- •Принятые обозначения
- •Введение
- •Лекция № 1 образование проекций
- •1 Геометрические образы
- •2 Виды проецирования
- •3 Ортогональное проецирование точки на две взаимно перпендикулярные плоскости
- •4 Ортогональное проецирование точки на три взаимно перпендикулярные плоскости
- •Лекция № 2 прямая
- •1Прямая
- •2 Положение прямой относительно плоскостей проекции
- •3 Принадлежность точки прямой
- •4 Следы прямой
- •5 Деление отрезка прямой в данном соотношении
- •6 Определение длины отрезка прямой и углов наклона прямой к плоскостям проекций
- •7 Взаимное положение прямых
- •Лекция № 3 плоскость
- •1 Способы задания плоскости на чертеже. След плоскости
- •Задание плоскости следами
- •2 Положение плоскости относительно плоскостей проекций
- •3 Принадлежность точки и прямой плоскости
- •4 Главные (особые) линии плоскости
- •Лекция № 4 метрические и позиционные задачи
- •Взаимное положение прямой и плоскости, двух плоскостей
- •Лекция № 5 способы преобразования комплексного чертежа
- •1 Общие сведения
- •2 Способ замены плоскостей проекций
- •3 Способ вращения
- •Лекция № 6 поверхность
- •1 Основные понятия и термины
- •2 Классификация поверхностей
- •Поверхность вращения
- •Поверхности вращения
- •3 Построение точек и линий на поверхности
- •Точки и линии на поверхности призмы
- •Точки и линии на поверхности тора
- •Сечение сферы
- •Лекция № 6 аксонометрические проекции
- •1 Общие сведения
- •2 Показатели искажения
- •3 Виды аксонометрических проекций
- •Прямоугольная изометрия
- •4 Построение окружности в аксонометрии
- •Лекция № 7 взаимное пересечение геометрических образов
- •1 Общие сведения
- •2 Построение линии пересечения двух многогранников
- •3 Построение линии пересечения многогранника и кривой поверхности
- •4 Построение линии пересечения кривых поверхностей. Метод секущих плоскостей
- •Метод секущих плоскостей
- •5 Метод секущих сфер
- •6 Особые случаи пересечения поверхностей
- •Лекция № 9 развертки поверхностей
- •1 Общие сведения
- •Способы построения разверток:
- •2 Построение разверток многогранников
- •3 Построение разверток кривых развертывающихся поверхностей
2 Классификация поверхностей
В зависимости от формы образующейповерхности делятся налинейчатые(образующая – прямая линия) инелинейчатые(образующая – кривая линия).
По закону движения образующих: с вращательным движением –поверхности вращения, с винтовым движением –винтовые поверхности,поверхности с плоскостью параллелилизма– множество образующих, параллельных некоторой плоскости и пересекающих две направляющие (цилиндроид, коноид, гиперболический параболоид), циклические поверхности – движение окружности постоянного или переменного радиуса.
По признаку развертывания поверхности могут быть развертываемыми, которые можно развернуть на плоскости без разрывов и складок и неразвертываемыми.
По признаку направляющих, которые могут быть ломаными, прямыми или кривыми, поверхности могут быть гранными или кривыми.
Часть пространства, ограниченная со всех сторон поверхностью, называется телом.
Рассмотрим две группы тел: многогранники и тела вращения.
Многогранник– тело, ограниченное плоскими многоугольниками (гранями), которые пересекаются по прямым (ребрам).
Многогранник, двеграни которого равны и параллельны (конгруэнтны), а остальные пересекаются по параллельным прямым, называется призмой (рис. 71).
Многогранник, одна грань которого – многоугольник (основание), а остальные грани треугольники с общей вершиной, называется пирамидой (рис. 72).
Из числа многогранников выделяют группу правильных многогранников. Одно из древнейших упоминаний о правильных многогранниках находится в трактате Платона (427-347 до н. э.) "Тимаус". Поэтому правильные многогранники также называются платоновыми телами (хотя известны они были задолго до Платона). Каждый из правильных многогранников, а всего их пять, Платон ассоциировал с четырьмя "земными" элементами: огонь – тетраэдр (4 грани, рис. 73),
земля – гексаэдр (6 граней, рис. 74) – куб,
воздух – октаэдр (8 граней, рис. 75),
вода – икосаэдр (20 граней, рис. 77),
а также с "неземным" элементом – небом – додекаэдр (12 граней, рис. 76).
Все грани правильного многогранника – равные между собой правильные многоугольники и в каждой его вершине сходится одно и то же число граней, а многогранные углы при вершинах – выпуклые. У таких многогранников число граней (Г), вершин (В) и ребер (Р) находится в определенной зависимости: Г + В – Р = 2 (формула Эйлера).
Особенностью таких поверхностей является то, что можно вписать сферу в любой правильный многогранник и описать сферу около любого правильного многогранника.
Рис. 73 Рис. 74 Рис. 75 Рис. 76 Рис. 77
Кроме правильных выпуклых многогранников существуют и правильные выпукло-вогнутые многогранники. Их называют звездчатыми (самопересекающимися). Рассматривая пересечения продолжения граней Платоновых тел, мы будем получать звездчатые многогранники.
Звездчатый октаэдр является объединением двух пересекающихся правильных тетраэдров, и для его изготовления требуются лишь одинаковые равносторонние треугольники. Октаэдр имеет только одну звездчатую форму. Такой звездчатый многогранник в 1619 году описал Кеплер (1571-1630) и назвал его stella octangula – восьмиугольная звезда.
Малый звездчатый додекаэдр – двенадцать правильных пятиугольных пирамид, основания которых совпадают с гранями додекаэдра.
Большой икосаэдр – самый красивый и де-коративный из правильных звёздчатых многогранников Кеплера-Пуансо. Его вершины представляют собой центры правильных пятиугольных звёзд, выступающих из тела многогранника.