Варианты ИДЗ
.pdf
9. Сила F = 4i + 3k приложена к точке M (2,1, 2) . Найти величину и направление момента этой силы относительно т. A(0, −1, −1) .
10. Установить, компланарны ли векторы a = 3i + 5 j; b = i − j + 2k ; c = 5i + 3 j + 4k ;
11. Даны координаты вершин пирамиды
A1 A2 A3 A4 A1 (1, −1,6); A2 (4,5, −2); A3 (−1,3,0); A4 (6,1,5) . Требуется средствами векторной алгебры найти:
•угол между ребрами A1 A2 и A1 A4 ;
•площадь грани A1 A2 A3 ;
• проекцию вектора A1 A3 на A1 A4
•объем пирамиды.
Вариант 25 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
даны геометрически. Построить каждый из следующих векторов: 1) |
|
+ |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
a |
b |
|
||||||||
|
1. Векторы |
a |
b |
; |
||||||||||||||||
|
|
− |
|
|
|
|
+ |
|
|
2 |
|
|
||||||||
2) |
a |
b |
; 3) − |
a |
b |
|
; 4) 2 |
|
− |
|
; |
|
||||||||
|
a |
b |
|
|||||||||||||||||
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
2. На плоскости даны точки A(1, 2); B(−1;2); C(5; −1) . В начале координат приложены силы OA,OB,OC . Построить равнодействующую OM . Выразить силы OA,OB,OC,OM через
единичные векторы i и j координатных осей. Найти величину равнодействующей OM .
3. Разложить геометрически и аналитически вектор c по векторам a и b,
еслиa = i + j; b = i − 3 j; c = 2i + 3 j .
4.Под действием силы F = {2, 4, 6} материальная точка переместилась из точки A(2, 2,3) в
точку B(5, 4, 2) . Вычислить работу силы F .
5.Даны векторы a = {2,3, 4}; b = {−1,5,5} . Найти:
(a,b ) ; a ;
(2a + |
|
∩ |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
b |
, |
b |
) ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
пр |
|
|
(a + |
|
) ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
b |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
b |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
a0 − ортa . |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∩ |
π |
|
6. Даны векторы a = 2 |
m |
+ n; |
b |
= 3 |
m |
− 2n; где |
|
m |
|
= 2; |
n |
= 3; ( |
m |
, n) = |
. Найти |
||||||||||||||||
(a, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|||||
|
|
) ; |
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
b |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
a |
|
; |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
∩ |
|
|
|||||||||||||||||||||||||
(a , |
b |
) ; |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
прb (a + b ) ;
7. Найти площадь треугольника с вершинами A(1,0,2); B(3,0,3); C(5,2,6) . 61
8. Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах
= − = + = = ∩ = π a m 2n; b 3m 2n; где m n 5; (m , n) 4 .
9. Сила F = i − 2 j + 4k приложена к точке B(3, 2, −1) . Найти величину и направление момента этой силы относительно т. A(1, 2,3) .
10. Установить, компланарны ли векторы a = i + j + k ; b = i + j − k ; c = i − j + k ;
11. Даны координаты вершин пирамиды
A1 A2 A3 A4 A1 (4,0,0); A2 (−2,1, 2); A3 (1,3, 2); A4 (3, 2,7) . Требуется средствами векторной алгебры найти:
•угол между ребрами A1 A2 и A1 A4 ;
•площадь грани A1 A2 A3 ;
• проекцию вектора A1 A3 на A1 A4
•объем пирамиды.
62
Модуль №3. Аналитическая геометрия
Вариант 1
Задача 1.
Дано уравнение прямой линии L : 3x + 4y − 3 = 0 . Построить прямую и написать:
•уравнение с угловым коэффициентом;
•уравнение в отрезках;
•нормальное уравнение;
Задача 2.
Построить прямые: x − 3y − 6 = 0 ;
2y − x = 0 ;
2X + 7 = 0 ; y + 1 = 0 ;
8x = 0 ;
Задача 3.
Даны вершины треугольника ABC . Составить уравнения медианы, высоты, биссектрисы угла A , а также прямых, проходящих через вершины треугольника и параллельных его сторонам. Определить длины сторон, угол A и площадь треугольника ABC .
A(−1,0) B(−2,3) C(2,1)
Задача 4.
Даны вершины A и B треугольника и точка пересечения высот M . Найти третью вершину
C . A(−1, 2) B(3, −1) M (2, 2)
Задача 5.
Дано уравнение плоскости P . Написать:
•нормальное уравнение плоскости;
•уравнение плоскости в отрезках на осях.
Построить плоскость. Определить расстояние от точки M до этой плоскости. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку M и параллельной данной.
P : x − 2y + 3z + 6 = 0, M(1,0,1) .
Задача 6.
Составить уравнение плоскости, проходящей через линию пересечения плоскостей L и перпендикулярной плоскости P . Определить угол между полученной плоскостью и плоскостью P1 .
5x − y − 2z − 3 = 0 |
P : x + 19 y − 7z − 11 = 0, |
P1 : x − 2 y + z − 4 = 0 |
|
= 0 |
|
L : 3x − 2y − 5z + 2 |
|
63
Задача 7.
Дана прямая L .Написать:
•каноническое уравнение прямой;
•параметрические уравнения прямой.
Составить уравнения прямой, проходящей через точку M параллельно данной прямой, и вычислить расстояние между этими прямыми.
L : 2x + y + z − 2 = 0 |
M (2,1, −1) |
2x − y − 3z + 6 = 0 |
|
Задача 8.
Заданы полуоси: а, в. Требуется:
•составить канонические уравнения эллипса и гиперболы с вещественной полуосью X и построить эти кривые;
•найти эксцентриситет, директриссы эллипса и гиперболы;
•определить угол между асимптотами гиперболы.
х=а а=5, в=3 .
Задача 9.
На параболе P найти точку, фокальный радиус которой равен r: P : y2 = −3x, r = 2 .
Задача 10.
Найти уравнение геометрического места точек, равноудаленных от точки A и прямой L :
A(2, 2), L : ось OX .
Задача 11.
Построить:
•параболу y = 2x2 − 8x + 13;
•гиперболу y = 52xx −− 35 .
Задача 12.
Исследовать кривую второго порядка и построить её. 3X2 +3Y2 +4XY+8X+12Y+1=0 .
Задача 13.
Найти центр и радиус сферы и построить её. x2 + y2 + z2 − 3x − 4z = 0 .
64
Задача 14.
Построить поверхности:
|
x2 |
− y2 = 1, |
|
x2 |
+ |
y2 |
= 1, |
|
x2 |
− |
y2 |
+ |
z2 |
= 1, |
|
x2 |
+ |
y2 |
+ |
z2 |
= 1, |
x2 |
+ |
y2 |
− |
z2 |
= −1 |
, |
||||||
4 |
64 |
|
|
|
9 |
|
|
|
64 |
|
|
64 |
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
36 |
|
|
|
|
4 |
1 |
|
36 |
5 |
|
36 |
5 |
|
|
||||||||||||||||||
14 y = x2 + z |
2 , |
|
x2 |
+ |
y2 |
− |
z2 |
|
= 0, x2 + 2 y2 |
= 4x2 + y2 − z2 , y = 4z2 , y = x , |
|
|||||||||||||||||||||||
|
64 |
|
5 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
36 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
x2 + y2 + z2 = 3x, |
4x2 − y + 4z2 = 1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
Вариант 2
Задача 1.
Дано уравнение прямой линии L : x + 2y + 6 = 0 . Построить прямую и написать:
•уравнение с угловым коэффициентом;
•уравнение в отрезках;
•нормальное уравнение;
Задача 2.
Построить прямые: x − 2y + 3 = 0 ;
y − 2x = 0 ;
X + 4 = 0 ; 3y + 7 = 0 ; 3x = 0 ;
5y = 0 ;
Задача 3.
Даны вершины треугольника ABC . Составить уравнения медианы, высоты, биссектрисы угла A , а также прямых, проходящих через вершины треугольника и параллельных его сторонам. Определить длины сторон, угол A и площадь треугольника ABC .
A(1,0) B(2,3) C(5,1)
Задача 4.
Даны вершины A и B треугольника и точка пересечения высот M . Найти третью вершину
C . A(−4,3) B(4, −1) M(3,3)
Задача 5.
Дано уравнение плоскости P . Написать:
•нормальное уравнение плоскости;
•уравнение плоскости в отрезках на осях.
65
Построить плоскость. Определить расстояние от точки M до этой плоскости. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку M и параллельной данной.
P : 3x − y + 5z −12 = 0, M(2,-1,1) .
Задача 6.
Составить уравнение плоскости, проходящей через линию пересечения плоскостей L и перпендикулярной плоскости P . Определить угол между полученной плоскостью и плоскостью P1 .
L : 3x + 3y + z − 1 = 0 |
P : 6x − 5y + 3z + 8 = 0, |
|
|
= 0, |
P1 : 2x + y − z + 6 = 0 |
2x − 3y − 2z + 6 |
||
Задача 7.
Дана прямая L .Написать:
•каноническое уравнение прямой;
•параметрические уравнения прямой.
Составить уравнения прямой, проходящей через точку M параллельно данной прямой, и вычислить расстояние между этими прямыми.
L : 2x − 3y − 2z − 2 = 0 |
M (0,2, −1) |
x − 3y + z + 3 = 0 |
|
Задача 8.
Заданы полуоси: a, b . Требуется:
•составить канонические уравнения эллипса и гиперболы с вещественной полуосью X и построить эти кривые;
•найти эксцентриситет, директриссы эллипса и гиперболы;
•определить угол между асимптотами гиперболы.
x= a
a=4, b=2 .
Задача 9.
На параболе P найти точку, фокальный радиус которой равен r : P : x = 6y, r = 2,5 Р:
Задача 10.
Найти уравнение геометрического места точек, равноудаленных от точки A и прямой L :
A(0,0), L: x=-4 .
Задача 11.
Построить:
• параболу y = 2x2 + 8x + 1
• гиперболу y = 5x + 3 2x + 3
66
Задача 12.
Найти центр и радиус сферы и построить её. x2 +y2 +z-2x+3y-z+2=0 .
Задача 13.
Исследовать кривую второго порядка и построить её. 3X2 +3Y2 +4XY+8X+12Y+2=0 .
Задача 14.
Построить поверхности:
y2 |
= 16x, |
|
x2 |
+ |
y2 |
+ |
z2 |
= 1, |
|
z = 8x2 + 8y2 + 3, |
x2 |
+ |
y2 |
= 1, |
|
|
|
|||||||||||||||||
3 |
|
|
8 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
x2 |
+ |
y2 |
− |
z2 |
= 1, |
|
y2 |
− |
z2 |
= |
1, |
|
x2 |
+ |
y2 |
|
− |
z2 |
= −1, |
|
x2 |
|
+ |
y2 |
− |
z2 |
= 0 , |
|||||||
3 |
|
8 |
|
5 |
|
3 |
5 |
|
3 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||
5 |
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
5 |
8 |
|
||||||||||||||||
7z = x2 + y2 , |
x=7 − y2 − x2 , |
5x = |
z, |
|
|
x2 + y2 + z2 |
|
= 3y . |
|
|||||||||||||||||||||||||
Вариант 3
Задача 1.
Дано уравнение прямой линииL : 3x + 2y − 4 = 0 . Построить прямую и написать:
•уравнение с угловым коэффициентом;
•уравнение в отрезках;
•нормальное уравнение;
Задача 2.
Построить прямые: x − y + 3 = 0 ;
2x + y = 0 ;
7x + 1 = 0 ;
2y −1 = 0 ;
2x = 0 ;
7 y = 0 ;
Задача 3.
Даны вершины треугольника ABC . Составить уравнения медианы, высоты, биссектрисы угла A , а также прямых, проходящих через вершины треугольника и параллельных его сторонам. Определить длины сторон, угол A и площадь треугольника ABC .
A(0,1) B(2,1) C(−1,4)
67
Задача 4.
Даны вершины A и B треугольника и точка пересечения высот M . Найти третью вершину
C . A(1, −2) B(2,0) M(5, −1)
Задача 5.
Дано уравнение плоскости P . Написать:
•нормальное уравнение плоскости;
•уравнение плоскости в отрезках на осях.
•Построить плоскость. Определить расстояние от точки M до этой плоскости. Составить
уравнение плоскости, проходящей через точку M и параллельной данной.
P : x − 2y + z − 8 = 0, M(0,2,-1) .
Задача 6.
Составить уравнение плоскости, проходящей через линию пересечения плоскостей L и перпендикулярной плоскости P . Определить угол между полученной плоскостью и плоскостью P1 .
L : x − y − z − 2 = 0 |
P : 2x − y + z − 8 = 0, |
x − 2y + z + 4 = 0, |
P1 : 4x + y − 3z + 2 = 0 |
Задача 7.
Дана прямая L .Написать:
•каноническое уравнение прямой;
•параметрические уравнения прямой.
Составить уравнения прямой, проходящей через точку M параллельно данной прямой, и вычислить расстояние между этими прямыми.
L : 3x + 3y − 2z − 1 = 0 |
M (2,0, −1) |
2x − 3y + z + 6 = 0 |
|
Задача 8.
Заданы полуоси: а, в. Требуется:
•составить канонические уравнения эллипса и гиперболы с вещественной полуосью Х и построить эти кривые;
•найти эксцентриситет, директриссы эллипса и гиперболы;
•определить угол между асимптотами гиперболы.
x=a a=1, в=3 .
Задача 9.
На параболе P найти точку, фокальный радиус которой равен r : P : x2 = −4y, r = 2 .
Задача 10.
Найти уравнение геометрического места точек, равноудаленных от точки A и прямой L : 68
A(0,2), L: y=4
Задача 11.
Построить:
•параболу y = x2 + 3x −1
б) гиперболу y = |
x − 3 |
|
2x + 1 |
||
|
Задача 12.
Найти центр и радиус сферы и построить её. x2 +y2 +z-3x-2y+z+1=0 .
Задача 13.
Построить поверхности:
x2 + y2 =2x, |
|
x2 |
+ |
y2 |
+ |
|
z2 |
= 0, |
|
x2 |
+ |
|
y2 |
= 1, |
|
x2 |
+ |
y2 |
− |
z2 |
= 1, |
||||||||||
3 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
9 |
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
6 |
|
9 |
|
|
|
6 |
|
|
|
4 |
1 |
|
||||||||||||||
x2 |
− |
z2 |
= 1, |
x2 |
− |
y2 |
|
+ |
z2 |
|
= 1, |
x2 |
+ |
y2 |
|
− |
z2 |
= 0, 2z = x2 + 3y2 , |
|||||||||||||
6 |
|
3 |
|
|
|
3 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||
9 |
|
|
6 |
|
9 |
|
|
|
6 |
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
z = 3 − x2 − y2 , |
x2 + y2 + z2 = z, |
x2 + 4 = z2 , |
x2 + 4x + y = 0 . |
||||||||||||||||||||||||||||
Вариант 4
Задача 1.
Дано уравнение прямой линии L : 4x + 3y − 8 = 0 . Построить прямую и написать:
•уравнение с угловым коэффициентом;
•уравнение в отрезках;
•нормальное уравнение;
Задача 2.
Построить прямые: x − 4y + 1 = 0 ;
3y − x = 0 ;
2X + 3 = 0 ; y + 2 = 0 ;
10x = 0 ;
3y = 0 ;
Задача 3.
Даны вершины треугольника ABC . Составить уравнения медианы, высоты, биссектрисы угла A , а также прямых, проходящих через вершины треугольника и параллельных его
69
сторонам. Определить длины сторон, угол A и площадь треугольника ABC .
A(1,1) B(4,0) C(2, −3)
Задача 4.
Даны вершины A и B треугольника и точка пересечения высот M . Найти третью вершину
C . A(0, −4) B(3,1) M(2,0)
Задача 5.
Дано уравнение плоскости P . Написать:
•нормальное уравнение плоскости;
•уравнение плоскости в отрезках на осях.
Построить плоскость. Определить расстояние от точки M до этой плоскости. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку M и параллельной данной.
P : 2x − y − z + 3 = 0, M(2,0,1) .
Задача 6.
Составить уравнение плоскости, проходящей через линию пересечения плоскостей L и перпендикулярной плоскости P . Определить угол между полученной плоскостью и плоскостью P1 .
L : x + y − 2z − 2 = 0 |
P : x + 5y − z + 11 = 0, |
x − y + z + 2 = 0, |
P1 : x − y + 2z − 1 = 0 |
Задача 7.
Дана прямая L . Написать:
•каноническое уравнение прямой;
•параметрические уравнения прямой.
Составить уравнения прямой, проходящей через точку M параллельно данной прямой, и вычислить расстояние между этими прямыми.
L : x + 5y − z + 11 = 0 |
M (4, −1, −2) |
x − y + 2z −1 = 0 |
|
Задача 8.
Заданы полуоси: а, в. Требуется:
•составить канонические уравнения эллипса и гиперболы с вещественной полуосью Х и построить эти кривые;
•найти эксцентриситет, директриссы эллипса и гиперболы;
•определить угол между асимптотами гиперболы.
х=а а=6, в=2 .
70