Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1261 вуз, 4614 предмет.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Томский Политехнический Университет
Предмет:
[НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Файл:

TOEIsaev

.pdf
Скачиваний:
28
Добавлен:
29.05.2015
Размер:
2.02 Mб
Скачать
☆

Линию с распределенными параметрами называют неоднородной, если продольные сопротивления в ней различны и поперечные сопротивления неодинаковы.

Когда говорят о линии с распределенными параметрами, то обычно этот термин мысленно связывают с мощными линиями передач электрической энергии на большие расстояния, с телефонными телеграфными воздушными и кабельными линиями, с антеннами в радиотехнике и другими родственными линиями и установками.

Пусть r0 – продольное активное сопротивление единицы длины ли-

нии;

L0 – индуктивность единицы длинны линии; C0 – емкость единицы длины линии; g0 – поперечная проводимость единицы длины линии (она не является обратной величиной продольного сопротивления r0 );

Разобьем линию на участки длиной dx (см. рис. 5.2), x – расстояние, отсчитываемое от начала линии. На длине dx активное сопротивление рано r0dx , индуктивность – L0dx , проводимость утечки – g0dx и емкость – C0dx .

Рис. 5.2

И ток, и напряжение являются в общем случае функциями расстояния вдоль линии x и времени t .

Обойдем, выделенный участок линии по контуру и запишем для него второй закон Кирхгофа - сумма падений напряжения для замкну-

того контура равняется нулю:

 

∂i + u +

∂u dx = 0 .

-u + r dx ×i + L dx

0

0

t

x

 

 

Сократив на u и поделив на dx получаем выражение:

-

∂u = r × i + L

∂i .

 

x

0

0

t

161

Запишем первый закон Кирхгофа для выделенного узла –1:

 

i = di + i +

∂i

dx

(1)

 

 

x

 

Ток di равен сумме токов, проходящих через проводимость g0dx

кость C0dx :

 

 

 

 

 

 

 

 

 

u

 

 

 

 

u

 

di = u +

 

dx g0dx +

 

C0dx u +

 

dx .

x

t

x

 

 

 

 

 

 

Пренебрегая слагаемыми второго порядка малости, получим

 

 

di = u × g dx + C dx

∂u

 

 

 

 

 

0

 

0

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Подставляя (2) в (1) и поделив на dx , после упрощения получаем

-

i

= g

 

× u + C

u .

 

 

 

x

0

 

0 t

ием-

(2)

Таким образом, получаем систему дифференциальных уравнений в частных производных, которые в математической физике называются

телеграфными уравнениями:

- ux- ix

= r × i + L

i

 

0

0

t

(2а)

 

× u + C0 u

= g0

 

 

 

t

 

Чтобы решить эти уравнения, воспользуемся символическим мето-

дом

Введем изображения токов и напряжений

 

i( x, t) ® I ( x)e jωt , u( x, t) ®U ( x)e jωt .

(3)

Здесь – I ( x) и U (x) комплексные величины тока и напряжения соответ-

ственно.

Очевидно, что в этом случае мы можем получить следующие соотношения

 

 

u ® e jωt

dU ( x)

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

dx

 

L

∂i ® L I ( x)

d

e jωt = jwL I ( x)e jωt

;

 

0

t

0

 

 

 

dx

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i

® e jωt

d

I ( x)

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

dx

 

 

C

∂u ® jwC U (x)e jωt .

 

 

 

0 t

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

162

Подставив все выше полученные выражения в телеграфные уравнения,

и сократив на множитель e jωt , получим

−

dU (x)

 

= (r + jωL

) I ( x);

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

0

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I ( x)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

−

d

 

 

= ( g

 

+ jωC

 

)U ( x).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

0

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Введя обозначения Z0 = r0 + jωL0 , Y0 = g0 + jωC0 ,

(2б)

и опуская зависи-

мость напряжения и тока от пространственной координаты эти уравнения можно переписать

−

dU

= Z I ;

 

dx

 

 

 

0

 

 

 

 

 

(2в)

d I

 

 

 

−

= Y U.

 

 

 

 

dx

0

 

 

 

 

 

 

Продифференцируем первое уравнение по x и подставим в него второе получим дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами

d 2

U

 

= Z Y U →

d 2U

− γ2U = 0, γ =

 

.

(2г)

 

Z Y

 

 

 

 

 

dx2

0

0

dx2

 

 

0

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Будем искать решение в виде U = Ae px . Подставляя искомое решение в (2г) получим характеристическое уравнение относительно p

p2 − γ2 = 0 → p1,2 = ±γ .

Теперь решение можно записать в виде

U = A1e p1 x + A2e p2 x = A1e− γx + A2eγx .

Здесь A1, A2 комплексные константы которые определяются с помощью

граничных условий, комплексное число γ = Z0Y0 принято называть

постоянной распространения. Запишем его в алгебраической форме

γ = α + jβ ,

где α – коэффициент затухания (характеризующий затухание падающей волны на единицу длины линии); β – коэффициент фазы (про-

странственная частота); он характеризует изменение фазы падающей

волны на

единицу

длины

линии.

Размерность величин

[γ] = [α] = [β] = 1/ км.

 

 

 

 

 

 

 

 

Найдём ток из уравнений

 

 

 

 

A e−γx − A eγx

 

−

dU

= Z0 I

→ I = −

1 dU

=

.

 

 

 

 

1

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

Z0 dx

 

Z0

γ

 

163

Величину, стоящую в знаменателе Z0 γ называют волновым сопротивлением и обозначают Zв :

Z

 

=

Z0

=

 

Z0

 

=

 

Z0

= z

e jϕв .

в

 

 

 

 

 

 

 

 

γ

Z0Y0

 

 

 

Y0

 

в

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Следовательно, ток можно записать

 

 

 

 

 

I =

A e− γx − A eγx

=

A e− γx

−

A e

γx

1

 

 

 

2

 

1

 

 

2

 

.

 

 

 

 

Z в

 

 

 

 

Z в

 

 

Z в

Теперь можно перейти от комплексных величин к мгновенным значениям, то есть осуществить обратный переход от комплексных функций к мгновенным значениям тока и напряжения:

I ( x)e jωt → i( x, t), U ( x)e jωt → u(x, t) .

В результате получим

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

u( x, t) = A e−αx sin(ωt − βx + ψ ) + A

eαx sin(ωt + βx + ψ

2

),

 

 

 

 

 

m1

1

 

m2

 

 

 

 

 

 

 

 

i( x, t) =

Am1e−αx

sin(ωt − βx + ψ − ϕ

 

) −

Am2

eαx sin(ωt + βx + ψ

2

− ϕ

 

).

 

в

 

в

 

zв

1

 

 

zв

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 5.3

Бегущая волна характеризуется волновыми параметрами – длинной волныλ и фазовой скоростью υ . Скорость распространения – υ и дли-

ну – λ волны можно определить, используя выражения:

ωt − βx + ψ = const →

d (ωt − βx + ψ1 )

= ω − β

dx

= 0 →

υ =

dx

= ω ,

 

 

 

1

dt

 

dt

 

dt β

 

 

 

λ = 2βπ .

164

§5.1 Формулы для определения напряжения и тока в любой точке линии через комплексы напряжения и тока в начале линии

Выпишем комплексное представление волн напряжения и тока вдоль линии, и определим константы интегрирования входящие в эти выражения, используя граничные условия в начале линии:

U = A e− γx + A eγx

;

 

 

 

 

1

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

A1e− γx

 

A2eγx

 

 

 

 

 

.

(4)

I =

 

−

 

 

.

 

Z в

Z в

 

 

 

 

 

 

 

Пусть в начале линии при x = 0 напряжении U1 и I1 , тогда можно получить:

U1 = A1 + A2 ;

I1Zв = A1 − A2 .

Просуммируем первое, и второе уравнения в системе (4), в результате получим выражение для константы A1 :

A1 = U1 + I1 Z в = A1e jψп . 2

Вычитая второе уравнение из первого в системе (4), получим выражение для константы A2 :

A2 = U1 − I1 Z в = Ae jψо . 2

Поставим найденные константы в выражения для напряжения:

 

U

 

+ I

 

Z

 

e− γx +

U

 

− I

 

Z

 

eγx =

 

 

eγx + e−γx

eγx − e− γx

U =

 

 

1

 

1

 

в

 

 

1

 

1

 

в

U

1

 

 

 

− I1 Z в

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

2

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Напомним, что в скобках находятся гиперболические функции синус и косинус:

165

 

 

 

 

eγx + e− γx

 

 

 

 

 

 

 

eγx

− e− γx

 

 

 

 

 

 

ch(γx) =

 

 

2

 

 

 

,

sh(γx) =

2

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Приведём графический вид функций

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

ch( x) ,

 

sh( x) .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

на-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Теперь

выражения

для

 

ch(x)

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

пряжения и тока можно перепи-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

сать в виде:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

U (x) = U

1ch(γx) − I1 Z вsh(γx);

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I ( x) = I ch(γx) − U1 sh(γx).

(5)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

Z в

 

 

2

1.5

1

0.5

0 0.5

1

 

1.5

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

Используя это выражение можно

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

получить связь между величинами

 

sh(x)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

в начале и в конце линии. Поста-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

вим x = ℓ в выражения (5), здесь l

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

длина линии:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 5.4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

U (l) = U 2 = U1ch(γℓ) − I1 Z вsh(γℓ);

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= I ch(γℓ) − U1 sh(γℓ).

 

 

 

 

 

 

 

 

I (l) = I

2

 

 

(6)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

Z в

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решим уравнения (6) относительно U 2 и I 2 , получим систему уравне-

ний позволяющую определять ток и напряжения в начале линии при из-

вестных значения в конце линии.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

U

1

= U

 

2

ch(γℓ) + I

2

Z

 

sh(γℓ);

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

U

 

 

 

 

 

 

в

 

.

 

 

(7)

 

 

 

 

 

I1

=

2 sh(γℓ) + I 2ch(γℓ).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Z в

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Если ввести обозначения

A = D = ch(ℓγ), B = Zвsh(ℓγ), C = sh(ℓγ) Zв

то

мы получаем уравнение четырехполюсника

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

U

 

= AU

 

+ B I

2

;

 

 

 

(8)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

2

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I1 = CU 2 + D I 2 .

 

 

 

 

Для всякого пассивного четырехполюсника выполняется:

 

 

 

 

 

 

AD − BC = ch2 (γℓ) − sh2 (γℓ) = 1.

 

 

(9)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

166

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

§5.2 Формулы для определения напряжения и тока в любой точке линии через комплексы напряжения и тока в конце линии

Обозначим расстояние от текущей точки на линии до конца линии y , а длину всей линии ℓ:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y = ℓ− x .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(10)

Пусть известны напряжения и ток в конце линии U 2

и

 

I 2 . Будем ис-

пользовать эти значения как граничные условии при

y = 0 . На основа-

нии системы уравнений (4) получаем:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

U ( y) = A e− γ(ℓ− y ) + A eγ(ℓ− y )

 

 

 

 

U (0) = U

2

= A e− γℓ + A eγℓ

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

→

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A1e− γ(ℓ− y)

 

A2eγ(ℓ− y)

 

 

 

 

 

 

 

A1e− γℓ

 

 

 

 

A2eγℓ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

. (11)

I ( y) =

 

 

 

 

−

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I (0) = I

2

 

=

 

 

 

 

−

 

 

 

 

 

Z в

 

 

 

 

Z в

 

 

 

 

 

Z в

 

 

 

Z в

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решая систему относительно констант A1 и A2 :

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

− γℓ

 

 

 

γℓ

 

 

 

A =

 

U

2 + I 2 Z в

eγℓ = A e jψп ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

= A1e + A2e ;

 

 

 

1

 

2

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

U

 

→

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(12)

 

I Z

 

= A e− γℓ − A eγℓ,

 

 

 

 

U1 − I1 Z в − γℓ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

jψ

о

 

 

 

 

 

2

в

 

1

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

A2 =

2

 

e =

Ae

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Подставив найденные значения постоянных A1

и

 

A2

в систему (4) по-

лучаем:

 

 

 

 

( y) =

 

2ch(γy) + I 2 Z

вsh(γy);

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

U

U

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

U

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(13)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I ( y) =

 

 

 

sh(γy) + I 2ch(γy),

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Z в

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

§5.3 Линии без потерь

Строго говоря, линии без потерь не существует. Однако можно создать линию с очень малыми потерями (с очень малыми r0 и g0 по сравнению с ω L0 и ω C0 соответственно). В ряде случаев, в особенности при высоких частотах, когда ω L0 >> r0 и ω C0 >> g0 , можно пренебречь наличием потерь в линии и принять r0 = 0 и g0 = 0 . В этом случае коэффициент затухания α = 0 , и коэффициент распространения становится чисто мнимой величиной γ = jβ , β = ωL0C0 , а волновое сопротивление явля-

ется чисто активным:

Z в = zв .

(14)

Для определения напряжения и тока в любой точке линии обратимся к системе уравнений (13)

167

 

U

( y) =

U

2ch(γy) + I 2 Z вsh(γy);

 

 

 

U

 

,

 

 

 

2

 

I ( y) =

 

 

sh(γy) + I 2ch(γy).

 

Z в

 

 

 

 

 

и учтем, что ch(γy) = сh( jβy) = cos(βy), sh(γy) = sh( jβy) =

перепишем уравнения (15):

 

U

( y) =

U

2 cos(βy) + j I 2 Z в sin(βy);

 

U

 

 

 

2

 

I ( y) = j

 

 

sin(βy) + I 2 cos(βy).

 

 

 

 

Z в

(15)

j sin(βy) , и

(16)

Используя те же выражения для системы (5) можно записать уравнения линий без потерь через ток и напряжения в начале линии:

 

U

( y) =

U

1 cos(βy) − j I1 Z в sin(βy);

 

 

 

U

 

 

(17)

 

 

1

 

I ( y) = − j

 

sin(βy) + I1 cos(βy).

 

 

 

 

 

 

Z в

 

§5.4 Коэффициент отражения

Отношение напряжения отраженной волны в конце линии к напряжению падающей волны в конце линии называют коэффициентом от-

ражения по напряжению и обозначают Ku . В соответствии с формулой (12) можно получить:

 

 

 

 

 

U

2

− I

2

Z

 

 

 

 

U

2

 

− Z в

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A eγl

 

 

 

 

в

 

 

 

 

 

 

 

Z − Z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

K

 

=

2

=

 

 

 

2

 

 

 

 

=

2

 

 

=

н

в

.

u

A e−γl

 

 

 

+ I 2 Z в

 

 

 

Z + Z

 

 

 

 

U 2

 

 

 

U

2

 

+ Z в

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

I 2

 

 

 

н

в

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Из этого выражения видно, что при Z н = Z в

согласованной нагрузке мы

получаем Ku = 0 ,

и следовательно

нет

отражённой волны, а при

Z н → ∞ холостом ходе мы получаем

Ku = 1 то есть волна полностью

отражается.

168

§5.5 Действующие значения напряжения и тока вдоль линии без

потерь

 

u

i

u(t)

 

i(t)

 

 

.

Рис. 5.6. Нагрузка линии больше волнового сопротивления

ZH = 3ZC , Ku = 0,5

 

.

 

u

i

u(t)

 

i(t)

 

Рис. 5.7. Нагрузка линии меньше волнового сопротивленияZH = 1 ZC ,

Ku = −0,5

3

 

.

 

u

i

u(t)

 

i(t)

 

169

 

Рис. 5.8. Нагрузка линии равна волновому сопротивлениюZH = ZC , Ku = 1

§5.6 Стоячие волны

 

 

 

 

 

 

 

Если в конце линии без потерь не потребляется активная мощность

(линия разомкнута, закорочена, замкнута на реактивную нагрузку), то в

такой линии возникают стоячие волны.

 

 

При разомкнутом ( I2 = 0, Z2 = ∞ ) конце линии без потерь напряже-

ние и ток в любой ее точке определяется с помощью уравнений в триго-

нометрических функциях:

 

 

 

 

 

 

 

U ( y) = U 2 cos(βy);

 

 

 

 

 

U

 

.

(17б)

 

 

 

= j

 

I ( y)

 

2

sin(βy).

 

 

 

 

 

Z в

 

 

Если U 2 = U2 , то мгновенное значение напряжения и тока вычисляются

по уравнениям

 

 

 

 

 

 

 

u = U

2m cos(βy)sin(ωt);

 

 

U

 

 

 

 

(17в)

 

=

 

 

 

 

i

 

2m sin(βy) cos(ωt).

 

 

zв

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

u(y,t)

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 5.8

 

Каждое из этих уравнений представляет собой произведение двух

функций, причем аргумент одной из них зависит только от времени, а

другой – только от координаты. Иначе говоря,

в любой фиксированной

точке линии напряжение и ток изменяются по синусоидальному закону

со сдвигом по фазе на четверть периода. При этом распределение на-

пряжения и тока вдоль линии для любого момента времени является

также синусоидальным. В результате в конце линии в точках, находя-

170

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности