Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Томский Политехнический Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Терёхина, Фикс - Высшая математика

.pdf

Скачиваний:

136

Добавлен:

29.05.2015

Размер:

2.54 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1920 / 2120 21 > Следующая >>>

3.2. rQDY mAKLORENA \LEMENTARNYH FUNKCIJ

1: ex = 1 + x +		x2	+	x3	+ : : : + xn		+ : : :
		2!		3!		n!
2: shx = x +	x3	+	x5	+	: : : +	x2n;1		+ : : :
	3!		5!			(2n ; 1)!

3: chx = 1 +	x2	+	x4	+	: : : +	x2n;2		+ : : :
	2!		4!			(2n ; 2)!

4:	sin x	=	x	;	x3	+	x5
					3!		5!
5:	cos x	=	1	;	x2	+	x4
					2!		4!

; : : : + (;1)n;1	x2n;1	+ : : :
	(2n ; 1)!
; : : : + (;1)n;1	x2n;2	+ : : :
	(2n ; 2)!

6: (1 + x)m = 1 + mx

m(m

; 1)

x2 +

m(m ;

1)(m ; 2)

x3 + : : :

(BINOMINALXNYJ RQD)

= 1 ; x + x2 ; x3 + : : : + (;1)n;1xn + : : :

1 + x

8: ln (1 + x) = x ;

1 xn

2 +

3 ; : : : + (;1)

;

n + : : :

x2n;1

arctg x =

;

; : : : + (;1)

;

(2n ; 1)

+ : : :

10:

arcsin x

x +

1 x3

+ 1

5 x7 + : : :

2 3

2! 5

23 3! 7

rQDY S 1-GO PO 5-YJ SHODQTSQ NA WSEJ ^ISLOWOJ PRQMOJ x 2 (;1 +1), A RQDY 6,7,9 I 10-YJ SHODQTSQ W INTERWALE x 2 (;1 1): rQD DLQ ln(1+x) SHODITSQ DLQ x 2 [;1 1)

184

iSPOLXZOWANIE RQDA

= 1 + x +

2! + 3! + : : : + n! + : : :

2: y = e2x

x0 = 0:

(zAMENQEM W GOTOWOM RAZLOVENII x NA

2x)

+ (2x)

+ : : : = 1 + 2x + 2

e2x = 1 + (2x) + (2x)

+ : : :

3: y = e;x2

x0 = 0:

(zAMENQEM x NA

;x2)

(

x )

(

x )

e;x = 1 + (;x2) +

+ : : : = 1 ; x2

;

;2!

;3!

3! + : : :

4: y = e;3x

x0 = 1:

tAK KAK x0 = 1 TO RAZLOVENIE BUDET PO STEPENQM (x ; 1) PO\TOMU

PREOBRAZUEM ISHODNU@ FUNKCI@ SLEDU@]IM OBRAZOM:

e;3x = e;3(x;1+1) = e;3(x;1)

e;3:

w STANDARTNOM RAZLOVENII FUNKCII ex ZAMENQEM x NA (

3(x

1))

e;3(x;1) = 1 3(x 1)+3

; 1)

;

+: : :+(;1)

(x ; 1) +: : :

;

pOLU^ENNYJ RQD UMNOVAEM NA e;3

e;3x = e;3(x;1)

e;3

= e;3

;

3(x

;

1)+ 32 (x ; 1)2

;

33(x ;

1)3

+: : : :

5: y = 3x

x0 = 0:

dLQ TOGO, ^TOBY MOVNO BYLO WOSPOLXZOWATXSQ STANDARTNYM RAZLO-

VENIEM FUNKCII

ZAPI[EM ISHODNU@ FUNKCI@ W WIDE

3x = eln 3x = ex ln 3,

tOGDA

(x ln 3)2

(x ln 3)3

3x = ex ln 3 = 1 + (x ln 3) +

+ : : : =

= 1 + x ln 3 + x2 ln2 3

+ x3

ln3

+ : : : + xn lnn 3

+ : : :

+: : :+(;1)n;1

x2n;2

cos x= 1;

2! +

+: : :

iSPOLXZOWANIE RQDOW

(2n

2)!

2n;1

;

sin x= x;

+: : :+(;1)

;

(2n;1)!

+: : :

6: y = cos 3x

x0 = 0:

w STANDARTNOM RAZLOVENII ZAMENQEM x NA 3x

cos 3x = 1 ;

(3x)2

(3x)4

32 x2

34 x4

; : : :

; : : : = 1 ;

185

7:	y = sin(x2)			x0 = 0:
w STANDARTNOM RAZLOVENII ZAMENQEM x NA x2
	2	2	x6	x10	(n	1)	x4n;2
sin x		= x	; 3! + 5! + : : : + (;1)		;		(2n ; 1)! + : : :
8:	y = cos x			x0 = =4:

zDESX WOSPOLXZOWATSQ [ABLONNYM RQDOM SRAZU NELXZQ, T.K. RAZLOVE- NIE NEOBHODIMO PROWESTI PO STEPENQM (x; =4): nEOBHODIMO PROWESTI PREDWARITELXNYE PREOBRAZOWONIQ:

cos x= cos[(x; =4)+ =4] = cos(x; =4) cos =4;sin(x; =4) sin =4 = :::

tEPERX MOVNO ISPOLXZOWATX [ABLONNYE RAZLOVENIQ DLQ sin x cos x

ZAMENIW x NA (x

; =4), RASKRYTX SKOBKI, PRIWESTI PODOBNYE ^LENY

I ZAPISATX POLU^ENNYJ RQD W PORQDKE WOZRASTANIQ STEPENEJ. nO OKA-

ZYWAETSQ, ^TO W DANNOM SLU^AE PRO]E POLU^ITX RQD NEPOSREDSTWENNO,

WY^ISLQQ EGO KO\FFICIENTY PO FORMULE

cn =

f(n)(x0)

f(x) = cos x x0 = =4

f(x0) = cos( =4) = p2=2

f0(x) =

; sin x

f0(x0) =

; sin( =4) = ;p

f00(x) =

;

cos x

f00(x0) =

;

cos( =4) =

;

p2=2

f000(x) = sin x

f000(x0) = sin( =4) =

2=2 :::

oKON^ATELXNO POLU^AEM RQD PO STEPENQM (x ; =4)

cos x= p2

01;(x; =4);(x;2!=4)2

+ (x;3!=4)3

+ (x;4!=4)4

;:::1 :

zAMETIM, ^TO ISPOLXZOWATX GOTOWYE RAZLOVENIQ MOVNO I DLQ FUNK-

CIJ sin2 kx

cos2 kx

ISPOLXZUQ FORMULY PONIVENIQ STEPENI

sin2 x =

1 ; cos 2x

cos2 x = 1 + cos 2x

9: y = ex cos x

x0 = 0:

ex cos x = 01 + x

: : :1

: : :1 :

2! +

01 ; 2!

4! ;

pEREMNOVAEM \TI WYRAVENIQ I PRIWODIM PODOBNYE ^LENY

5x4

1 + x+ 2! +

3! ;

2! ; 3! ;

;

+ = 1 + x; 3 ; 24 ;

12 + : : :

(2!)2

2!3!

186

iSPOLXZOWANIE RQDA

= 1 ; x + x2 ; x3 + ::: + (;1)n xn + :::

1 + x

10: y =

x0 = 0:

;

pREOBRAZUEM ISHODNU@ FUNKCI@ y =

; x

1 ; (x=4)

I W STANDARTNOM RAZLOVENII x ZAMENQEM NA ;(x=4)

4 01 +

16 +

+ : : :1 :

;

(x=4)

x + 5

= 0:

11: y = x

;

x + 5

= x ;

3 + 3 + 5 = (x ;

3) + 8

wYDELIM CELU@ ^ASTX

;

= 1 + 8

= 1 ;

;

; x=3

dALEE POSTUPAEM, KAK W PRIMERE

10.

12:

y =

x0 = 0:

(x + 1)(x

;

rAZLOVIM DROBX NA SUMMU PROSTEJ[IH DROBEJ

;

! =

(x + 1)(x

;

x + 1

;

x + 1

= 3

;

1 = 3

;

1 =

2(1

;

x=2)

1 + x

;

x=2

1 + x

01 +

:::1

1 ; x + x2 ; x3 + ::: = :::

= ;6

8 +

;

= ;2 + 4x ;

8x2

x3 + :::

13: y =

= ;3:

x + 2

(x + 3)

pODGOTOWIM FUNKCI@ K RAZLOVENI@ PO STEPENQM

= ;

= ;1 ; (x + 3) ; (x + 3)2 ; : : :

x + 2

(x + 3) ; 1

1 ; (x + 3)

iSPOLXZOWANIE RQDA

(1 + x)m = 1 + mx

m(m ; 1)

x2 + : : : :

14: y = p

x0 = 0:

1 + x2

w [ABLONNOM RQDE x ZAMENQEM NA x2

m = 1=2:

187

p1 + x2 = (1 + x2)1=2 = 1 + 12 x2 + 12 (122!; 1)x4 + ::: = = 1 + 12x2 ; 2212! x4 + 213 3!3 x6 + : : :

aNALOGI^NO SWODQTSQ K \TOMU VE RAZLOVENI@ FUNKCII TIPA

15: y = p

; x3 x0 = 0:

1=3

q8(1 ; x3=8) = 2 1 ; x3

m = 1=3

x ! (;x3=8):

16: y =

x0 = 0:

p1 ; 2x

= (1

;

2x);1=4, m =

;

1=4 x

(

;

2x):

p1 ; 2x

17: y = p

x0 = 9

= p

= v

1=2

9 1 + x ; 9

= 3 1 + x ; 9

9 + x

;

m = 1=2 x

x ;t9:

18: y =

x0 = 4:

1 +

(4 + x ; 4)3

1 + x ;4 4!3

m =

;

x ; 4:

	x2
iSPOLXZOWANIE RQDA	ln (1 + x) = x ; 2
19: y = ln(1 ; 3x2)	x0 = 0:

w [ABLONNOM RQDE ZAMENQEM x NA (;3x2)

	x3	; : : : + (;1)n;1	xn
+	3	; : : : + (;1)n;1	n + :::

ln (1 ;	3x2) = (;3x2) ; (;32x2)2 + (;33x2)3		; : : : =
= ;3x2 ;	32 x4	33 x6
= ;3x2 ;	2 ;	3 ; : : :

188

20: y = ln v

1 + 2x

x0 = 0:

;

pREOBRAZUEM FUNKCI@:

y = ln v

1 + 2x

= 1 ln 1 + 2x

= 1 ln(1 + 2x)

1 ln(1

x):

;

; 2

;

tEPERX DLQ RAZLOVENIQ W RQD PERWOJ FUNKCII W [ABLONNOM RQDE

ZAMENQEM x NA (2x) A DLQ WTOROJ {ZAMENQEM x NA (;x) A ZATEM POLU-

^ENNYE RQDY SUMMIRUEM

y =

02x

4x2

8x3

; : : :1

;

2 ln(1 + 2x) ;

2 ln(1 ; x) = 2

;

+ 3

(

;: : :1 = x;x2

x x

;2 0x

;

;: : :

;2x+

4 + 6

+: : :=

2x ;

4x2

2x3 + : : : :

21: y = ln x x0 = 3:

pREOBRAZUEM ISHODNU@ FUNKCI@ SLEDU@]IM OBRAZOM

ln x = ln(x ; 3 + 3) = ln " 3

1 +

x ;3

! # = ln 3 + ln

1 +

x ;3

tEPERX W RAZLOVENII FUNKCII

ln(1+x)

ZAMENIM x NA x ; 3 I K RE-

ZULXTATU PRIBAWIM ln 3:

ln x = ln 3+ x ; 3

;

(x ; 3)2

(x3; 3)3

;

: : :

32 2

z A M E ^ A N I E. ~TOBY POLU^ITX RAZLOVENIE W RQD mAKLORENA FUNKCIJ WIDA

x3 cos 2x

x sin2 x

1 ; e;x2

1 ; cos x

arctg x

sin x

ln(1 +

5x)

x2 p32 + x5 :::

1 ; x4

ZAPISYWAEM RAZLOVENIQ W RQD FUNKCIJ, ISPOLXZUQ STANDARTNYE RAZ- LOVENIQ, A ZATEM UMNOVAEM ILI DELIM RQDY PO^LENNO NA xk:

22: y = p

x0 = 0:

;

1=2

);

zAPI[EM FUNKCI@ W WIDE

y = x

(1 ; x

sTROIM RQD DLQ FUNKCII

);

1=2

ZAMENIW W STANDARTNOM RAZ

; x

LOVENII (1 + x)m : m = ;1=2

x !

(;x2) A ZATEM UMNOVAEM

189

POLU^ENNYJ RQD NA x3:

x3 (1 ; x2);1=2 = x3

(

;

1=2)(

3=2)

(;x2)2 +

: : :1 =

; 2(;x2) +

2!;

= x3

1 + 2 x2 +

22 2!

x4 + : : :!

= x3 + 2 x5 +

22 2!

+ : : : :

23: y =

arctgx3

x0 = 0:

iSPOLXZUEM STANDARTNOE RAZLOVENIE W RQD FUNKCII arctg x

arctgx3

0x3

x15

x3(2n;1)

+ : : :1 =

y =

;

3 +

5 ; : : : + (;1)n;1

(2n

; 6n

; : : : + (;1)n;1

;

= 1 ; 3 +

+ : : : :

(2n

;

pOLU^IM RQD mAKLORENA DLQ INTEGRALXNOGO SINUSA

x sin x

24: Si x = Z

x0 = 0:

iSPOLXZUEM STANDARTNOE RAZLOVENIE W RQD FUNKCII sin x

x sin x

x2n;1

dx = Z

0x ; 3!

5! ; : : : + (;1)n;1

+ : : :1 dx =

(2n

;

1)!

x4@

= Z

x2n;2

+ : : :1 dx =

;

3! +

5! ; : : : + (;1)n;1

(2n

1)!

;

= x

: : :

(;1)

;

x2n;1

+ : : : :

; 3 3!

;

5 5!

(2n ; 1) (2n ; 1)!

3.3. iSPOLXZOWANIE RQDOW W PRIBLIVENNYH WY^ISLENIQH

oSOBENO \FFEKTIWNYM QWLQETSQ ISPOLXZOWANIE STEPENNYH RQDOW K PRIBLIVENNYM WY^ISLENIQM OPREDELENNYH INTEGRALOW S ZADANNOJ STEPENX@ TO^NOSTI. tAK POSTUPA@T W TEH SLU^AQH, KOGDA INTEGRAL NELXZQ WY^ISLITX PO FORMULE nX@TONA-lEJBNICA W SILU NEINTEGRI- RUEMOSTI PODYNTEGRALXNOJ FUNKCII, KOTORAQ LEGKO RASKLADYWAETSQ W STEPENNOJ RQD. pRI \TOM NEOBHODIMO TOLXKO IMETX W WIDU, ^TO WSE NA[I DEJSTWIQ BUDUT PRAWOMO^NY I IMETX REALXNYJ WYHOD, ESLI INTERWAL, W KOTOROM MY RABOTAEM, CELIKOM PRINADLEVIT INTERWALU SHODIMOSTI POSTROENNOGO RQDA.

pRI WY^ISLENII OPREDELENNYH INTEGRALOW NEOBHODIMO: 1. rAZLOVITX PODYNTEGRALXNU@ FUNKCI@ W RQD.

190

2.pROINTEGRIROWATX EGO PO^LENNO, ISPOLXZUQ FORMULU nX@TONA-lEJBNICA.

3.oPREDELITX, KAKOE KOLI^ESTWO ^LENOW RQDA NUVNO OSTAWITX DLQ POLU^ENIQ NUVNOJ TO^NOSTI WY^ISLENIQ. oCENITX POGRE[NOSTX WY- ^ISLENIJ NAIBOLEE PROSTO W SLU^AQH, ESLI POLU^IW[IJSQ RQD QWLQ- ETSQ SHODQ]IMSQ ZNAKO^EREDU@]IMSQ RQDOM. tOGDA, SOGLASNO PRI- ZNAKU lEJBNICA, SUMMA WSEH OTBRO[ENNYH ^LENOW RQDA, QWLQ@]AQSQ POGRE[NOSTX@ WY^ISLENIJ, NE PREWY[AET PO ABSOL@TNOJ WELI^INE

PERWOGO IZ OTBRO[ENNYH ^LENOW RQDA, T.E. j j = j Rn(x) j < un+1:

w SLU^AE ZNAKOPOLOVITELXNYH RQDOW POGRE[NOSTX OCENITX TRUD- NEE. dLQ \TOGO NEOBHODIMO OCENITX WELI^INU OSTATKA RQDA, ISPOLX- ZUQ ODNU IZ FORM OSTATO^NOGO ^LENA FORMULY tEJLORA.

wY^ISLITX SLEDU@]IE INTEGRALY S TO^NOSTX@ DO

0,001.

1=2 1

cos x

iSPOLXZUEM RQD mAKLORENA FUNKCII

1: Z

;x2

dx:

cos x

1=2 1

cos x

1=2

;x2

dx = Z

; (1 ;

2! +

4! ;

6! : : : )] dx =

1=2

= Z

(

; 4! +

6! + : : : ) dx = (

;

; : : : ) j0

3 4!

5 6!

= 2

;

; : : : 0 248:

dLQ WY^ISLENIQ INTEGRALA S ZADANNOJ

TO^NOSTX@

OKAZALOSX DOSTA-

TO^NO WZQTX DWA PERWYH SLAGAEMYH, T.K. TRETXE SLAGAEMOE, OPREDELQ-

@]EE POGRE[NOSTX WY^ISLENIJ, ESTX UVE WELI^INA PORQDKA 10;5.

1=4

x = t2

dx = 2t dt

1=2

Z arctg

x dx = j

j = 2 Z

t arctg t dt =

0 < t < 1=2

1=2

= 2 Z t (t ;

5 ; : : : ) dt == 2 Z t (t2

;

3 +

5 ; : : : ) dt =

1=2

= 2( 3 ;

; :::) j0

;

; :::

0 079:

3 23

15 25

35 27

dLQ WY^ISLENIQ HWATILO PERWYH DWUH SLAGAEMYH, T.K.

TRETXE SLAGAE-

MOE, OPREDELQ@]EE POGRE[NOSTX WY^ISLENIJ, ESTX WELI^INA PORQDKA

0 0004:

191

3:	2:4		dx	= 2:41		1 + (x=3)4	;1=4 dx =
		4
	0
				0	3
	Z p81 + x4			Z

rASKLADYWAEM W RQD PODYNTEGRALXNU@ FUNKCI@, PROWEDQ NEOBHODI-

MYE PREOBRAZOWANIQ ( m = ;1=4

(x=3)4 )

2:4

1 x

4 +

;4 ;1

8 +

;1 ;4

; 2

12 +: : : dx=

3Z 0

;

4 3

1 x

9 x

2:4

12 + : : :

dx =

; 4 3

;

2! 3

1 x

13A

2:4

1 5 3 x

0x;

4 3 5 3

! +

9 3 ! ;

13 3

: : :1 j0

1 1

= (0 8)

;4 5 (0 8)5 +

(0 8)9 ;

(0 8)13 +: : :

0 784:

tRETIJ ^LEN RAZLOVENIQ

BOLX[E 0.001, PO\TOMU

DLQ PODS^ETA BEREM

TRI ^LENA RAZLOVENIQ, A POGRE[NOSTX OPREDELQETSQ ^ETWERTYM ^LE-

NOM RQDA I SOSTAWLQET 5 10;5:

1=9

e;x dx:

rASKLADYWAEM W RQD FUNKCI@ e;x, PROWEDQ NEOBHODIMYE ZAMENY, ZA-

TEM UMNOVAEM ^LENY POLU^ENNOGO RQDA NA px I POLU^AEM FUNKCIO-

x2px

x3px

NALXNYJ RQD px e;x = px

; xpx +

;

+ : : :

lEGKO POKAZATX, ^TO \TOT RQD RAWNOMERNO SHODITSQ, TAK KAK EGO ^LE-

NY NE PREWOSHODQT ^LENOW SHODQ]EGOSQ ^ISLOWOGO RQDA

an pa

GDE

n=1

a; NEKOTOROE POLOVITELXNOE ^ISLO. pO\TOMU FUNKCIONALXNYJ RQD

MOVNO PO^LENNO INTEGRIROWATX

1=9

x2px

x3px

Z px e;x dx = Z

0px

; xpx +

;

+ : : :1 dx =

1=9

= "

3 x3=2

; 5 x5=2 +

x7=2 ; : : :# j0

;

; : : :

0 023:

dLQ WY^ISLENIQ INTEGRALA S TO^NOSTX@

DO 0.001

DOSTATO^NO WZQTX

DWA ^LENA POLU^ENNOGO RQDA, A POGRE[NOSTX BUDET OPREDELQTXSQ TRETXIM ^LENOM RAZLOVENIQ I SOSTAWIT WELI^INU PORQDKA 2 10;4:

192

]IH ODNOSTORONNIH PREDELOW

4. rQDY fURXE

4.1. rQD fURXE DLQ PERIODI^ESKOJ S PERIODOM
T = 2 FUNKCII,	ZADANNOJ NA INTERWALE						[;	]
rQDOM fURXE DLQ PERIODI^ESKOJ S PERIODOM						T = 2 FUNKCII
y = f(x) OPREDELENNOJ NA INTERWALE [;						] NAZYWAETSQ TRIGO-
NOMETRI^ESKIJ RQD
	a0		1
f(x) =	2	+	X	an	cos nx + bn sin nx			(1)
	2		n=1
			n=1
KO\FFICIENTY a0	an		I bn		NAHODQTSQ PO FORMULAM fURXE
a0 = 1;Z f(x) dx an = 1;Z f(x) cos nx dx						bn = 1;Z f(x) sin nx dx:
uSLOWIQ PREDSTAWIMOSTI DANNOJ FUNKCII RQDOM fURXE I SLEDSTWIQ
\TOGO RAZLOVENIQ OGOWARIWA@TSQ SLEDU@]EJ TEOREMOJ.
tEOREMA dIRIHLE.
pUSTX FUNKCIQ y = f(x) NA INTERWALE [;						]	IMEET KONE^NOE ^IS-

LO \KSTREMUMOW I QWLQETSQ NEPRERYWNOJ ZA ISKL@^ENIEM KONE^NOGO ^ISLA TO^EK RAZRYWA 1-GO RODA (TO^EK KONE^NOGO SKA^KA FUNKCII). tOGDA RQD fURXE \TOJ FUNKCII SHODITSQ W KAVDOJ TO^KE INTERWA- LA [; ] I EGO SUMMA S(x) UDOWLETWORQET USLOWIQM:

1) w KAVDOJ TO^KE NEPRERYWNOSTI FUNKCII RQD fURXE SHODITSQ K ZNA^ENI@ FUNKCII W \TOJ TO^KE S(x) = f(x):

2) w KAVDOJ TO^KE KONE^NOGO RAZRYWA FUNKCII SUMMA RQDA fU-

RXE RAWNA POLUSUMME ODNOSTORONNIH PREDELOW FUNKCII W \TIH TO^KAH

S(x) = 12[f(x0 ; 0) + f(x0 + 0)]:

3) w KONCEWYH TO^KAH INTERWALOW PERIODI^NOSTI FUNKCII SUMMA

RQDA fURXE TAKVE RAWNA SREDNEMU ARIFMETI^ESKOMU SOOTWETSTWU@-

S(x) = 12[f(; ; 0) + f( + 0)]:

193

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1920 / 2120 21 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
20.12.2018280.58 Кб1Теория организации для ТПУ.doc
#
29.05.2015516.61 Кб25Теория экзамен.doc
#
02.05.2019210.94 Кб6теория_«SWOT» анализ_сам.работа.doc
#
12.11.201975.69 Mб0Теория_БЖД_практика.doc
#
30.07.2019118.89 Кб2ТерВер_шпора.docx
#
29.05.20152.54 Mб136Терёхина, Фикс - Высшая математика.pdf
#
22.11.20191.87 Mб7Терминология.doc
#
29.05.201537.45 Кб27Термодин 1-10.docx
#
29.05.201513.16 Кб24Термодин 21-30.docx
#
29.05.201523.55 Кб19Термодин 31-40.doc
#
29.05.2015194.56 Кб17Термодин 71-80.doc