2.15. Лабораторная работа №15

ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ТЕРМОЭЛЕКТРОНОВ ПО СКОРОСТЯМ

Цель работы:экспериментальное исследование распреде­ления Максвелла.

Приборы и принадлежности:электронная лампа – пентод 6П9, два выпрямителя ВУП–2, микроамперметр М136, три вольтметра, два резистора.

ТЕОРИЯ МЕТОДА И ОПИСАНИЕ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЙ УСТАНОВКИ

В замкнутом сосуде, наполненном газом, при температуре Т уста­навливается термодинамическое равновесие, которое характеризуется определенным распределением молекул по скоростям. Среднее число мо­лекул в единице объема , скорость которых заключена междуVиV+dV, равно произведению средней концентрации молекул идеально­го газана вероятностьdP(V) того, что скорость молекул лежит в интервале [V;V+dV]:

. (1)

В зависимости от выбранной системы координат функция dP(V) имеет различный вид. В декартовой системе компонентов скоростей:

; (2)

в цилиндрической системе:

; (3)

в сферической системе:

. (4)

Здесь А– нормировочная константа, – квадрат моду­ля скорости, остальные обозначения являются общепринятыми.

Константа Aв уравнении (2) определяется в результате интегрированияdP(V) по всем возможным значениям любой из компонентов скоростейV_x,V_y, V_zот –до +. Учитывая усло­вие нормировки (интегралdP(V) должен равняться 1, что означает: любая наугад взятая молекула имеет какую-нибудь скорость):

, (5)

определим константу А₁для компонента скоростиV_x. Она равна

. (6)

Очевидно, что нормировочные константы для других компонент скоростей V_y V_zтакже будут равныА₁вследствие хаотического, движения молекул (любое направление движения молекулы является равновероятным). Из математики известно, что вероятность сложного события равна произведению вероятностей каждого из событий в отдельности, тогдаA=A₁³ и решение выражения(2) будет иметь вид:

. (7)

Величина

. (8)

представляет собой функцию распределения молекул по скоростям (распределение Максвелла). Она определяет долю молекул единицы объема газа, скорости которых заключены в интервале скоростей, равном единице, включающем данную скорость (плотность вероятности распределения скоростей). Для решения различных задач удобно пользоваться формулой Максвелла, выраженной через относительные скорости:

. (9)

Здесь u = V/V_н– относительная скорость, – наивероятнейшая скорость, т.е. скорость, соответствующая вершине плотности распределения. Уравнение (9) – универсальное. В таком виде функция распределения не зависит ни от рода газа, ни от температуры. График функции распределения Максвелла для относительных скоростей представлен на рис. 21.

В данной работе для исследования вида функции распределения предлагается метод задерживающего потенциала. Суть метода состоит в следующем. Известно, что электронный газ, который образуется в пространстве между катодом и управляющей сеткой электронной лампы вследствие термоэлектронной эмиссии, подчиняется статистике Максвелла. Электронный газ имеет температуру катода. В многоэлектродной лампе типа пентода электронное облако из-за конструктивных особенностей лампы обладает

Рис. 21 Рис. 22

осевой симметрией (катод представляет собой тонкий нагре­тый цилиндр). Для описания статистических свойств электронного га­за в этом случае удобно применять формулу (3).

Если электроны, вылетающие из облака, заставить проходить через задерживающее радиальное электрическое поле, то при некоторой разности потенциалов U₃преодолеть влияние поля могут только те электроны, у которых радиальная составляющая скорости удовлетворяет условию:

, (10)

где e – заряд электрона,V_r– радиальная составляющая скорости.

Определим число электронов, пролетающих через тормозящее поле в единицу времени, т.е. возникающий ток. Пользуясь формулами (1) и (3), определим число электронов, имеющих значение радиальной составляющей скорости в интервале [V_r; V_r+dV_r]. Интегрируя (1) с учетом выражения (3) по азимутальному углув пределах от 0 до 2и по компоненте скоростиV_zот –до +, получим:

. (11)

Число электронов с радиальными скоростями, лежащими в интервале [V_r; V_r + dV_r], проходящих через единицу поверхности цилинд­рического электрода в единицу времени, равнот.е.

(12)

Наконец, число электронов , пролетающих в единицу времени через пространство с запирающим потенциаломU_з, определяется общим чис­лом электронов, скорости которых превышают:

. (13)

Из (13) видно, что общее число электронов, пролетающих в единицу времени через тормозящее поле, равно интегралу с переменным нижним пределом от выражения, совпадающего с точностью до постоянной с распределением Максвелла (7). При этом ток, идущий через лампу, будет пропорционален .

Меняя значение задерживающей разности потенциалов, можно получить функцию , производная которой попредставляет собой распределение термоэлектронов по скоростям (8).

В настоящей работе распределение Максвелла проверяется на установке, схема которой приведена на рис. 22. В качестве электронной лампы применяется пентод 6П9. Электронное облако образуется в пространстве "катод – управляющая сетка", потенциалы которых практически одинаковы. Между сетками G₁, иG₂с помощью выпрямителя ВУП–2 создается тормозящее поле. ВеличинаU_зможет меняться в пределах от 0 до 30В. Питание накала катода осуществляется напря­жением 6.3Ви контролируется вольтметромV₁. Для измеренияU_зслужит вольтметрV₃. Электроны, пролетающие пространство с тормо­зящим полем, проходят затем ускоряющее поле между анодом и последней сеткойG₃. Ускоряющая разность потенциалов обеспечивается работой выпрямителя ВУП–2. Разность потенциалов между анодом и сеткойG₃подбирается так, чтобы обеспечить в анодной цепи ток насыщения. При этом все электроны, скорость которых превышаетV_r⁰, попадают на анод. Анодное напряжение регистрируется в работе вольтметромV₂, а анодный ток – микроамперметром типаM–136. Между сеткамиG₂иG₃включен резисторR₂, сопротивление утечки которого 5МОм, а сопротивление резистораR₁, включенного между катодом и сеткойG₁, равно 200Ом. Описанная схема включения позволяет свести к минимуму влияние изменения разности потенциалов между сет­камиG₁, иG₂на плотность электронов в околокатодном пространстве, что существенно при проверке закона распределения по скоростям. Кроме того, при такой схеме включения пентода минимально взаимное влияние источников питания в анодной цепи и в цепи, где создается задерживающая разность потенциалов.

ИЗМЕРЕНИЯ И ОБРАБОТКА ИХ РЕЗУЛЬТАТОВ

Включениеэкспериментальной установки в работу осуществите в следующей последовательности:

1. Изучите расположение приборов и средства управления ими по надписям, нанесенным на панели установки. Установите все переключатели и ручки управления рабочих пределов приборов в положение "Откл.".

2. Включите шнур питания установки в розетку 220 В, установленную на лабораторном столе. Тумблер питания на панели установки включить в положение "Сеть", при этом должна гореть сигнальная лампочка.

3. Установите переключатель "Питание накала" в положение "норма", при этом вольтметр V₁должен показывать 6.3В.

4. Ручку управления выпрямителя ВУП–2 "Анодное напряжение" ус­тановите на отметку 140 В, контролируя показание по вольтметруV₂.

5. Переключатель вольтметра V₃, измеряющего задерживающее на­пряжениеU_з, поставьте в положение множителя х2. При этом предел измерения вольтметра будет равен 10В, а цена наименьшего деления шкалы прибора – 0.2В. Вращая ручку регулятора задерживающего на­пряжения по часовой стрелке (направление "меньше) установите стрелку вольтметра на 0.

6. Переключатель микроамперметра M136, измеряющего анодный ток, установите в положение множителя х10. При этом предал измере­ния микроамперметра равен 50мкА, а цена наименьшего деления шка­лы прибора – 0.5мкА.

7. После этих операций дайте установке прогреться 5мини она готова к съему экспериментальных данных.

Задание 1.Исследование экспериментальной зависимости.

Плавно вращая ручку регулятора задерживающего напряжения против часовой стрелки, изменяйте задерживающее напряжение U_зот 0 до 10В, причем в интервале от 0 до 2.4В– через 0.2В, в интервале от 2.4 до 4В– через 0.4В, в интервале от 4 до 10В– через 1В. Для каждого значения задерживающего потенциала фиксируйте анодный ток по микроамперметру М136.

Внимание!При измерении следите за тем, чтобы стрелка микроамперметра по возможности находилась в середине шкалы. Для этого своевременно меняйте предел измерения микроамперметра.

Результаты измерений занесите в таблицу 18.

Таблица 18

Величина	Номер экспериментальной точки
	1	2	3	4	. . . .	23
Uз,В	0	0.2	0.4	0.6		10
,В1/2	0	0.45	0.63	0.77		3.16
Ia,мкА

Постройте по экспериментальным точкам на миллиметровой бумаге график

. (14)

Экспериментальные точки аппроксимируйте плавной интегральной кри­вой.

Задание 2.Исследование распределения термоэлектронов по скоростям.

Графически дифференцируя функцию (14), постройте график функции

, (15),

которая с точностью до масштабных множителей должна совпадать с формулой рас­пределения Максвелла (8). Для проверки этого утверждения необходи­мо сравнить полученную кривую (15) с теоретической кривой плотнос­ти вероятностей распределения скоростей Максвелла (9), выраженной через относительные скорости, график которой приведен на рис. 21. Учитывая, что сравниваемые кривые (15) и (9) построены в разных масштабах, необходимо произвести нормировку переменных экспериментальной функции (15) как по оси абсцисс, так и по оси ординат. Так как на рис. 21 по оси абсцисс отложены значения U = V/V_н, где отвечает максимуму функции, то при построении экспериментальной кривой вида (9) по оси абсцисс нужно отложить отношение (учитывая, что согласно (10)V_r пропорциональна)

,

где значение отвечает максимуму экспериментальной функции (15), т.е. наивероятнейшей скорости термоэлектронов.

При нормировке по оси ординат максимуму функции следует приписать значение плотности вероятности, равное 0.83, что отвечает максимальному значению функции распределения Максвелла (9), если скорость выражается в относительных единицах. Произведя нормировку переменных, постройте на миллиметровой бумаге график экспе­риментальной функцииf(), аппроксимировав ее плавной кривой, и сравните ее с теоретической кривойf(u) (9). Построенные в одина­ковом масштабе, они должны совпадать друг с другом в пределах точ­ности эксперимента.

Графическое дифференцирование, нормировку и построение графи­ков проведите на основе данных таблицы 18, заполнив вычисляемыми значениями величин таблицу 19.

Внимание! При вычислении значенийиследует брать не менее 3 знаков после запятой. Это обусловлено тем, что величиныпри вычислении находятся в числителе и сама по себе не велика, поэтому погрешность, обусловленная округлением может дать большую погрешность при вычисленииI_a/, что может выразится в смещении максимума функции.

Таблица 19

Величина	Номер экспериментальной точки
	1	2	3	. . . .	23
,В1/2	0	0.45	0.63		3.16
(),В1/2	0	0.45	0.18		0.16
Ia,мкА
,В1/2	0
	0
	0

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1. При каких предположениях справедливо распределение Максвел­ла по скоростям?

2. Начертите график функции распределения f(V) молекул по мо­дулям скоростей. Как изменится этот график с увеличением температуры? Каков физический смысл площади, ограниченной графиком этой функции и осью абсциссV?

3. Получите выражение (9). Чем удобна эта форма записи распре­деления скоростей по Максвеллу?

4. Чему равны: среднее значение скорости, среднее значение квад­ратичной скорости, значение наивероятнейшей скорости для молекул идеального газа? Как применить закон Максвелла для вычисления значений перечисленных скоростей?

5. Какие существуют экспериментальные методы для проверки рас­пределения Максвелла?