TOEIsaev

решения однородного уравнения iо.у (t) и частного решения неоднород-

ного уравнения iч.н (t)

i(t) = iо.р(t) + iч.н (t)

Общее решение однородного уравнения легко найти разделив переменные и осуществляя следующую последовательность действий:

R ×i(t) + L di = 0 ® R ×i(t) = -L di ® - R dt = di

Частное решение неоднородного уравнения – это любое уравнение которое удовлетворяет уравнению, и его легко угадать, посмотрев на уравнение:

R ×i(t) + L di = E , dt

и если предположить, что ток постоянный то мы получаем:

Теперь мы можем записать общее решение неоднородного уравнения в виде:

схеме до коммутации ключ был разомкнут и поэтому ток в цепи отсутствовал. Следовательно, мы можем записать:

i(0) = A + E ® A = - E .

есть она свободна от внешнего влияния и зависит от параметров цепи. Частное решение неоднородного уравнения iч.н (t) в электротехнике

называют принуждённой составляющей iпр(t) . Она зависит от источни-

101

ка энергии и полностью повторяет его функциональную зависимость от времени с неким коэффициентом пропорциональности. Например, если источник энергии постоянный, то принуждённая составляющая будет постоянной. Если источник энергии имеет синусоидальный вид, то и принуждённая составляющая будет иметь синусоидальный вид.

Если обратить внимание на решение то можно заметить, что свободная составляющие быстро затухает из-за наличия отрицательного сомножи-

уменьшается в е = 2.71 раз, е-1 = 0,367) После быстрого затухания свободной составляющей остаётся только принуждённая составляющая это означает, что наступил установившийся процесс – установившийся режим работы цепи. Таким образом, можно сказать, что при установившемся режиме искомая величина (ток или напряжение) равна своей принуждённой составляющей. Например, для нашего примера это можно записать так:

i(t = ∞) = iпр = E . R

Теперь, решим задачу используя физические соображения. Итак, величина искомого тока будет состоять из суммы двух составляющих свободной и принуждённой, первая из которых быстро затухает и имеет экспоненциальный вид, а вторая повторяет форму внешнего воздействия:

i(t) = iсв(t) + iпр = Ae pt + iпр .

Находим принуждённую составляющую в схеме после коммутации при t = ∞ ,считая, что индуктивность является закороткой

i(t = ∞) = iпр = E . R

Затем, используя начальные условия, находим константу интегрирования А

Записываем полученное решение

i(t) = iсв(t) + iпр = Ae pt + iпр .

102

1.Записываем решение в виде свободной и принужденной составляющих

i(t) = iсв(t) + iпр = Ae pt + i(¥) или u(t) = uсв(t) + uпр = ue pt + u(¥) .

2.Определяем принужденную составляющую в схеме после коммутации uпр = u(¥) или iпр = i(¥)

103

3.Определяем корень характеристического уравнения p через входное сопротивление Z ( p) = 0 , в схеме после коммутации.

4.Определяем константу интегрирования A из начальных условий. Записываем окончательное решение и строим график.

Рис. 4.3

В качестве примера рассмотри цепь с конденсатором. Найдём закон изменения напряжения на конденсаторе при его зарядке.

1. Запишем искомое решение в виде двух составляющих, принуждённой и свободной:

uC (t) = uсв(t) + uпр = Ae pt + uпр .

2.После коммутации при установившемся режиме не будет тока и конденсатор будет заряжен до величины u(∞) = uпр = E . Следовательно,

uC (t) = uсв(t) + uпр = Ae pt + Е .

3. Корень характеристического уравнения находим через входное сопротивление в схеме после коммутации

4. Находим константу интегрирования А из начальных условий. До коммутации ключ был разомкнут, и напряжение на конденсаторе отсутствовало

uC (0) = A + Е = 0 → A = −E . 5. Записываем окончательный результат:

Находим ток, через конденсатор, используя выражение iC (t) = С duC (t) , dt

104

Строим графические зависимости тока и напряжения для конденсатора.

Рис. 4.4

§4.2 Классический метод расчета переходного процесса. Первый и второй законы коммутации. Понятия о зависимых и независимых начальных условиях

До сих пор мы рассматривали относительно простые задачи переходного процесса с независимыми начальными условиями – это задачи на определения тока переходного процесса через индуктивность и напряжения переходного процесса на ёмкости. Задачи определения тока переходного процесса через сопротивление или через источник напря-

жения решаются сложнее. Для понимания сложных переходных процессов очень важно понимать, что такое зависимые и независимые начальные условия. Начнем рассмотрения этих понятий с первого и вто-

рого законов коммутации.

В электрической цепи, не может быть мгновенного изменения накопленной в электрических и магнитных полях энергии

W (0−) = W (0+) = W (0) .

Так как энергия электрического поля конденсатора и энергия магнитного поля индуктивной катушки равны соответственно

это означает, что в момент коммутации остаются неизменными напряжения на обкладках конденсатора и токи в индуктивных катушках. Для перераспределения энергии требуется время – это процесс инерционный, не мгновенный. Поэтому существуют два закона коммутации.

105

Первый закон (правило) коммутации – ток через индуктивность непосредственно до коммутации iL (0−) равен току через ин-

Второй закон (правило) коммутации – напряжение на ёмкости непосредственно до коммутации uC (0−) равно напряжению на ёмко-

сти после коммутации uC (0+) :

uC (0−) = uC (0+) = uC (0) . (**)

Это есть независимые начальные условия. Независимыми они называются потому, что независимо от того до или после коммутации мы их

наблюдаем, они всё равно одинаковы и равны, и поэтому знаки – и + в выражениях (*) и (**) опускают. Важно помнить, что независимые на-

чальные условия определяются в схеме до коммутации. Таким образом, существует только два независимых начальных условия – это напряжение на конденсаторе и ток через индуктивность.

Иначе дело обстоит с зависимыми начальными условиями, например с током через ёмкость или с током через источник напряжения:

iC (0−) = iC (0+), iE (0−) = iE (0+) .

или с напряжением на индуктивности или на источнике тока:

uL (0−) = uL (0+), uJ (0−) = uJ (0+) .

Зависимые начальные условия могут изменятся скачком непосред-

ственно до и после коммутации. То есть их значения «зависят» от того наблюдаем мы их до или после коммутации. Зависимые начальные ус-

ловия определяются в схеме после коммутации. (При этом в после-

коммутационной схеме ёмкость заменяется на источник напряжения равный величине uC (0) и направленный против ёмкостного тока, а индуктивность заменяется на источник тока равный iL (0) и направлен он по индуктивному току).

Запишем последовательность действий для определения зависимых начальных условий:

1.Определяем независимые начальные условия в схеме до коммутации – ток через индуктивностьiL (0) и напряжения на конденсаторе uC (0) .

2.Заменяем в схеме после коммутации индуктивность – L , источником тока равным значению iL (0) , а емкость – C источником на-

пряжения равным значению uC (0) .

Далее находим интересующие нас зависимые начальные условия.

106

Теперь можно приступить к решению примеров с зависимыми и независимыми начальными условиями.

Пример:

Определить независимые uC (0) и зависимые начальные условия iE (0+), iC (0+) для заданной схемы, если заданы величины:

E = 50 В, R = 10 Ом, C = 60мкФ.

Рис. 4.5

Определяем независимые начальные условия в схеме до коммутации:

Определяем зависимые начальные условия в схеме после коммутации заменяем при этом заменяем индуктивность на источник тока равный iL (0) = J / 2 = 1А.

107

Рис. 4.8

Примеры расчета в Mathcad

Независимые начальные условия

Рис. 4.9

Пример-1.

Дано :

R1 := 10 R2 := 20 L := 0.2 E := 20 C := 60×10- 6

Ищем решения в виде:

i(t) iсв(t) + iпр A×ep ×t + iпр

1) iпр определяет принуждённую составляющую в схеме после коммутации :

iпр := E iпр = 2 R1

2) из ННУ определяет константу интегрирования A в схеме до коммутации :

i(-0) i(0) 0 A + iпр A := -iпр A = -2

3)Корень характеристического уравнения через входное сопротивление

всхеме после коммутации :

Z R1 + p×L 0 p := - R1 p = -50 L

4) Записываем окончательное решение и строим график i(t) :

108