREDELITX PO EGO ISHODNOJ ZAPISI.

w KAKOM BY WIDE NE BYLO ZADANO URAWNENIE, W PERWU@ O^EREDX NE- OBHODIMO PROWERITX, NE OTNOSITSQ LI ONO K URAWNENI@ S RAZDELQ@- ]IMISQ PEREMENNYMI. eSLI NET, I URAWNENIE ZAPISANO W DIFFEREN- CIALXNOJ FORME f(x y) dx+ g(x y)dy = 0 TO MOVNO SRAZU PROWERITX, NE OTNOSITSQ LI ONO K URAWNENIQM W POLNYH DIFFERENCIALAH. eSLI I \TO NE PROJDET, OSTAETSQ UBEDITXSQ W ODNORODNOSTI ILI LINEJNOSTI URAWNENIQ. kAK PRAWILO, W POSLEDN@@ O^EREDX OSTAETSQ PROWERITX, NE OTNOSITSQ LI URAWNENIE K URAWNENI@ bERNULLI. nE SLEDUET TAKVE ZABYWATX O TOM, ^TO URAWNENIE MOVET BYTX LINEJNYM ILI TIPA bER- NULLI OTNOSITELXNO PEREMENNOJ x: mOVET OKAZATXSQ TAK, ^TO ODNO I TO VE URAWNENIE OTNOSITSQ SRAZU K NESKOLXKIM TIPAM. oPREDELIW TIP URAWNENIQ SLEDUET CELENAPRAWLENNO PREOBRAZOWATX EGO K WIDU, S KOTOROGO NA^INA@TSQ SPECIFI^ESKIE DLQ DANNOGO TIPA URAWNENIQ PRIEMY EGO INTEGRIROWANIQ.

112

rASSMOTRIM PRIMERY NA OPREDELENIE TIPA URAWNENIQ.

1: (y + 1) y0 =	p	y		+ x y:
		1	x2
;

|TO URAWNENIE OTNOSITSQ K TIPU URAWNENIQ S RAZDELQ@]IMISQ PERE- MENNYMI, T.K. POSLE WYNESENIQ W PRAWOJ ^ASTI URAWNENIQ MNOVITELQ y ZA SKOBKU I PREDSTAWLENIQ PROIZWODNOJ W WIDE OTNO[ENIQ DIFFE-

RENCIALOW, PEREMENNYE MOVNO RAZDELITX.

+ x! dx

y + 1

+ x! dx:

(y + 1) dy = y

dy =

1 ; x2

pEREMENNYE RAZDELENY, MOVNO INTEGRIROWATX.

pEREMENNYE MOVNO TAKVE RAZDELITX I W URAWNENIQH:

1) 2(1 ; x2) y0 + x y + x = 0

)

x dx

y + 1

2(1 ; x2)

2) x y0 = ey + 2y0 ) ey =

x ; 2

y dy

3) q5 + y2 + y y0 p1 ; x2 = 0 )

= ;p

5 + y2

;

2: (x y + 2x2) y0 = y (2x ; y):

pEREMENNYE W \TOM URAWNENII NE RAZDELQ@TSQ, NO MOVNO ZAMETITX, ^TO PRI DELENII OBEIH ^ASTEJ URAWNENIQ NA x2 W URAWNENII NE OSTA- NETSQ W ^ISTOM WIDE NI x NI y: uRAWNENIE BUDET SODERVATX KROME PROIZWODNOJ TOLXKO y=x I POSTOQNNYE. |TO ODNORODNOE URAWNENIE. pREVDE, ^EM DELATX PODSTANOWKU, EGO NUVNO PREOBRAZOWATX:

(x y + 2x2) y0 = y (2x	;	y) y0 = y(2x ; y)		y0 = y=x(2 ; y=x)
	;	xy + 2x2		y=x + 2

dALEE IDET PODSTANOWKA y=x = t ::: RAZDELENIE PEREMENNYH I T.D.

oDNORODNYM QWLQETSQ URAWNENIE
	2	cos ln xy! ) xy = t:
x2 y0 = y2	cos(ln y ; ln x) ) y0 = xy2	cos ln xy! ) xy = t:

113

3: (2x + y tg x ; x2 tg x) dx = dy:

rAZDELITX PEREMENNYE W URAWNENII NEWOZMOVNO, ODNORODNYM ONO TO- VE NE QWLQETSQ. oDNAKO, MOVNO OTMETITX, ^TO ISKOMAQ FUNKCIQ y WHODIT W URAWNENIE W PERWOJ STEPENI I NA dy NE UMNOVAETSQ. |TO PRIZNAK LINEJNOGO URAWNENIQ OTNOSITELXNO FUNKCII y(x): uRAWNE- NIE NEOBHODIMO PREOBRAZOWATX K "KLASSI^ESKOMU" WIDU LINEJNOGO,

SDELATX PODSTANOWKU y = U(x)V (x) I T.D.

(2x + y tg x ; x2 tg x) dx = dy y0 ; y tg x = 2x ; x2 tg x y = U V:

pRIMERAMI LINEJNYH URAWNENIJ SLUVAT I SLEDU@]IE:
(2x + 1) y0 = 4x + 2y =) y0 ;	2y	=	4x

	2x + 1		2x + 1		x
2(1 ; x2) y0 + x y + x = 0 =)	y0 +		x
				y = ;		:
		2(1 ; x2)			2(1 ; x2)
4: (x + 1) (y0 + y2) = ;y:

|TO URAWNENIE OBLADAET WSEMI PRIZNAKAMI URAWNENIQ bERNULLI. w NEM TRI SLAGAEMYH, IZ KOTORYH ODNO SODERVIT y0, WTOROE { ISKOMU@


FUNKCI@ y	W PERWOJ STEPENI I ^LEN S yk = y2: pEREPI[EM URAWNENIE
		y
W WIDE y0 +			= ;y2. dALEE DELAEM PODSTANOWKU y = U V :::
W WIDE y0 +		1 + x	= ;y2. dALEE DELAEM PODSTANOWKU y = U V :::
pRIMERAMI URAWNENIJ bERNULLI SLUVAT I
y0 = y4 cos x + y tg x					=	y0	;	y tg x = y4 cos x:
2y0 ; 3y cos x = ;e;				2x	)		;	1
2y0 ; 3y cos x = ;e;					(2 + 3 cos x) y;				:

5: sLEDU@]IE URAWNENIQ QWLQ@TSQ LINEJNYMI, NO TOLXKO OT-

NOSITELXNO x.

dx+(xy

;

y3)dy

= 0 =

x0+xy

;

y3 = 0 =

x0+xy = y3 x = U V:

)

(xy +p

) y0 +y2 = 0 =)

(xy+p

)

+y2 = 0 =) x0 + yx = ;

y3=2

(y4ey + 2x) y0 = y =) (y4ey + 2x)

= y =) x0 ; y x = y3ey:

114

6:	uRAWNENIE bERNULLI OTNOSITELXNO x
(2x2 y ln y		;	x) y0 = y	=	x0 + 1 x = 2 ln y	x2	x = U(y)	V (y):
		;		)	y
7:	lEGKO USTANOWITX, ^TO PRIWEDENNYE NIVE URAWNENIQ QWLQ@TSQ
URAWNENIQMI W POLNYH DIFFERENCIALAH.

(1 + y2 sin 2x) dx ; 2y cos2 x dy = 0

(2 ; 9x y2) x dx + (4y2 ; 6x3) y dy = 0

3x2 (1 + ln y) dx = 2y ; x3=y dy:

pOSLEDNIJ PRIMER SNA^ALA SLEDUET ZAPISATX W WIDE

3x2 (1 + ln y) dx ; 2y ; x3=y dy = 0

TOGDA ZNAK MINUS PERED WTORYM SLAGAEMYM BUDET OTNOSITXSQ K FUNK- CII Q(x y)

P (x y) = 3x2 (1 + ln y) Q(x y) = ; 2y ; x3=y I TOGDA

Py0(x y) = Q0x(x y):

115

x = x0:

y0(x0) = y00 :

y = y(x)

F (x y y0 y00) = 0:

2. uRAWNENIQ WYS[IH PORQDKOW

2.1. oB]IE PONQTIQ

oSNOWNYE PONQTIQ RASSMOTRIM NA PRIMERE URAWNENIJ 2-GO PORQDKA.

dIFFERENCIALXNYM URAWNENIEM 2; GO PORQDKA NAZYWAETSQ URAWNE- NIE, KOTOROE SODERVIT NEZAWISIMU@ PEREMENNU@ x ISKOMU@ FUNK- CI@ y I EE PROIZWODNYE 1-GO I 2-GO PORQDKA.

uRAWNENIE 2; GO PORQDKA MOVET BYTX ZAPISANO W Q W N O J FORME y00 = f(x y y0)

ESLI ONO RAZRE[ENO OTNOSITELXNO STAR[EJ PROIZWODNOJ ILI W N E Q W N O J

r E [ E N I E M DIFFERENCIALXNOGO URAWNENIQ 2-GO PORQDKA NA- ZYWAETSQ L@BAQ DWAVDY DIFFERENCIRUEMAQ FUNKCIQ KO- TORAQ PRI PODSTANOWKE W URAWNENIE, OBRA]AET EGO W TOVDESTWO. kAVDOE URAWNENIE 2-GO PORQDKA IMEET BESKONE^NOE MNOVESTWO RE[E- NIJ. wYBRATX IZ \TOGO MNOVESTWA KONKRETNOE RE[ENIE MOVNO, ESLI ZADATX n DOPOLNITELXNYH USLOWIJ, NAPRIMER, NA^ALXNYH.

n A ^ A L X N Y M I U S L O W I Q M I DLQ URAWNENIQ 2 -GO PORQDKA QWLQ@TSQ ZADANIQ ZNA^ENIJ ISKOMOJ FUNKCII I EE PROIZWODNYH PRI ZADANNOM ZNA^ENII

y(x0) = y0

z A D A ^ A k O [ I DLQ URAWNENIQ SOSTOIT W NAHOVDENII ^AST- NOGO RE[ENIQ URAWNENIQ, UDOWLETWORQ@]EGO ZADANNYM NA^ALXNYM USLOWIQM.

o B ] I M R E [ E N I E M URAWNENIQ NAZYWAETSQ FUNKCIQ

y= y(x C1 C2) KOTORAQ UDOWLETWORQET SLEDU@]IM USLOWIQM:

1)FUNKCIQ SODERVIT DWE PROIZWOLXNYE POSTOQNNYE,

2)\TA FUNKCIQ QWLQETSQ RE[ENIEM URAWNENIQ PRI L@BYH ZNA^E- NIQH PROIZWOLXNYH POSTOQNNYH

3)PRI ZADANNYH NA^ALXNYH USLOWIQH PROIZWOLXNYE POSTOQNNYE MOVNO OPREDELITX EDINSTWENNYM OBRAZOM TAK, ^TO POLU^ENNOE ^ASTNOE RE[ENIE BUDET UDOWLETWORQTX ZADANNYM NA^ALXNYM USLO- WIQM.

116

tEOREMA kO[I. eSLI W URAWNENII			y00 = f(x y y0) FUNKCIQ
f (x y y0)	NEPRERYWNA WMESTE SO SWOIMI ^ASTNYMI PROIZWODNYMI
f0 (x y y0) I f0		(x y y0) W TO^KE	M0(x0 y0 y0 ) I EE OKRESTNOS-
y	y0		0

TI, TO URAWNENIE IMEET I PRI TOM EDINSTWENNOE ^ASTNOE RE[ENIE, UDOWLETWORQ@]EE ZADANNYM NA^ALXNYM USLOWIQM.

pERWOE NA^ALXNOE USLOWIE GEOMETRI^ESKI OZNA^AET ZADANIE TO^KI M0(x0 y0) NA PLOSKOSTI, WTOROE USLOWIE OZNA^AET, ^TO UGLOWOJ KO- \FFICIENT KASATELXNOJ K INTEGRALXNOJ KRIWOJ W \TOJ TO^KE DOLVEN RAWNQTXSQ y00 :

gEOMETRI^ESKIJ SMYSL ZADA^I kO[I DLQ URAWNENIQ WTOROGO PO-

RQDKA SOSTOIT W TOM, ^TO IZ WSEGO MNOVESTWA INTEGRALXNYH KRIWYH, OPREDELQEMYH OB]IM RE[ENIEM URAWNENIQ, NEOBHODIMO OTOBRATX TU EDINSTWENNU@, KOTORAQ PROHODIT ^EREZ TO^KU M0(x0 y0) I PRI \TOM IMEET W \TOJ TO^KE KASATELXNU@ S UGLOWYM KO\FFICIENTOM y00 .

nAPRIMER, DLQ URAWNENIQ DWIVENIQ S00 = S(t S S0) S NA^ALX- NYMI USLOWIQMI S(t0) = S0 S0(t0) = S00 = v0 MEHANI^ESKIJ SMYSL ZADA^I kO[I SOSTOIT W TOM, ^TO NEOBHODIMO NAJTI TAKOJ ZAKON DWI-

VENIQ, ^TOBY W MOMENT WREMENI t0	TO^KA PRO[LA PUTX S0 I IMELA
W \TOT MOMENT WREMENI SKOROSTX S0	(t0) = S0 = v0.
	0

z A M E ^ A N I E. aNALITI^ESKIJ APPARAT RE[ENIQ URAWNENIJ WYS[EGO PORQDKA DOSTATO^NO HORO[O RAZRABOTAN DLQ LINEJNYH URAW- NENIJ. nELINEJNYE URAWNENIQ MOVNO ANALITI^ESKI RE[ITX TOLXKO, ESLI UDAETSQ PONIZITX PORQDOK URAWNENIQ DO PERWOGO. nO PONIZITX PORQDOK URAWNENIQ WOZMOVNO W SLEDU@]IH SLU^AQH.

2.2. pONIVENIE PORQDKA URAWNENIQ tIP I. uRAWNENIQ WIDA y(n) = f(x):

oTLI^ITELXNOJ OSOBENNOSTX@ TAKoGO URAWNENIQ QWLQETSQ OTSUT- STWIE W NEM W QWNOM WIDE SAMOJ ISKOMOJ FUNKCII y I EE PROIZWODNYH DO (n ;1) -GO PORQDKA WKL@^ITELXNO. rE[ENIE TAKOGO URAWNENIQ NA- HODITSQ PUTEM POSLEDOWATELXNOGO INTEGRIROWANIQ.

117

STANOWKA

KA, NE SODERVA]EE QWNO ISKOMU@ FUNKCI@

	1: y(4) = sin x ; 2x:
pOSLEDOWATELXNYM INTEGRIROWANIEM NAHODIM
y000	= Z y(4) dx = Z (sin x ;	2x) dx = ; cos x ; x2 + C1:
					x3
y00	= Z y000 dx = Z (; cos x ; x2 + C1) dx = ; sin x ; 3 + C1x + C2:
y0 = Z y00 dx = Z (; sin x ;		x3
y0 = Z y00 dx = Z (; sin x ;		3 + C1x + C2) dx =			x4	x2
	x4		x2	= cos x ;	12 + C1	2 + C2x + C3:
y = Z y0 dx = Z (cos x ; 12		+ C1 2		+ C2x + C3) dx =		x2
				x4	x3	x2
			= sin x ; 60 + C1		6 + C2	2 + C3x + C4:
oB]EE RE[ENIE URAWNENIQ				x4	x3	x2
oB]EE RE[ENIE URAWNENIQ			y = sin x ; 60 + C1 6 + C2 2 + C3x + C4:
			y = sin x ; 60 + C1 6 + C2 2 + C3x + C4:

tIP II. uRAWNENIQ WIDA F (x y(n;1) y(n)) = 0:

oTLI^ITELXNOJ OSOBENNOSTX@ TAKoGO URAWNENIQ QWLQETSQ OTSUT- STWIE W NEM SAMOJ FUNKCII y I EE MLAD[IH PROIZWODNYH DO n;2 -GO PORQDKA WKL@^ITELXNO. tAKOE URAWNENIE SWODITSQ K URAWNENI@ PER- WOGO PORQDKA PODSTANOWKOJ y(n;1) = z(x):

~ASTNYM SLU^AEM \TOGO TIPA QWLQETSQ URAWNENIE WTOROGO PORQD- y: F(x y0 y00) = 0: pOD-

y0 = z(x) y00 = (y0)0x = z0(x)

PRIWODIT URAWNENIE K URAWNENI@ PERWOGO PORQDKA

F (x z(x) z0(x)) = 0:

rE[AQ \TO URAWNENIE, NAHODIM FUNKCI@ z(x C1) =						y0 A ZATEM
						x
ISKOMU@ FUNKCI@	Z	y(x C1 C2)
	Z	x	Z
y =	y0 dx =			z(x C1) dx + C2	:

2: y00 x ln x ; y0 = 0:

uRAWNENIE WTOROGO PORQDKA NE SODERVIT W QWNOM WIDE FUNKCI@ y. wOSPOLXZUEMSQ PODSTANOWKOJ y0 = z(x) TOGDA y00 = (y0)0x = z0(x): pOLU^AEM URAWNENIE PERWOGO PORQDKA OTNOSITELXNO FUNKCII z(x)

z0 x ln x ; z = 0:

118

|TO URAWNENIE DOPUSKAET RAZDELENIE PEREMENNYH

dx x ln x = z

z =

x ln x

ln jzj = ln j ln xj + ln C1

z = C1 Zln x:

nAHODIM FUNKCI@ y(x): tAK KAK

y0 = z

(x) = C1 ln x TO

;

y =

y0 dx =

C1 ln x dx = C1 x(ln x

1) + C2:

oB]EE RE[ENIE URAWNENIQ

y = C1 x(ln x ; 1) + C2:

3: x3y00 + x2y0

= 1 y(1) = 1

y0(1) = 0:

pOLU^IM SNA^ALA OB]EE RE[ENIE. dANNOE URAWNENIE { URAWNENIE WTO- ROGO PORQDKA, KOTOROE NE SODERVIT W QWNOM WIDE FUNKCI@ y. rE[IM URAWNENIE PO ANALOGI^NOJ SHEME.

x3y00 + x2y0 = 1 )

NET QWNO y

) x3 z0 + x2 z = 1:

y0 = z(x) y00 = z0(x)

z0 + x

= x3 :

rAZDELIM NA x

POLU^AEM LINEJNOE URAWNENIE

z(x) = U(x)V (x) z0 = U0V + UV 0 U0V + UV 0 +

UV =

V 0 + Vx ! =

U0V + U

V 0 + V = 0

U0 V =

U0 x1 =

dU =

dU = dx2

= ; x

ln V = ; ln x V = x1 :

U =

dxx2 = ;x1

+ C1:

tAKIM OBRAZOM

z(x) = U V = C1 ; x! x:

sLEDOWATELXNO

y0 = z(x) = C1

1 1 y

z(x) dx =

1 dx =

= Z

; x

! x

; x!

;

dx = C1 ln jxj + x

+ C2:

oB]EE RE[ENIE

y = C1 ln jxj + x

119

nAJDEM ^ASTNOE RE[ENIE URAWNENIQ.

y(1) = 1

1 = C

ln 1 + (1=1) + C

(1) = 0

80 = (C1

j 1j=1)

(1=1) 2

8y = C1 ln jxj + x + C2

y0 = (C1

; 1=x) (1=x)

;

1 = 1 + C2

C2 = 0

0 = C1 ; 1

C1 = 1:

y = ln jxj + x1 :

~ASTNOE RE[ENIE:

4: y000tg x = y00 + 1:

dANNOE URAWNENIE { URAWNENIE TRETXEGO PORQDKA, KOTOROE NE SO-

DERVIT W QWNOM WIDE FUNKCI@ y.

dELAEM ZAMENU

y00

= z(x) TOGDA

y000 = z0(x):

+ 1:

uRAWNENIE PRIMET WID

z0 tg x = z

|TO URAWNENIE S RAZDELQ@]IMISQ PEREMENNYMI

= ctg x dx

z + 1

tg x

z + 1

ln jz + 1j = ln j sin xj

+ ln C1

z + 1 = C1 sin x:

nAHODIM

z(x) = C1 sin x ; 1:

) y0 =

dALEE

y00 = z(x) = C1

sin x ; 1

z(x) dx

; x + C2:R

y0 =

(C1 sin x ; 1) dx = ;C1 cos x

i, NAKONECR

, POLU^AEM OB]EE RE[ENIE ISHODNOGO URAWNENIQ

y =

y0 dx =

(;C1

cos x;x+C2)dx = ;C1 sin x;x2=2+C2 x+C3:

y = ;C1 sin x ; x =2 + C2 x + C3:

tIP III. uRAWNENIQ WTOROGO PORQDKA WIDA F (y y0 y00) = 0:

hARAKTERNOJ OSOBENNOSTX@ TAKOGO URAWNENIQ QWLQETSQ OTSUTSTWIE W NEM W QWNOM WIDE NEZAWISIMOJ PEREMENNOJ x. pORQDOK URAWNENIQ MOVNO PONIZITX DO PERWOGO PODSTANOWKOJ

y0 = p(y)	TOGDA y00	= p0	y0	= p0	p = dp		p:
x	xx	y	x	y	dy

(w DANNOM SLU^AE DLQ NAHOVDENIQ y00 ISPOLXZUETSQ PRAWILO DIFFE-

RENCIROWANIQ SLOVNOJ FUNKCII.)

120

5: y00 ; y0ey = 0:

y00

;

y0ey = 0

)

nET QWNO x

)

; pey = 0

)

y0 = p(y) y0 = p0 p

p (p0

;

ey) = 0:

1) p = 0

= 0

y = const:

Z dp = Z

+ C1

= e )

e dy ) p = e

tOGDA

) Z

= Z

= ey + C1

) dx = ey + C1

dx:

ey + C1

POLU^AEM

(y ; ln(C1 + e )) = x + C2

iNTEGRIRUQ

rE[ITX ZADA^U kO[I

y00 = p

y(0) = y0(0) = 0:

y00 =

NET QWNO x

) p0

)

y0 = p(y) y0

= p0

p =

) dy p =

Z p dp = Z p

)

2 = 2py +

) p = q4py + C1:

tAK KAK y0(0) = p(0) = 0

I y(0) = 0

TO MOVNO SRAZU NAJTI C1.

+ C1

)

0 =

C1 = 0:

iTAK,

IMEEM

y0 = 4p

+ 0 = 2p

)

qdy

2py

)

+ C2:

2py

tAK KAK

y(0) = 0, TO

32p03 = 0 + C2

) C2 = 0:

4=3

oKON^ATELXNO, ^ASTNOE RE[ENIE

x = 3qy3: ILI

y =

2 x!

rE[ITX ZADA^U kO[I

y00

= 32 sin3 y cos y

y(1) =

y0(1) = 4:

w URAWNENII OTSUTSTWUET W QWNOM WIDE x PO\TOMU DELAEM ZAMENU

121

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 / 2112 13 14 15 16 17 18 19 20 21 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
20.12.2018280.58 Кб1Теория организации для ТПУ.doc
#
29.05.2015516.61 Кб25Теория экзамен.doc
#
02.05.2019210.94 Кб5теория_«SWOT» анализ_сам.работа.doc
#
12.11.201975.69 Mб0Теория_БЖД_практика.doc
#
30.07.2019118.89 Кб2ТерВер_шпора.docx
#
29.05.20152.54 Mб136Терёхина, Фикс - Высшая математика.pdf
#
22.11.20191.87 Mб7Терминология.doc
#
29.05.201537.45 Кб27Термодин 1-10.docx
#
29.05.201513.16 Кб24Термодин 21-30.docx
#
29.05.201523.55 Кб19Термодин 31-40.doc
#
29.05.2015194.56 Кб17Термодин 71-80.doc