Лекция № 2 прямая

1. Прямая. 2. Положение прямой относительно плоскостей проекций. 3. Принадлежность точки прямой. 4. Следы прямой. 5. Деление отрезка прямой в данном соотношении. 6. Определение длины отрезка прямой и углов наклона прямой к плоскостям проекций. 7. Взаимное положение прямых.

1Прямая

Проекцией прямой в общем случае является прямая, за исключением случая, когда прямая перпендикулярна плоскости (рис. 10).

Чтобы построить эпюр прямой определяют координаты x,y,zдвух точек прямой и переносят эти величины на чертеж.

2 Положение прямой относительно плоскостей проекции

Взависимости от положения прямой по отношению к плоскостям проекций она может занимать как общее, так и частные положения.

Проекция прямой общего положения меньше самой прямой.

k₁k

k₂k

k₃k

Различают восходящую прямую – это прямая, которая по мере удаления от наблюдателя повышается (рис. 11) и нисходящую, которая понижается.

Рис. 11. Прямая общего положения

h  П₁;Z = const

h₂0xпризнак

h₃0угоризонтали

h₁ =h– свойство

горизонтали

 – угол наклона прямой к

плоскости П₁

 – угол наклона прямой к

плоскости П₂

 – угол наклона прямой к

плоскости П₃



?

= 0

 = (h₁ ^ П₂) обозначить



Рис. 12. Горизонталь

= (h₁ ^ П₃) на чертеже

f  П₂;у = const

f₁0xпризнак

f₃0zфронтали

f₂ =f– свойство фронтали



?

= 0

 = (f₂ ^ П₁) обозначить

 = (f₂ ^ П₃) на чертеже

Рис. 13. Фронталь

р  П₃;х = const

р₁0упризнак

р₂0zпрофильной прямой

р₃ =р– свойство профильной

прямой

= 0



?

= (р₃ ^ П₁) обозначить

 = (р₃ ^ П₂) на чертеже

Рис. 14. Профильная прямая

аП₁

а₂ 0хпризнак

а₃ 0у



?

=

 =

 =

bП₂

b₁ 0хпризнак

b₃ 0z



?

=

 =

 =

cП₃

c₁ 0упризнак

с₂ 0z



?

=

 =

 =

3 Принадлежность точки прямой

Теорема:Если в пространстве точка принадлежит прямой, то на эпюре проекции этой точки находятся на одноименных проекциях прямой (рис. 18):

МАВ,

Е АВ.

Справедлива обратная теорема:

М₁  A₁B₁;

М₂ A₂B₂  М АВ.

Рис. 18

4 Следы прямой

С

?

лед–это точка пересеченная прямой с плоскостью проекций(рис. 19).Так как след принадлежит одной из плоскостей проекций, то его одна координата должна быть равна нулю.

обозначить наH = k ∩ П₁ – горизонтальный след

чертеже (рис. 19) F = k ∩ П₂ – фронтальный след

?

Р = k ∩ П₃ – профильный след

Правило построения следов:

Для построения горизонтального следа прямой ….. необходимо фронтальную проекцию ….. прямой ….. продолжить до пересечения с осью Х, затем из точки пересечения с осьюХвосстановить к ней перпендикуляр, и продолжить горизонтальную ….. проекцию прямой …… до пересечения с этим перпендикуляром.

Фронтальный след строиться аналогично.

5 Деление отрезка прямой в данном соотношении

Из свойств параллельного проецирования известно, что если точка делит отрезок прямой в данном отношении, то проекции этой точки делят одноименные проекции прямой в том же соотношении.

Поэтому, чтобы некоторый отрезок разделить на эпюре в данном соотношении, надо в том же отношении разделить его проекции.

Зная это условие можно определить принадлежность точки К прямойАВ:А₂К₂ : К₂В₂ ¹А₁К₁ : К₁В₁ Þ КÏАВ

Пример:Чтобы разделить отрезокАВв отношении 2 : 3 из точкиА₁проведем произвольный отрезокА₁В⁰₁разделенный на пять равных частей (рис. 20):A₁K⁰₁=2 частям,K⁰₁B⁰₁=3 частям,А₁К⁰₁ : К⁰₁В⁰₁=2 : 3

Соединить точку В⁰₁с точкойВ₁и проведя из точкиК⁰₁ прямую параллельную (В₁В⁰₁) получим проекцию точкиК₁. Согласно теореме Фалеса (Если на одной стороне угла отложить равные отрезки и через их концы провести параллельные прямые, пересекающие другую сторону, то на другой стороне отложатся равные между собой отрезки)А₁К₁ :К₁В₁ = = 2 : 3, далее находимК₂. Таким образом проекции точкиКделят одноименные проекции отрезкаАВв данном отношении следовательно и точкаКделит отрезокАВв отношении 2 : 3.