6 Особые случаи пересечения поверхностей

При взаимном пересечении поверхностей второго порядка линиями пересечения в общем случае являются пространственные кривые линии. В некоторых случаях линиями их пересечения могут быть кривые второго порядка (плоские кривые). Это можно увидеть на поверхностях, удовлетворяющих теореме Монжа:Если две поверхности второго порядка описаны около третьей поверхности второго порядка (или вписаны в нее), то линия их пересечения распадается на две плоские кривые второго порядка.

На рис. 84 изображены два цилиндра вращения одинакового диаметра с пересекающимися осями. В эти цилиндры можно вписать сферу. Поэтому, согласно приведенной теореме, их поверхности пересекаются по двум плоским кривым (эллипсам). При данном расположении цилиндров фронтальные проекции эллипсов спроецируются в прямолинейные отрезки, а горизонтальные совпадут с очерком горизонтальной проекции вертикального цилиндра – с окружностью.

Другие примеры, удовлетворяющие теореме Монжа, представлены на рис. 85.

Р

?

ассмотрим еще некоторые случаи пересечения поверхностей вращения:

• д

  ?

  ва цилиндра с параллельными осями пересекаются по ___________________(рис. 86,а);

• д

  ?

  ва конуса с общей вершиной пересекаются по ____________________________(рис. 86, б);

• соосные поверхности пересекаются по _______________________(рис. 82).

Рис. 86

Лекция № 9 развертки поверхностей

1. Общие сведения. 2. Построение разверток многогранников. 3. Построение разверток кривых развертывающихся поверхностей.

1 Общие сведения

Разверткой называется фигура, полученная при совмещении поверхности с плоскостью. Построение разверток поверхностей широко применяется в технике при конструировании различных сооружений и деталей из листового материала. На развертке сохраняются длины линий, лежащих на поверхности, параллельность линий, величины углов между линиями и площади фигур, образованных замкнутыми линиями.

Способы построения разверток:

1. Способ триангуляции состоит в том, что развертываемая поверхность заменяется многогранной поверхностью, состоящей из треугольных граней, размеры сторон которых необходимо определить.

2. Способ нормальных сечений состоит в том, что развертываемую поверхность пересекают плоскостью, перпендикулярной к ее образующим, и определяют длину линии нормального сечения. Затем эту линию разворачивают в прямую, а образующие поверхности – в перпендикулярные ее прямые. Линия нормального сечения принимается за базу отсчета размеров образующих.

3. Способ раскатки основан на вращении вокруг образующей или ребра развертываемой поверхности. Например, каждую грань призмы вращают вокруг ребра до положения, параллельного плоскости проекций. Последовательно поворачивая грани призмы, получают развертку боковой поверхности. Этот способ целесообразно применять для построения развертки поверхности призмы или цилиндра, если основания поверхности параллельны одной плоскости проекций, а ее ребра или образующие параллельны другой плоскости.