Варианты ИДЗ
.pdfЗадача 3.
Даны вершины треугольника +ABC .
1.Составить уравнения медианы, высоты, биссектрисы угла A ,а также прямых, проходящих через вершины треугольника и параллельных его сторонам.
2.Определить длины сторон, угол A и площадь треугольника +ABC :
A(3, 0), B(−2,3),C(2, 4).
Задача 4.
Даны две вершины A и B треугольника и точка пересечения медиан M . Написать уравнение средних линий треугольника.
A(3, −2), B(1,3), M (4, −1).
Задача 5.
Дано уравнение плоскости P . 3. Написать:
•нормальное уравнение плоскости;
•уравнение плоскости в отрезках на осях. 2. Построить плоскость.
3. Определить расстояние от точки М до этой плоскости.
4. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку M и параллельной данной.
P : 3Χ − 7Υ + Ζ + 2 = 0 , M (−1,0, −1).
Задача 6.
1.Составить уравнение плоскости, проходящей через линию пересечения плоскости l и перпендикулярной плоскости P .
2.Определить угол между полученной плоскостью и плоскостьюP1 .
X + Y + 3Z = 0
l : X − Y − Z = 0 , P : Χ − Υ − Ζ + 1 = 0 , P1 : Χ − 2Υ + 5Ζ − 6 = 0 .
Задача 7.
Дана прямая A. 3. Написать:
•каноническое уравнения прямой;
•параметрические уравнения прямой.
2.Составить уравнение прямой, проходящей через точку M параллельно данной прямой.
3.Вычислить расстояние между этими прямыми.
A: 4X + Y − 3Z + 2 = 0 |
, M (3, −7,1). |
2X − Y + Z − 8 = 0 |
|
Задача 8. |
|
Заданы полуоси α , β .
1.Составить каноническое уравнение эллипса и гиперболы с вещественной полуосью
Χи построить эти кривые.
2.Найти эксцентриситет, директрисы эллипса и гиперболы.
3.Определить угол между асимптотами гиперболы.
121
Χ = β ,α = 2 , β = 4 .
Задача 9.
Найти координаты фокуса F и уравнение директрисы параболы: Y 2 = −12X .
Задача 10.
Определить траекторию точки М, движущейся так, что сумма квадратов её расстояний от точек A , B , и C равна K : A(1,0), B(0,1),C(1,0), K = 3.
Задача 11.
Построить:
1. параболу Υ = 3Χ2 − Χ + 7 ;
2. гиперболу Υ = 3Χ − 2 .
4Χ + 3
Задача 12.
Найти центр и радиус сферы и построить её.
Х 2 + У2 + Z 2 − Z + Y = 0.
Задача 13.
Построить поверхности:
•X 2 + Z 2 = 2X ,
•1+ X 2 − Y 2 − Z 2 = 0, 16 12 4
•X 2 + Y 2 = 1, 16 12
•X 2 + Y 2 + Z 2 = 1, 16 12 4
•X 2 − Z 2 = 1, 16 4
•X 2 − 4Y 2 + Z 2 + 16 = 0,
•X 2 − 3Z 2 = 4Y 2 ,
•7Z = 2 − X 2 − Y 2 ,
• X 2 + Y 2 + Z 2 = 5Z,
•Z = 2Y,
•9Z 2 + X 2 + Y = 0.
122
Модуль №4. Введение в анализ
Вариант 1
1.Найти область определения функции: у = ln( x 2 + 10x + 21) + 64 − x 2 .
2.Исследовать на четность или нечетность функции:
•у = x sin 4x + e x ;
•у = x sin2 x − 3 x .
3. Найти периоды функций:
•у = 2 sin( 2x + π3 ) + 1;
•у = sin2 2x ;
•у = 2 sin 2x + cos 3x .
4. Построить графики функций:
•у = −2х2 + 5х− 2 ;
•у = х+ 2 ;
х− 1
•у = ln( x − 2 ) ;
•у = е− х + 1;
•у = cos 2x + 2 ;
•у = x x − 1 .
5. Записать уравнения в полярных координатах и построить кривые:
•х = 1; у = 2;
• |
х2 |
+ у2 |
= 3 ; |
• |
х2 |
+ у2 |
= 4х; |
•х2 + у2 = 5 у.
6. Построить кривые:
•r = 1 + cos 2ϕ ;
•r = 2 − 2sinϕ ;
7. Вычислить пределы:
•lim xx +− 11 ;x→0
•lim xx +− 11 ;x→1
•lim xx +− 11 ;x→−1
•lim 2 x ;
x→±∞
•lim x3 + 3x 2 + x − 5 ;
x2 − 3x + 2x→1
123
• |
lim |
2x 2 |
− 3x + 1 |
; |
||||
|
4x |
− |
2 |
|||||
|
x→1 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
• |
lim |
x3 + x 2 |
; |
|
||||
3x3 |
+ 5 |
|
||||||
|
x→∞ |
|
|
|
||||
• |
lim( |
x − |
|
x − 1 ) ; |
||||
|
x→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
• |
lim |
|
x 2 |
+ 1 |
; |
|||
|
x3 |
+ 1 + x |
||||||
|
x→∞ 3 |
|
||||||
• |
lim |
|
sin x |
|
; |
|||
|
x + 2 |
− |
|
|||||
|
x→0 |
|
2 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
•lim cos x − cos 2x ;
xsin 2xx→0
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
arcsin2 4x |
|
|||||
|
x |
||||||
• |
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
xtg5x |
|
|||
|
x→0 |
|
|
||||
|
|
|
2x + 1 |
3x−4 |
|||
• |
lim |
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|||||
|
x→∞ |
|
2x + 2 |
|
|
|
|
|
|
|
2x + 1 |
3x−4 |
|||
• |
lim |
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|||||
|
x→∞ |
|
3x + 2 |
|
|
|
•lim x(ln(x + 2)− ln x).
x→∞
8.Доказать, что функция у = − х3 + 2х2 − х+ 5 непрерывна на всей числовой оси.
9.Исследовать на непрерывность функции:
•у = хх+− 52 ;
•у = х2 − 3х+ 2 ;
х− 2
• у = |
|
|
х− 4 |
|
; |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|||
|
|
х− 4 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
1
•у = 2 х+1 ;
x2 , если −∞ < x ≤ −2;
•− x + 2, если −2 < x ≤ 0;3x, если 0 < x < ∞.
Вариант 2
1.Найти область определения функции: у = ln( x 2 − 6x + 8 ) + 36 − x 2 .
2.Исследовать на четность или нечетность функции:
•у = сosx sin 2 5x + e x ;
•у = x sin x − 3 x .
3. Найти периоды функций:
124
•у = 3 sin( 4x − π5 ) + 2 ;
•у = cos 2 2x ;
•у = 2 sin 3x + 3cos 4x .
4. Построить графики функций:
•у = −3х2 + 10х− 3 ;
•у = хх−+ 12 ;
•у = ln( − x ) + 1;
•у = ех−2 ;
•у = cos 2x − 1;
•у = x 2 + x .
5. Записать уравнения в полярных координатах и построить кривые:
•х = 2; у = 3;
• |
х2 |
+ у2 |
= 4 ; |
• |
х2 |
+ у2 |
= 4х ; |
•х2 + у2 = 5 у .
6. Построить кривые:
•r = 1 − cos 2ϕ ;
•r = 3 + 3 sinϕ ;
7. Вычислить пределы:
•lim xx +− 11 ;x→0
•lim xx +− 11 ;x→1
• lim x + 1 ;
x→−1 x − 1
•lim 3x ;
x→±∞
•lim x3 + 2x 2 − 3x ;
x2 − 3x + 2x→1
• |
lim |
2x 2 |
− 3x + 1 |
; |
||||
8x − 2 |
|
|||||||
|
x→ |
1 |
|
|
|
|||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
• |
lim |
2x 2 |
+ x |
; |
|
|
||
3x3 |
+ 5 |
|
|
|||||
|
x→∞ |
|
|
|
||||
• |
lim( x + 1 − |
3x ); |
||||||
|
x→∞ |
|
|
|
|
|
||
• |
lim |
3 |
х3 + 1 |
|
; |
|||
x 2 |
− 2 + |
|
||||||
|
x→∞ |
4x |
125
• |
lim |
|
tgx |
; |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|||||
|
x→0 |
|
x + 4 − 2 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
• |
lim |
cos x − cos 3x |
; |
||||||
|
|
|
|||||||
|
x→0 |
|
1 − cos 5x |
|
|
|
|
||
|
arcsin2 3x |
1 |
|
||||||
|
|
|
|
||||||
|
x |
||||||||
• |
lim |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|||||||
|
|
|
x sin 3x |
|
|||||
|
x→0 |
|
|
||||||
|
|
|
3x − 2 5 x+ 2 |
||||||
• |
lim |
|
|
|
; |
|
|
||
|
2x + 1 |
|
|
||||||
|
x→∞ |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
3x − 2 5 x+ 2 |
||||||
• |
lim |
|
|
|
; |
|
|
||
|
3x + 1 |
|
|
||||||
|
x→∞ |
|
|
|
|
|
|
||
• |
lim x(ln х− ln(x + 2)). |
||||||||
|
x→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
8.Доказать, что функция у = 2х2 − 4х+ 5 непрерывна на всей числовой оси.
9.Исследовать на непрерывность функции:
• |
у = |
|
|
3х |
|
; |
|
|
|
х+ 10 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|||
• |
у = |
|
х2 − 7х+ 12 |
; |
||||
|
|
х− 4 |
||||||
|
|
|
|
|
||||
• |
у = |
|
|
2х+ 5 |
|
; |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
2х+ 5 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
−1
•у = 2 х+6 ;
|
− x2 + 1, если −∞ < x ≤ 0; |
|
• |
|
0 < x < 2; |
x + 1, если |
||
|
|
2 ≤ x < ∞. |
|
3x, если |
Вариант 3
1.Найти область определения функции: у = ln( x 2 − 7x + 12 ) + 25 − x 2 .
2.Исследовать на четность или нечетность функции:
•у = x3tgx + ln x ;
•у = arctgx − 5 x3 .
3. Найти периоды функций:
•у = 4 sin( 5x + π6 ) + 3 ;
•у = cos 2 3x ;
•у = 4 sin 4x + cos 5x .
4. Построить графики функций:
• у = −4х2 + 17х− 4 ;
126
•у = х− 1 ;
х+ 2
•у = ln( x + 3 ) ;
•у = е3х + 2 ;
•у = sin 2x + 1;
•у = x 2 − x .
5. Записать уравнения в полярных координатах и построить кривые:
•х = 3; у = 4;
• |
х2 |
+ у2 |
= 5 ; |
• |
х2 |
+ у2 |
= 6х; |
•х2 + у2 = 7 у.
6. Построить кривые:
•r = 1 + sin 2ϕ ;
•r = 2 − 2 cosϕ ;
7. Вычислить пределы:
•lim x + 2 ;
x− 2x→0
•lim x + 2 ;
x− 2x→2
• lim x + 2 ;
x→−2 x − 2
•lim e x ;
x→±∞
• |
lim |
x3 |
+ x 2 |
|
− 7x + 15 |
; |
||||||||||||
|
|
x 2 − 4x + 3 |
||||||||||||||||
|
x→1 |
|
|
|
||||||||||||||
• |
lim |
3x |
2 − 4x + 1 |
; |
|
|
|
|||||||||||
|
3 |
− |
27x |
|
|
|
|
|||||||||||
|
x→ |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
• |
lim |
x 2 |
+ 5x |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
x 4 + 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
x→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
• |
lim( |
|
4x − 1 − x ) ; |
|
||||||||||||||
|
x→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
• |
lim |
|
x 2 |
+ 8 + 3x |
; |
|
||||||||||||
|
|
х3 + |
3 + 6 |
|
|
|
||||||||||||
|
x→∞ 3 |
|
|
|
|
|
||||||||||||
• |
lim |
|
|
tg 4x |
|
|
; |
|
|
|
|
|||||||
|
x + 16 − 4 |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
• |
lim |
cos x − cos 5x |
; |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
x→0 |
|
1 − cos 7x |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
arcsin |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
||||||
|
|
|
2 5x |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
x |
|
|
|
||||||||||||
• |
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
x sin10x |
|
|
|
|
||||||||||
|
x→0 |
|
|
|
|
127
|
|
|
4x + 1 |
3x−4 |
|
• |
lim |
|
|
|
; |
|
|||||
|
x→∞ |
3x − 1 |
|
||
|
|
|
4x + 1 |
3x−4 |
|
• |
lim |
|
|
|
; |
|
|||||
|
x→∞ |
4x − 1 |
|
||
• |
lim x(ln х− ln(x + 3)). |
||||
|
x→∞ |
|
|
|
|
8.Доказать, что функция у = 3х2 + 2х+ 5 непрерывна на всей числовой оси.
9.Исследовать на непрерывность функции:
•у = хх+− 84 ;
•у = х2 − 4х+ 3 ;
х− 3
х+ 6
•у = х+ 6 ;
|
1 |
|
|
|
• |
у = e |
х+1 |
; |
|
|
− x2 + 2, если −∞ < x ≤ −1; |
|||
• |
|
|
||
−3x + 2, если −1 < x ≤ 0; |
||||
|
|
0 < x < ∞. |
||
|
2, если |
Вариант 4
1.Найти область определения функции: у = ln( x 2 − 9x + 20 ) + 100 − x 2 .
2.Исследовать на четность или нечетность функции:
•у = x5 arctgx + cos 5x ;
•у = ln 11 +− xx .
3. Найти периоды функций:
•у = 4 sin( 6x − π7 ) + 4 ;
•у = cos 2 4x ;
•у = 5 sin 5x + cos 6x .
4. Построить графики функций:
•у = −5х2 + 26х− 5 ;
•у = хх−+ 12 ;
•у = ln 3х+ 2 ;
•у = е3 х+ 2 ;
•у = sin 2x − 2 ;
128
•у = х x + 1 .
5. Записать уравнения в полярных координатах и построить кривые:
•х = 4; у = 5;
• |
х2 |
+ у2 |
= 6 ; |
• |
х2 |
+ у2 |
= 7х ; |
•х2 + у2 = 8 у .
6. Построить кривые:
•r = 1 − sin 2ϕ ;
•r = 2 cos 2 ϕ2 ;
7. Вычислить пределы:
•lim x − 2 ;
x+ 2x→0
•lim x − 2 ;
x+ 2x→2
•lim x − 2 ;
x+ 2x→−2
•lim ( 3 − 1)x ;
x→±∞
• |
lim |
|
|
x3 + 5x 2 + 9x + 5 |
; |
||||||||||||
|
|
|
x 2 |
− x − 2 |
|
||||||||||||
|
x→−1 |
|
|
|
|
|
|||||||||||
• |
lim |
4x 2 − 5x + 1 |
; |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
1 − 2 |
x |
|
|
|
|
|
||||||||
|
x→ |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
• |
lim |
4x3 + x |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
1 − x3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
x→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
• |
lim( |
4x + 1 − |
|
x3 |
) ; |
|
|||||||||||
|
x→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
• |
lim |
|
|
|
x 2 + 5 + 2x |
; |
|
|
|||||||||
|
|
3 х3 + 1 + 5 |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
x→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
• |
lim |
|
|
|
sin 3x |
; |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
x→0 |
|
|
|
x + 9 − 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
• lim |
cos x − cos 4x |
; |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
x→0 |
|
|
|
1 − cos 6x |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
arcsin2 4x |
|
1 |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
x |
|
|
|
||||||||||||
• |
lim |
|
|
|
|
|
|
; |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
xtg9x |
|
|
|
|
||||||||||
|
x→0 |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
3x + |
2 2 x−3 |
|
|
|
|
|
|
||||
• |
lim |
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|||||||
4x + |
1 |
|
|
|
|
||||||||||||
|
x→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
3x + 2 2 x−4
• lim ; x→∞ 3x + 1
•lim x(ln х− ln(x − 3)).
x→∞
129
8.Доказать, что функция у = х3 + 2х2 − x непрерывна на всей числовой оси.
9.Исследовать на непрерывность функции:
у= хх+− 18 ;
у= х2 − 8х+ 12 ;
х− 2
у= х+ 3 ;
х+ 3
−1
у= e х+ 4 ;
− x2 , если |
−∞ < x ≤ 0; |
|
|
2x + 2, если 0 < x ≤ 1; |
|
|
1 < x < ∞. |
3, если |
Вариант 5
1.Найти область определения функции: у = ln( x 2 − 2x + 3 ) + 16 − x 2 .
2.Исследовать на четность или нечетность функции:
•у = xarctg3x + e x2 ;
•у = x x − 5 x sin2 x .
3. Найти периоды функций:
•у = 6 sin( 7x + π8 ) − 5 ;
•у = cos 2 5x ;
•у = 3 sin x + cos 2x .
4. Построить графики функций:
•у = 2х2 + 3х− 2 ;
•у = 2х+ 4 ;
х− 1
•у = ln( 2x + 2 ) ;
•у = е2 х − 3 ;
•у = − cos 2x ;
•у = x x + 1 .
5. Записать уравнения в полярных координатах и построить кривые:
•х = 5; у = 6;
• |
х2 |
+ у2 |
= 7 ; |
• |
х2 |
+ у2 |
= 8х; |
•х2 + у2 = 9 у.
6. Построить кривые:
130