Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Томский Политехнический Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Терёхина, Фикс - Высшая математика

.pdf

Скачиваний:

136

Добавлен:

29.05.2015

Размер:

2.54 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1617 / 2117 18 19 20 21 > Следующая >>>

~ISLOWOJ RQD NAZYWA@T SHODQ]IMSQ, ESLI ON IMEET SUMMU (W \TOM SLU^AE SU]ESTWUET KONE^NYJ PREDEL POSLEDOWATELXNOSTI ^ASTI^NYH

SUMM RQDA) I RASHODQ]IMSQ,		ESLI TAKOWAQ NE SU]ESTWUET ( lim Sn NE
SU]ESTWUET). eSLI ^ISLOWOJ RQD SHODITSQ,						n!1
SU]ESTWUET). eSLI ^ISLOWOJ RQD SHODITSQ,						TO, ESTESTWENNO, ON IMEET
SUMMU.
	1		3
1: nAJTI SUMMU RQDA	X					:
	X		9n2 + 3n	;	2
	n=1		9n2 + 3n		2
	n=1

zAPI[EM OB]IJ ^LEN RQDA W WIDE RAZNOSTI DWUH DROBEJ (\TO LEG- KO SDELATX, ISPOLXZUQ RAZLOVENIE DROBI NA PROSTEJ[IE SLAGAEMYE I

METOD NEOPREDELENNYH KO\FFICIENTOW)

un =

;

9n2 + 3n ; 2

(3n ; 1)(3n + 2)

3n ; 1

3n + 2

I WYPI[EM NESKOLXKO ^LENOW RQDA

u1 =

2 ; 5

= 5

;

= 8

;

u4 =

;

:::

un;1 =

un =

3n ; 4 ; 3n ; 1

3n ; 1 ; 3n + 2

sOSTAWIM WYRAVENIE DLQ n; OJ ^ASTI^NOJ SUMMY

Sn = u1 + u2 + : : : + un;1 + un =

= 2 ;5

+ 5

;8 +

8 ;

;

+: : :+

;

3n;4

3n;1

3n+2

wIDNO, ^TO W REZULXTATE SLOVENIQ OSTANUTSQ TOLXKO PERWOE I POSLED-

NEE SLAGAEMYE

Sn =

;

tOGDA SUMMA RQDA

3n + 2

S = lim Sn

= lim

1 :

2 ; 3n + 2!

n!1

2 n

nAJTI SUMMU RQDA

n=1

sUMMU TAKOGO RQDA

S =

5 +

5! +

+ ::: +

+ :::

MOVNO RASSMATRIWATX KAK SUMMU BESKONE^NO UBYWA@]EJ GEOMET-

RI^ESKOJ PROGRESSII

q + q2 + q3 + q4 + ::: +n +:::

SO ZNAMENATELEM q = 2

2=5

= 2

nAHODIM SUMMU PO IZWESTNOJ FORMULE

S =

1 ; q

1 ; 2=5

154

tAKIM OBRAZOM, RE[ITX WOPROS O SHODIMOSTI RQDA MOVNO PUTEM NE- POSREDSTWENNOGO NAHOVDENIQ ZNA^ENIQ SUMMY RQDA. nO W BOLX[IN- STWE SLU^AEW \TA ZADA^A POWY[ENNOJ SLOVNOSTI I RE[AETSQ LI[X W NEKOTORYH ^ASTNYH SLU^AQH, KOGDA UDAETSQ SOSTAWITX KOMPAKTNOE WYRAVENIE DLQ n; OJ ^ASTI^NOJ SUMMY S CELX@ POSLEDU@]EGO NA- HOVDENIQ EE PREDELA.

zNA^ITELXNO BOLEE PROSTO WOPROS O SHODIMOSTI ILI RASHODIMOSTI ^ISLOWOGO RQDA, A ZNA^IT I WOPROS O SU]ESTWOWANII EGO SUMMY, RE- [AETSQ S POMO]X@ DRUGIH DOSTATO^NYH PRIZNAKOW SHODIMOSTI. rAS- SMOTRIM SNA^ALA WAVNYE PONQTIQ I SWOJSTWA RQDOW.

o P R E D E L E N I E. oSTATKOM RQDA POSLE n; GO ^LENA NAZYWA- @T RQD, POLU^ENNYJ IZ DANNOGO PUTEM OTBRASYWANIQ EGO n PERWYH

	X
^LENOW Rn = un+1 + un+2 + ::: =	1 uk :
	k=n+1

tOGDA SUMMA RQDA MOVET BYTX ZAPISANA WYRAVENIEM

S = u1 + u2 + ::: + un + un+1 + un+2 + ::: = Sn + Rn:

tAK KAK SUMMA PERWYH n ^LENOW RQDA WSEGDA ESTX KONE^NOE ^ISLO, TO SHODIMOSTX RQDA OPREDELQETSQ SHODIMOSTX@ EGO OSTATKA. oSTATOK RQDA Rn = S ;Sn ESTX RAZNOSTX MEVDU SUMMOJ WSEGO RQDA I SUMMOJ n EGO PERWYH ^LENOW. pO\TOMU OSTATOK RQDA PO ABSOL@TNOJ WELI^I- NE POKAZYWAET, KAKU@ O[IBKU MY DOPUSKAEM PRI ZAMENE SUMMY RQDA SUMMOJ KONE^NOGO ^ISLA PERWYH EGO ^LENOW.

sWOJSTWA SHODQ]IHSQ ^ISLOWYH RQDOW

1.rQD I EGO OSTATOK LIBO ODNOWREMENNO SHODQTSQ, LIBO RASHODQT- SQ. oSTATOK SHODQ]EGOSQ RQDA STREMITSQ K NUL@.

2.sHODQ]IESQ RQDY MOVNO PO^LENNO SKLADYWATX, WY^ITATX, UM- NOVATX WSE ^LENY SHODQ]EGOSQ RQDA NA POSTOQNNOE ^ISLO, PEREMNO- VATX RQDY KAK DWA MNOGO^LENA, I PRI \TOM POLU^ENNYE RQDY BUDUT QWLQTXSQ SHODQ]IMISQ, A IH SUMMY PRINIMA@T U^ASTIE W ANALOGI^-

NYH ARIFMETI^ESKIH OPERACIQH.

	.		.,		X	an = a1 + a2 + :::	X	bn = b1	+ b2 + :::;
t		E		ESLI	1		1

					n=1		n=1
DWA SHODQ]IHSQ ^ISLOWYH RQDA, IME@]IH SUMMY A I B TO

X	X	X	X	X
a) 1 an	1 bn = A B: b)	1 an = A: c)	1 an	1 bn = A B:
n=1	n=1	n=1	n=1	n=1

155

1.2. nEOBHODIMYJ PRIZNAK SHODIMOSTI

eSLI ^ISLOWOJ RQD 1 un SHODITSQ, TO PREDEL EGO OB]EGO ^LENA OBQ-

n=1

lim un = 0:

ZATELXNO RAWEN NUL@, T.E.

n!1

pRIWEDENNYJ PRIZNAK SHODIMOSTI SLEDUET PONIMATX TAK:

eSLI

lim un

TO RQD

RASHODITSQ TO^NO

= 0

n!1

n=1

ESLI

lim un = 0, TO RQD

1 un MOVET SHODITXSQ,

n=1

NO MOVET I RASHODITXSQ.

tAK, NAPRIMER:

1 1 = 1 + 1 + ::: + 1 + :::

RASHODITSQ, T.K. lim 1 = 1

n=1

2) n1=0(;1)n = 1

; 1 + 1 ; :::

RASHODITSQ, T.K. nlim!1(;1)n

NE SU]ESTWUET.

1 2n ; 1

+ 3 +

+:::: RASHODITSQ, T.K. lim

2n ;

1 =

=:0

n=1 3n + 1

4 7 10

n!1

3n + 1 3

+ 1 +

+ ::::

RASHODITSQ, HOTQ

lim

= 0:

n=1 3n + 1

4 7 10

n!1

3n + 1

fAKT RASHODIMOSTI RQDA PRI WYPOLNENII NEOBHODIMOGO PRIZNAKA SHODIMOSTI GOWORIT O TOM, ^TO DLQ SHODIMOSTI RQDA KROME UBYWANIQ I STREMLENIQ K NUL@ OB]EGO ^LENA RQDA NUVNA DOSTATO^NAQ SKOROSTX UBYWANIQ ^LENOW RQDA, ^TOBY NE PROISHODILO "KATASTROFI^ESKOE" NAKOPLENIE ^ASTI^NOJ SUMMY RQDA. oTWET NA \TI WOPROSY DA@T, TAK NAZYWAEMYE, DOSTATO^NYE PRIZNAKI SHODIMOSTI ^ISLOWYH RQDOW, KO- TORYE NIVE BUDUT RASSMOTRENY POROZNX DLQ ZNAKOPOLOVITELXNYH I ZNAKOPEREMENNYH RQDOW.

1.3. dOSTATO^NYE PRIZNAKI SHODIMOSTI ZNAKOPOLOVITELX- NYH RQDOW

~ISLOWOJ RQD QWLQETSQ ZNAKOPOLOVITELXNYM, ESLI WSE EGO ^LENY POLOVITELXNY. pRIWEDEM NESKOLXKO DOSTATO^NYH PRIZNAKOW SHODI- MOSTI ZNAKOPOLOVITELXNYH RQDOW, KAVDYJ IZ KOTORYH UDOBNO IS- POLXZOWATX W SOOTWETSTWU@]IH SLU^AQH.

156

n > N. tOGDA

1.3.1. pRIZNAK SRAWNENIQ 1

pUSTX DANY DWA ZNAKOPOLOVITELXNYH RQDA
1 un = u1 + u2 + u3 + ::: + un + :::	(1)
n=1
X
1 vn = v1 + v2 + v3 + ::: + vn + :::	(2)

nX=1

PRI^EM ^LENY RQDA (1) NE PREWOSHODQT SOOTWETSTWU@]IH ^LENOW RQDA

(2) PO KRAJNEJ MERE, NA^INAQ S NEKOTOROGO NOMERA n = N T.E. un vn DLQ WSEH

IZ SHODIMOSTI RQDA (2) WSEGDA SLEDUET SHODIMOSTX I RQDA (1), IZ RASHODIMOSTI RQDA (1) SLEDUET I RASHODIMOSTX RQDA (2).

iNYMI SLOWAMI: ESLI ^LENY NEKOTOROGO ZNAKOPOLOVITELXNOGO RQ- DA MENX[E SOOTWETSTWU@]IH ^LENOW SHODQ]EGO ZNAKOPOLOVITELXNO- GO RQDA, TO ISHODNYJ RQD SHODITSQ, A ESLI ^LENY NEKOTOROGO ZNAKOPO- LOVITELXNOGO RQDA BOLX[E SOOTWETSTWU@]IH ^LENOW RASHODQ]EGOSQ ZNAKOPOLOVITELXNOGO RQDA, TO ISHODNYJ RQD RASHODITSQ.

1.3.2. pRIZNAK SRAWNENIQ 2 (PREDELXNYJ)

eSLI SU]ESTWUET KONE^NYJ, OTLI^NYJ OT NULQ PREDEL OTNO[ENIQ

nlim un = A 6= 0TO OBA RQDA (1) I (2) ODNOWREMENNO LIBO SHODQTSQ,

!1 vn

LIBO RASHODQTSQ.

pRI PRIMENENII PRIZNAKA SRAWNENIQ DANNYJ RQD SOPOSTAWLQETSQ S ODNIM IZ, TAK NAZYWAEMYH, \TALONNYH RQDOW, SHODIMOSTX ILI RASHO- DIMOSTX KOTORYH USTANOWLENA.

|TALONNYE RQDY

1)	gEOMETRI^ESKIJ RQD									; RQD SHODITSQ
		1 qn :				8	PRI	jqj < 1		; RQD SHODITSQ
2)	nX=1					<	PRI	jqj 1		; RQD RASHODITSQ
2)	oBOB]ENNYJ GARMONI^ESKIJ RQD
					k :	8
	1			1		:	PRI	k	> 1 RQD SHODITSQ
	nX=1					<	PRI	k	1 RQD RASHODITSQ:
	nX=1			n		<	PRI	k	1 RQD RASHODITSQ:
w ^ASTNOSTI						:	k=1
w ^ASTNOSTI						PRI	k=1	POLU^AEM
3)	gARMONI^ESKIJ RQD
	1		1			1	1		1
	X		n	= 1 + 2 + 3 + : : : + n + : : : ; RASHODITSQ
	n=1		n	= 1 + 2 + 3 + : : : + n + : : : ; RASHODITSQ
	n=1

157

sUTX ISPOLXZOWANIQ PRIZNAKA SRAWNENIQ, OSOBENNO EGO PREDELXNOJ FORMY, SOSTOIT W TOM, ^TO NUVNO DLQ DANNOGO RQDA ORGANIZOWATX \KWIWALENTNYJ EMU RQD W WIDE ODNOGO IZ \TALONNYH RQDOW I SDELATX WYWOD O SHODIMOSTI. |KWIWALENTNOSTX DANNOGO I SOSTAWLENNOGO RQ- DOW ZDESX SLEDUET PONIMATX KAK PRIBLIVENNOE RAWENSTWO ^LENOW RQ- DA, NA^INAQ S KAKOGO-TO DOSTATO^NO BOLX[OGO NOMERA.

pRIZNAK SRAWNENIQ PROST W ISPOLNENII I O^ENX \FFEKTIWEN, NO, K SOVALENI@, NE WSEGDA MOVET BYTX ISPOLXZOWAN. pO\TOMU NEOBHODIMY I DRUGIE DOSTATO^NYE PRIZNAKI.

1.3.3. pRIZNAK dALAMBERA

eSLI W ^ISLOWOM ZNAKOPOLOVITELXNOM RQDE 1 un										SU]ESTWUET
									n=1
									X
PREDEL OTNO[ENIQ POSLEDU@]EGO ^LENA RQDA un+1 K PREDYDU]EMU un
PRI n ! 1 RAWNYJ ^ISLU p :
		un+1		TO 8	ESLI	p < 1	;	RQD SHODITSQ
lim		un+1	= p		ESLI	p > 1	;	RQD RASHODITSQ
lim			= p		ESLI	p > 1		RQD RASHODITSQ
n	!1	un		>			;
		un		>			;
				<	ESLI	p = 1	;	PRIZNAK NE RABOTAET:
				>	ESLI	p = 1	;	PRIZNAK NE RABOTAET:
sMYSL PRIZNAKA dALAMBERA SOSTOIT W TOM								,	^TO ^LENY ^ISLOWOGO RQ		-
				:				,			-

DA S DOSTATO^NO BOLX[IMI NOMERAMI DOLVNY W SLU^AE SHODIMOSTI RQDA WESTI SEBQ KAK ^LENY BESKONE^NO UBYWA@]EJ GEOMETRI^ESKOJ PROGRESSII, T.E. KAVDYJ SLEDU@]IJ ^LEN RQDA DOLVEN BYTX W p > 1 RAZ MENX[E PREDYDU]EGO.

1.3.4.rADIKALXNYJ PRIZNAK kO[I

eSLI W ^ISLOWOM ZNAKOPOLOVITELXNOM RQDE 1 un										SU]ESTWUET
							n=1
							X
PREDEL KORNQ n; OJ STEPENI IZ OB]EGO ^LENA RQDA
n			8	ESLI	q < 1	;	RQD SHODITSQ
nlim p		= q TO		ESLI	q > 1		RQD RASHODITSQ
nlim p	un	= q TO		ESLI	q > 1	;	RQD RASHODITSQ
!1			>			;
!1			<	ESLI	q = 1	;	PRIZNAK NE RABOTAET:
			>	ESLI	q = 1	;	PRIZNAK NE RABOTAET:
sMYSL RADIKALXNOGO PRIZNAKA kO[I SOSTOIT W TOM								,	^TO ^LENY ^I		-
			:					,			-

SLOWOGO RQDA S DOSTATO^NO BOLX[IMI NOMERAMI DOLVNY W SLU^AE SHODIMOSTI RQDA WESTI SEBQ KAK ^LENY SHODQ]EGOSQ GEOMETRI^ESKOGO RQDA.

158

Z1f(x) dx

TO RQD

1.3.5.iNTEGRALXNYJ PRIZNAK kO[I

eSLI f(x) PRI x 1 ESTX NEPRERYWNAQ, POLOVITELXNAQ I MONO- TONNO UBYWA@]AQ FUNKCIQ TAKAQ, ^TO PRI NATURALXNYH ZNA^ENIQH

ARGUMENTA ZNA^ENIQ FUNKCII SOWPADA@T SO ZNA^ENIQMI ^LENOW RQ-

DA X un T.E. u1 = f(1) u2 = f(2) : : : un = f(n)

n=1

1 n SHODITSQ ESLI SHODITSQ NESOBSTWENNYJ INTEGRAL

X u ,

n=1

I RASHODITSQ, ESLI \TOT INTEGRAL RASHODITSQ.

~TOBY SOSTAWITX PODYNTEGRALXNU@ FUNKCI@ DOSTATO^NO ZAME- NITX W WYRAVENII OB]EGO ^LENA RQDA n NA x.

iSPOLXZOWANIE DANNOGO PRIZNAKA SWQZANO S ISSLEDOWANIEM NA SHO- DIMOSTX NESOBSTWENNOGO INTEGRALA, ^TO NE WSEGDA QWLQETSQ PROSTOJ ZADA^EJ, PO\TOMU PRIZNAK ISPOLXZU@T TOLXKO W TEH SLU^AQH, KOGDA OSTALXNYE BESSILXNY.

1.4. pRIMERY ISSLEDOWANIQ ZNAKOPOLOVITELXNYH RQDOW NA SHODIMOSTX

pRIZNAK SRAWNENIQ

pRIMENQETSQ DLQ RE[ENIQ WOPROSA O SHODIMOSTI, K PRIMERU, RQDOW

n + 5

1 ln 1 +

nX=1 n

+ 3n + 1

nX=1

nX=2 ln n

+ 2

pn7 + 4n5

nX=1

+ 3

n=1 sin p5

1 ; cos

2n!

; 1

n=1 pn

arctgn4

n=1

w \TIH SLU^AQH MOVNO ISPOLXZOWATX PRIEM WYDELENIQ GLAWNYH ^LE-

NOW W WYRAVENII DLQ OB]EGO ^LENA RQDA, ZAMENU BESKONE^NO MALYH

WELI^IN \KWIWALENTNYMI I DR.,			^TOBY PRIWESTI DANNYJ RQD K \K-
WIWALENTNOMU RQDU WIDA	1 A		ILI	1	A q	n	I SDELATX WYWOD O
	n=1	nk		n=1

SHODIMOSTI.	X			X

tABLICA \KWIWALENTNYH BESKONE^NO MALYH WELI^IN (x) ! 0

sin (x) (x) tg (x) (x) e (x) ; 1 (x)

arcsin (x) (x)

arctg (x) (x) qn 1 + (x) ; 1 (nx) :

1 ; cos (x) 2(x)

ln(1 + (x)) (x)

159

ln n { RQD RASHODITSQ, TAK KAK

ln n > n

PRI n > 1

n=2

A GARMONI^ESKIJ RQD

RASHODITSQ.

n=2

ln n

{ RQD SHODITSQ, TAK KAK

PRI

n8=3

n5=3

n=1

n > 1

A RQD

SHODITSQ KAK OBOB]ENNYJ GARMONI^ESKIJ

n5=3

n=1

S POKAZATELEM k = 5=3 > 1:

+ 3n

{ RQD RASHODITSQ, TAK KAK

n=2

ln p

; ln p

n2 + 3n

ln n 1

1 1

pn2

> n

PRI n ! 1

;

A RQD n=1 n

RASHODITSQ KAK GARMONI^ESKIJ.

{ RQD SHODITSQ, TAK KAK

n=2

1 1

X n1 ln n +

ln 1n

PRI n

! 1

A RQD

SHODITSQ KAK

n=1 n2

n2 ln n + pln3 n

OBOB]ENNYJ GARMONI^ESKIJ S POKAZATELEM k = 2 > 1:

{ RQD SHODITSQ, TAK KAK

n=1

(2n + 1) 3n

X 1

(2n + 1) 3n

< 3n =

PRI

n ! 1

A RQD

n=1

SHODITSQ KAK GEOMETRI^ESKIJ PRI

q =

< 1:

cos2

{ RQD SHODITSQ, TAK KAK

n=1

cos2

PRI n ! 1

A RQD

n=1

SHODITSQ KAK GEOMETRI^ESKIJ PRI

q =

< 1:

sin2 n

n2pn

{ RQD SHODITSQ, TAK KAK

n=1

sin2 n

n5=2 SHODITSQ KAK OBOB]ENNYJ GARMO-

n2pn < n5=2 A RQD

n=1

NI^ESKIJ S POKAZATELEM k = 5=2 > 1:

160

	1	1 + 2n
8:	X			{ RQD RASHODITSQ, TAK KAK ^LENY EGO DLQ DOSTATO^NO
		1 + n2
	n=1
BOLX[IH n \KWIWALENTNY ^LENAM GARMONI^ESKOGO RQDA
1 + 2n			2n	2	1 2
1 + n2			n2	n A RQD	X	n	RASHODITSQ.
					n=1

wOOB]E, ESLI PONIMATX ZDESX SIMWOL \KWIWALENTNOSTI " " KAK ODINAKOWOE POWEDENIE RQDOW W SMYSLE SHODIMOSTI I RASHODIMOSTI,

TO MOVNO POLXZOWATXSQ KRATKOJ ZAPISX@

1 + 2n

{ RQD RASHODITSQ.

n=1

1 + n2

n=1

2n ;

1 2n

= 1

RQD SHODITSQ KAK

n=1

n (1 + n) (n + 2)

;

n=1

OBOB]ENNYJ GARMONI^ESKIJ RQD S POKAZATELEM k = 2 > 1.

10:

;

RQD RASHODITSQ KAK OBOB]ENNYJ

n2=3

n=1

+ 4n

n=1

GARMONI^ESKIJ RQD S POKAZATELEM k = 2=3 < 1.

11:

sin

; RQD SHODIT-

+ 4

6n3=2

n=1

SQ KAK OBOB]ENNYJ GARMONI^ESKIJ RQD S POKAZATELEM k = 3=2 > 1.

zDESX ISPOLXZOWANO TO, ^TO

sin

PRI n ! 1:

12:

n arctg

;

RQD SHODITSQ KAK

n=1

OBOB]ENNYJ GARMONI^ESKIJ RQD S POKAZATELEM k = 3 > 1.

zDESX ISPOLXZOWANA \KWIWALENTNOSTX arctg

PRI n ! 1:

13:

cos

; RQD RASHODITSQ. w DANNOM SLU-

3n + 4

n=1

^AE ISPOLXZOWANO TO OBSTOQTELXSTWO, ^TO cos

! 1 PRI n ! 1:

1 sin

14:

;

RQD SHODITSQ KAK GEOMET-

n=1

RI^ESKIJ SO ZNAMENATELEM q = 1=2 < 1: zDESX ISPOLXZOWANA \KWIWA-

LENTNOSTX sin

PRI n ! 1:

161

RASHODITSQ KAK OBOB]ENNYJ GARMONI^ESKIJ RQD S PO-

53n

;

15:

53n

e;2n

RQD RASHODITSQ KAK

n=1

GEOMETRI^ESKIJ SO ZNAMENATELEM

q = 125e2

> 1:

16:

; cos n2

;

RQD SHODITSQ KAK OBOB]ENNYJ

1 2n4

n=1

GARMONI^ESKIJ RQD S POKAZATELEM k = 4 > 1. zDESX MY WOSPOLXZOWA-

(1=n2)2

LISX TEM, ^TO PRI n ! 1 :

1 ; cos

2n4

17:

1 ln

01 + pn1

n1=2

;

RQD RASHODIT-

n=1

SQ KAK OBOB]ENNYJ GARMONI^ESKIJ S POKAZATELEM k = 1=2 < 1:

ln 01 +

zDESX ISPOLXZOWANO

PRI n ! 1.

arctgn2

n2 + 2n + 7:

18: 1

n=1

iZWESTNO, ^TO PRI PRI n ! 1 IMEET MESTO NERAWENSTWO arctg1 <=2 \TO ZNA^IT, ^TO ^ISLITELX ISHODNOJ DROBI ESTX WELI^INA OGRA- NI^ENNAQ, PO\TOMU MOVNO ZAPISATX

				arctgn2	<	=2		:
			2		<	n	2	:
				n + 2n + 7		n
rQD	1	=2	SHODITSQ KAK OBOB]ENNYJ GARMONI^ESKIJ RQD S PO-
rQD		n2	SHODITSQ KAK OBOB]ENNYJ GARMONI^ESKIJ RQD S PO-

nX=1

KAZATELEM k = 2 > 1 A ZNA^IT SHODITSQ I ISHODNYJ RQD.

1arcin2n

19: nX=1 p4 n3 + 3n + 1:

zNA^ENIQ arcin2n 2 [0 2=4] PO\TOMU ^ISLITELX ISHODNOJ DROBI ESTX NEKOTOROE ^ISLO A I ISHODNYJ RQD BUDET WESTI SEBQ TAKVE, KAK RQD

1		A	1 A
X			X	:


	4		n=1 n3=4
n=1 pn3 + 3n + 1

1 A

rQD X n3=4

n=1

KAZATELEM k = 3=4 < 1 A ZNA^IT RASHODITSQ I ISHODNYJ RQD.

162

pRIZNAK dALAMBERA

pRIMENQETSQ DLQ RE[ENIQ WOPROSA O SHODIMOSTI TAKIH RQDOW, OB- ]IE ^LENY KOTORYH SODERVAT STEPENNYE, POKAZATELXNYE WYRAVENIQ

I FAKTORIALY

1 2n

1 (n + 5)2

1 n!

1 nn

1 (n + 1)! + (n + 2)!

(n + 3)!

n=1

;

n=1

pRIMENQQ PRIZNAK dALAMBERA, NEOBHODIMO:

a) ZAPISATX (n + 1); YJ ^LEN RQDA un+1 DLQ ^EGO W WYRAVENII

DLQ OB]EGO ^LENA un ZAMENITX n NA (n + 1)

NAJTI PREDEL OTNO[ENIQ

lim

un+1 = p

SRAWNITX POLU-

^ENNOE ZNA^ENIE p

n!1

S EDINICEJ I SDELATX WYWOD O SHODIMOSTI RQDA

(NAPOMNIM, ^TO PRI p < 1 RQD SHODITSQ, A PRI p > 1 RQD RASHODITSQ.)

zAME^ANIE. pRI PRIMENENII PRIZNAKA dALAMBERA (A TAKVE RADI- KALXNOGO PRIZNAKA kO[I) MOVET WSTRETITXSQ NEOBHODIMOSTX ISPOLX- ZOWANIQ WTOROGO ZAME^ATELXNOGO PREDELA. nAPOMNIM EGO

lim

1 +

= e

lim

= e;1:

; n

n!1

20:

: un =

un+1 =

5n+1

(2n + 1)2

(2(n + 1) + 1)2

n=1

5n+1

(2n + 1)2

5(2n + 1)2

lim

un+1

= lim

= 5 > 1

(2n + 3)2

n!1

(2n + 1)2

{ RQD RASHODITSQ.

zDESX U^TENO, ^TO

lim

= 1:

n!1 (2n + 3)2

21:

3n + 2

n=1

X p

un+1 = q

3(n + 1) + 2

3n + 2

3n + 5

un =

(n + 1)!

lim

un+1 = lim

3n + 5

= lim

3n + 5

(n + 1)!

p3n + 2

n!1

n!1 n!(n + 1)p3n + 2

= lim

3n + 5

= lim

= 0 < 1

{ RQD SHODITSQ.

n!1 p3n + 2 (n + 1)

n!1 n + 1

3n + 5

zDESX U^TENO, ^TO PRI n ! 1 p3n + 2

! 1

! 0:

n + 1

163

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1617 / 2117 18 19 20 21 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
20.12.2018280.58 Кб1Теория организации для ТПУ.doc
#
29.05.2015516.61 Кб25Теория экзамен.doc
#
02.05.2019210.94 Кб6теория_«SWOT» анализ_сам.работа.doc
#
12.11.201975.69 Mб0Теория_БЖД_практика.doc
#
30.07.2019118.89 Кб2ТерВер_шпора.docx
#
29.05.20152.54 Mб136Терёхина, Фикс - Высшая математика.pdf
#
22.11.20191.87 Mб7Терминология.doc
#
29.05.201537.45 Кб27Термодин 1-10.docx
#
29.05.201513.16 Кб24Термодин 21-30.docx
#
29.05.201523.55 Кб19Термодин 31-40.doc
#
29.05.2015194.56 Кб17Термодин 71-80.doc