TOEIsaev

Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Томский Политехнический Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

( p1 e p2t - p2 e p1t ) + E .

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

29.05.2015

Размер:

2.02 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1213 / 1813 14 15 16 17 18 > Следующая >>>

§4.4 Переходные процессы в цепи второго порядка

Рассмотрим цепь второго порядка представленную на рис. 4.37 с параметрами: E = 50B, R = 10 Ом, L = 0.1Гн, С = 40мкФ.

Записываем уравнения по второму закону Кирхгофа, в результате получаем систему дифференциальных уравнений:

R C

Рис. 4.37

u		+ u + i × R = E ® L					di	+ R ×i + u = E,	i = C	du	;
u	L	+ u + i × R = E ® L						+ R ×i + u = E,	i = C		;
	L		C				dt	C		dt
							dt			dt	(1)
			d 2u		du						(1)
LC ×			d 2u	+ RC ×	du	+ u = E.
LC ×			dt2	+ RC ×		+ u = E.
			dt2		dt
Решение данного уравнения будем искать в виде суммы двух со-
ставляющих:
uC (t) = uсв + uпр = A1 ×exp( p1t) + A2 ×exp( p2t) + E .											(2)

Первое слагаемое это uсв = A1 ×exp( p1t) + A2 ×exp( p2t) свободная составляющая. Она зависит только от параметров схемы, а также от начальных и конечных запасов энергии. Эта составляющая решения не зависит от формы воздействующего напряжения.

Второе слагаемое это uпр = uC (¥) принуждённая составляющая.

Она зависит от внешнего воздействия и имеет форму этого воздействия. Очевидно, что в нашем случае она определяется как uпр = uC (¥) = E .

Постоянные интегрирования определяются из начальных условий, отражающих невозможность мгновенного изменения начальных запасов энергии в конденсаторе и в катушке.

Для определения констант интегрирования используем независимые начальные условия uC (0) = 0, iL (0) = 0 .

u (0) = 0 = A + A + E;
	C		1 2
i		(0) = i	(0+) = C	du	= 0 = C ( A p + A p			).	(3)
i	L	(0) = i	(0+) = C		= 0 = C ( A p + A p		2	).
	L	C		dt		1 1 2	2
				dt

Откуда следует, что

121

	=	− p2 E			=	p1E
A1				, A2			.	(4)
		p2
			- p1			p2 - p1

Теперь можно записать окончательное решение

(t) =

− p2 E

×exp( p1t) +

p1E

×exp( p2t) + E =

(- p2e p1t + p1e p2 t ) + E.

- p

Определим корни характеристического уравнения входящие в

решение uC (t)

p1, p2 через входное сопротивление схемы.

pL +

+ R =

CL × p2 + RC × p +1

= 0 ® CL × p2 + RC × p +1 = 0 . (5)

В результате решения уравнения получаются корни:

p1,2 = -b ±

-RC ±

(RC )2 - 4LC

= -

2CL

(6)

= -d ±

d2 - w2 .

Где d =

– показатель затухания контура, w =

–

угловая часто-

та незатухающих колебаний, при выполнении условия w2

> d2

имеем

R 2

jwсв

= j

= j w0

- d

Здесь ωсв – частота свободных колебаний, Корни уравнения определяются параметрами цепи и могут прини-

мать следующие возможные значения (рис. 4.38).

· Дискриминант равен нулю. Кони вещественные, отрицательные и

кратные. Критический режим p1,2 = -d = - R

uC (t) = E (1 + dt )e−δt + E .

·Дискриминант положительный. Корни вещественные отрицатель-

ные и неравные. Апериодический режим p1,2 = -d ± d2 - w02 ;

122

∙Дискриминант отрицательный. Корни комплексно-сопряжённые, с отрицательной вещественной частью. Колебательный режим

p1,2 = − δ ± jω02 − δ2 = −δ ± jωсв .

u	(t) = Ee-dt	cos(ω t) +		δ
u	(t) = Ee-dt	cos(ω t) +
C			св	ωсв
				ωсв

sin(ωсвt) + E .

Рис. 4.38. Расположение корней на комплексной плоскости.

Примеры определения корней характеристического уравнения в

R := 10 C := 60×10− 6

Mathcad

L := 0.2

(R + L×p)×2×R

-456.23413613605701002

p :=

+ R solve , p

R + L×p + 2×R

C×p

-182.65475275283187886

(R + L×p)×2×R

+ R

5×R2×C×p + 3×R×C×p2×L + 3×R + L×p

-456.234

R + L×p +

2×R

C×p

p =

(3×R + L×p)×C×p

-182.655

R := 20

C := 100×10− 6

L := 0.1

(R + L×P)×R

(-275.) - 156.12494995995995515×i

P :=

R + L×P + R

+ R solve , P ®

C×P

(-275.)

+ 156.12494995995995515×i

P =

-275 - 156.125i

(R + L×P)×R

+ R

3×R2×C×P + 2×R×C×P2×L + 2×R + L×P

R + L×P + R

(2×R + L×P)×C×P

-275

+ 156.125i

C×P

123

Примеры определения корней характеристического уравнения и зависимых и независимых начальных условий

Пример: Определить независимыеiL (0), UC (0) и зависимые начальные условия UL (0+), iC (0+) . Определить корень характеристического уравнения.

Рис. 4.39

Рис. 4.40

Решение:

1. 1.Определяем независимые начальные условия iL (0), UC (0) .

(0) =

(0) = i

(0)R =

2R +

2.Определяем зависимые начальные условия UL (0+), iC (0+) из схемы после коммутации (см. документ Маthcad).

3.Определяем корень характеристического уравнения из схемы после коммутации (см. документ Маthcad).

Документ Маthcad

ORIGIN:= 1

Определить напряжение на конденсаторе.

E := 100		R := 10	L := 0.1	C := 50 ×10 − 6
		R		L
		R
	E		R	R
	E

			C
		R
U := E		Z(p) := 2×R×(L×p + R) + R + 1
пр	3		3×R + L×p	C×p
	3		3×R + L×p	C×p
Корни характеристического уравнения
p := Z(p)		solve , p	(-416.67)	- 162.45×i		-416.67 - 162.45i
p := Z(p)		®			p =
		float, 5	(-416.67)	+ 162.45×i		-416.67 + 162.45i

124

Независимые начальные условия

:= E

2×R

Зависимые начальные условия

iL(0)

UC(0)

Рис. 4.42

iLo = 5

UC0 = 50

E - UC0 + iLo×R

iC0 := iR0 - iLo

iR0 :=

3×R

Постоянные интегрирования

- 1

UC0 - Uпр

8.333 - 81.221i

8.333 +

81.221i

1×t

+ Uпр

Im(p1)

w = 162.45

Uпр = 33.333

U(t) := 2×Re A1×e

w :=

T :=

2×p

t := 0, 0.0001.. 0.05

U(t)

×t

Re A1×e

Uпр

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

Рис. 4.43

125

Проверка расчётов в среде EWB

Рис. 4.44

Определить ток индуктивности.

E := 100 R := 60 L := 0.1 C := 50×10− 6

Рис. 4.45

126

E R

iL(0) UC(0)

Рис. 4.46

= 1.667

Z(p) :=

R×L×p

+ R +

пр

R + L×p

C×p

p := Z(p1)

solve , p1

(-233.33) -

213.44×i

-233.33 - 213.44i

p =

float, 5

(-233.33) +

213.44×i

-233.33 +

213.44i

i = 0.833

= 50

2×R

iR0 :=

UC0 + iLo×R

UL0 := E - iR0×R

2×R

- 1 iLo - iпр

-0.417 - 0.716i

p1×t

p2×t

i(t) := A ×e

+ A

×e

+ i

t :=

пр

Re(p)

t = 3.031´ 10- 3

t := 0, 0.01×t.. t×10

1.6

i( t)

1.2

iпр

0.8

0.4

0.0061

0.0121

0.0182

0.0242

0.0303

Рис. 4.47

127

Рис. 4.48

128

§4.5 Операторный метод расчёта переходных процессов

Операторный метод (преобразование Лапласа) расчета переходных процессов используется для того, чтобы обыкновенные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами (в пространстве оригиналов) преобразовать в алгебраические (в пространстве изображений). Очевидно, что алгебраические уравнения решаются проще. После решения алгебраического уравнения над полученной функцией (изображением) производится обратное преобразование Лапласа, получается оригинал. Полученный оригинал – это функция, которая и будет решением дифференциального уравнения.

Любой функции можно сопоставить её преобразование Лапласа

∞
F ( p) = ∫ f (t)e− pt dt ,	(7)
0

здесь F ( p) – изображение, f (t) – оригинал. Выражение (7) записывают ещё и в операторной формеF ( p) = L[ f (t)] .

Приведём изображение нескольких часто встречающихся функций. Определим изображение константы – f (t) = A (const) :

∞

− pt

0∞ =

F ( p) = A∫ e− pt dt = −

f( t) = eαt :

Найдем изображение экспоненциальной функции –

∞

−( p−α)t

F ( p) = ∫ eαt e− pt dt = −

0∞ =

p − α

Изображение экспоненциальной функции поможет нам найти изображения синусоидальной косинусной функций– sin(ωt), cos(ωt) . Для этого запишем эти функции через формулу Эйлера. Далее осуществляем следующую цепочку преобразований:

e jωt − e− jωt

1 p + jω − p + jω

sin(ωt) =

→

−

;

2 j

+ ω

2 j p − jω

p + jω

2 j

e jωt + e− jωt

p + jω + p − jω

cos(ωt) =

→

p + jω

+ ω

2 p − jω

Определим изображение производной

df (t)

функции f (t) , имеющей

изображение F ( p)

∞ df (t)

− pt

∞

− pt

∞

− pt

dt = ∫ e

df (t) = f (t)e

+p ∫ f (t)e

dt = − f (0)

+ pF ( p) .

∫

129

И, наконец, определим изображение интегрального выражения∫ f (t)dt

∞

(

)

e− pt ∫ f (t ')dt '

∫ f (t )e− pt dt

∞ +

F ( p)

∫

f (t ')dt ' e− pt dt = −

∫

f (t ')dt 'd

e− pt

Таблица преобразований Лапласа

f (t) -оригинал

F ( p) -

изображение

1 p

eαt

1 ( p - a)

e−αt

1 ( p + a)

sin(ωt)

w ( p2 - w2 )

cos(ωt)

( p2 + w2 )

df (t)

− f (0) + pF ( p)

F ( p)

∫ f (t)dt

Вернёмся теперь к переходным процессам.

Итак, мы будем сопоставлять каждой функции

его изображение.

Например

i(t) → I ( p),

u(t) → U ( p) .

учётом

полученной

таблицы

можно сопоставить каждому элементу его изображение:

uL	(t) = L	di(t)	® L ( pI ( p) - iL (0)) = pL × I ( p) -						Li(0);
uL	(t) = L		® L ( pI ( p) - iL (0)) = pL × I ( p) -						Li(0);
		dt
			1	t	u(0)		IC ( p)
				t
uC	(t) = u(0) +			∫ i(t)dt ®		+		;
uC	(t) = u(0) +		C	∫ i(t)dt ®	p	+		;
			C	0	p		pC
				0

E ® E ; p

J ® J . p

Заметим, что для того, что бы построить изображение схемы, нужны независимые начальные условия uC (0), iL (0) . После того как построена

130

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1213 / 1813 14 15 16 17 18 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
12.09.201989.6 Кб10The external environment of the organization (В...doc
#
09.08.20199.49 Mб4theory1.DOC
#
23.11.2019223.74 Кб10THI.doc
#
25.03.20162.54 Mб589tht080.doc
#
29.05.20152.72 Mб183tmm.pdf
#
29.05.20152.02 Mб28TOEIsaev.pdf
#
07.09.201933.96 Кб4TOMSKIJ_POLITEKhNIChESKIJ_UNIVERSITET (1).docx
#
29.05.2015145.32 Кб51topic1.pdf
#
29.05.2015181.19 Кб5topic10.pdf
#
29.05.2015230.1 Кб6topic11.pdf
#
29.05.20151.31 Mб7topic2.pdf