3 Построение линии пересечения многогранника и кривой поверхности

Линия пересечения состоит из плоских кривых, которые получаются при пересечении граней многогранника с кривой поверхностью.

В

?

данном случае (рис. 79) одна из пересекающихся поверхностей проецирующая (прямая призма). Поэтому на чертеже имеется горизонтальная проекция линии пересечения – треугольник (очерк призмы на плоскости П₁). Так как две грани призмы параллельны плоскостям проекций, то в сечении получатся две неполные окружности, которые проецируются без искажения. Третья грань призмы тоже рассечет полусферу по части __________________, но она спроецируется на плоскость проекций в виде ______________.

Построить три проекции линии пересечения поверхностей.

Рис. 79

4 Построение линии пересечения кривых поверхностей. Метод секущих плоскостей

Линией пересечения двух кривых поверхностей являются плоские или пространственные кривые линии, построение которых может иметь частное и общее решение.

В общем случае применяют специальные методы для построения линии пересечения: метод вспомогательных секущих плоскостей или метод вспомогательных секущих сфер.

П

?

ересечение конуса с цилиндром (рис. 80).

Так как одна из поверхностей проецирующая (цилиндр), то уже имеется фронтальная проекция линии пересечения – ___________________, которая является очерком цилиндрической поверхности на плоскости П₂.

Так как линия пересечения принадлежит обеим поверхностям, то берем точки на этой линии и находим их проекции по принадлежности точек поверхности (через параллели конуса). Опорные точки уже выбраны (рис. 80), остается выбрать промежуточные точки – для более точного построения линии пересечения поверхностей.

Рис. 80

Метод секущих плоскостей

Для построения линии пересечения двух кривых поверхностей вводят вспомогательные секущие плоскости, которые пересекают заданные поверхности по некоторым кривым или прямым линиям. Плоскости выбирают таким образом, чтобы линии пересечения с заданными поверхностями имели простую геометрическую форму (прямые, окружности).

Рассмотрим применение вспомогательных секущих плоскостей на примере построения линии пересечения полусферы с конусом (рис. 81).

Д

?

ля построения линии пересечения заданных поверхностей в качестве вспомогательных плоскостей используем ________________________ плоскости уровня, которые пересекают сферу и конус по ______________.

На пересечении этих окружностей находят точки искомой линии пересечения.

Рис. 81

5 Метод секущих сфер

Этот метод основан на свойстве сферы пересекаться с любой поверхностью вращения, ось которой проходит через центр сферы по окружностям (рис. 82, а). Поверхности вращения, имеющие общую ось, называютсясоосными. Причем, если оси поверхностей вращения параллельны плоскости проекций (например П₂), то эти окружности проецируются в отрезки прямых линий, перпендикулярные осям поверхностей вращения (рис. 82, б).

Для построения линии пересечения могут быть использованы концентрические (с постоянным центром) и эксцентрические (с переменным центром) сферы.

Условия применения метода концентрических сфер:

1. Обе пересекающиеся поверхности должны быть поверхностями вращения.

2. Оси поверхностей вращения должны пересекаться, а точка их пересечения является центром для построения сфер.

3. Плоскость, образованная, осями пересекающихся поверхностей (плоскость симметрии) должна быть параллельна одной из плоскостей проекций.

Рассмотрим применение вспомогательных секущих сфер на примере построения линии пересечения цилиндра и конуса (рис. 83).

В первую очередь определяем опорные точки – точки пересечения очерковых образующих АиВпри помощи вспомогательной фронтальной плоскости Р. Эти же точки являются границей видимости на фронтальной плоскости проекций.

О

?

пределяем радиус максимальной и минимальной сферы.

R_max = ______ –равен расстоянию от центра сферы до наиболее удаленной точки пересечения очерковых образующих(_____ > _____).

Д

?

ля определения радиуса минимальной сферы необходимо из центра сферы О₂ опустить перпендикуляры на очерковые образующие заданных поверхностей.

R_min = _______– больший из этих перпендикуляров(_____ > ______).

Сфера с R_minкоснется поверхности конуса по окружности 1 – 1, а цилиндр пересечет по окружности 2 – 2. ТочкиКиКбудут точками искомой линии пересечения.

Для построения других точек линии пересечения проводим несколько сфер с центром в точке О₂и радиусамиR_min ≥ R > R_max. Для построения горизонтальной проекции точек линии пересечения воспользуемся параллелями конуса, так как они не искажаются на горизонтальной плоскости проекций.