Лекции_1_курс

Окончательно: x = − a1 y - это уравнение прямой линии с углом a2

наклона к оси x , равным: ϕ = −arctg a2 . a1

симметрично относительно осей координат.

Если a1 = a2 = a0 , то траекторией движения является окружность.

Верным является также утверждение, что движение по окружности всегда может быть представлено в виде суммы взаимно перпендикулярных гармонических колебаний со сдвигом

Все прочие фазовые сдвиги дают эллипсы, не симметричные относительно осей координат (см. рис. 3.6).

y

x

Рис. 3.6.

81

Выше рассматривалось сложение взаимно перпендикулярных колебаний равных частот. Если частоты не равны, но кратны, то в результате сложения таких колебаний получаем, так называемые, фигуры Лиссажу (см. рис. 3.7).

x

3.9.Негармонические периодические колебательные

процессы, гармонический анализ

Реальные колебательные процессы не являются гармоническими и быть ими не могут, т.к. гармонический закон изменения какой-либо величины предполагает отсутствие начала и конца процесса, отсутствие его становления. Более того, наличие всякого рода возмущений также приводит к нарушению этого закона.

Из теории гармонических рядов следует, что любая периодическая функция может быть представлена в виде бесконечного ряда тригонометрических функций, так называемого

ряда Фурье:

x = A0 + A1 cosωt + A2 cos 2ωt + A3 cos 3ωt +.....

,

+B1 sinωt + B2 sin 2ωt + B3 sin 3ωt +.......

где коэффициенты Ai и Bi вычисляются по специальным формулам.

82

колебаниям с равными частотами в ряде Фурье, на графике (см.

рис. 3.8).

С

Рис. 3.8.

Это спектр колебаний. Процесс разложения периодических колебаний на гармонические составляющие называется гармоническим анализом, а каждая компонента –

гармоникой.

3.10. Механические волны. Фазовая скорость волны

Тело, совершая колебательное движение, смещает частицы газа или жидкости, нарушает вблизи себя равновесное значение плотности, деформирует среду. Вследствие этого создаются области сжатия и разрежения. Частицы среды стремятся восстановить равновесное состояние, в результате чего возникают возмущения в соседних, ранее невозмущенных слоях. Эти возмущения распространяются в пространстве, возникает

механическая волна - процесс периодический во времени и в

пространстве.

Обозначим скорость распространения процесса сжатия и разрежения в пространстве Vф . Vф характеризует скорость

распространения какой-либо фазы колебаний в пространстве и называется фазовой скоростью волны.

Если процесс распространяется вдоль оси « y », то из точки y = 0 некоторую произвольную точку y он достигнет через время

83

τ = y .

Vф

При этом, если колебания, порождающие распространяющееся в среде возмущение, имеют гармонический характер

xк = Asinωt

(направление возмущения среды может не совпадать с направлением распространения волны), то колебания в некоторой точке «y» будут аналогичными, но запаздывающими во времени,

т.е.:

Это уравнение определяет степень смещения среды относительно равновесного состояния во времени и в пространстве, это

уравнение бегущей волны.

λ - называется длиной волны. Длина волны ( λ ) характеризует периодичность процесса в пространстве и равна пути, проходимому волной за время, равное одному периоду колебаний, период колебаний ( T ) - характеризует периодичность процесса во времени.

Часто для описания волнового процесса используют выражение:

84

x == Asin(ωt − ky),

где k = 2λπ и называется волновым числом.

Отметим, что распространение волны не сопровождается переносом вещества, происходит перенос количества движения, сопровождаемый смещением частиц среды.

Виды волн.

Тип механических волн существенно определяется характеристиками сред, в которых они распространяются.

Газы и жидкости не оказывают упругого сопротивления сдвигу слоев. Попытка же сжать или расширить какой-либо объем сопровождается возникновением сил упругости. Отсюда следует, что в жидкостях и газах возможны только волны, направление распространения которых совпадает с направлением возмущения параметров среды. Такие волны называются продольными:

Типичным примером продольной волны является звуковая волна. В твердом теле, в отличие от жидкостей и газов, возможна деформация вида «сдвиг», вследствие этого направление распространения волны может не совпадать с направлением возмущения параметров среды. Если направление распространения волны и направление возмущения параметров

среды ортогональны, то такая волна является поперечной.

Характерным примером такого типа волны является волна изгиба. В твердых телах возможно распространение продольных, поперечных и косых волн. Примером косой волны является волна «вздутия», возникающая при резком ударе по торцу длинного стержня, когда продольная деформация приводит к деформации

поперечной (коэффициент Пуассона).

85

Широко распространенным типом волн являются поверхностные волны – волны, возникающие на границе раздела двух сред, например, жидкости и газа. В поверхностной волне частицы среды описывают эллиптические траектории.

3.11.Фазовая и групповая скорости распространения волн. Дисперсия. Формула Рэлея.

Фазовая скорость распространения волн (Vф ) зависит от упругих свойств среды.:

где G - модуль сдвига,

- для поверхностных волн, возникающих на границе раздела

где g - ускорение свободного падения,

- для капиллярных (коротковолновые волны) волны на поверхности жидкости

Vф,к.в. = 2πσ ,

ρλ

где σ - коэффициент поверхностного натяжения.

Видим, что в ряде случаев фазовая скорость распространения волны зависит от длины волны. Такая зависимость называется дисперсией.

Ранее отмечалось, что волновой процесс, это процесс переноса в пространстве энергии путем передачи импульса от одного слоя среды к другому. Казалось бы, энергия переносится с фазовой скоростью распространения волны. Это действительно так, если мы имеем дело с монохроматической волной или если нет дисперсии.

86

Ситуация меняется, если распространяется группа волн с различными частотами и есть дисперсия. В этом случае скорость распространения энергии будет определяться скоростью распространения центра энергии группы волн, которая

называется групповой скоростью (Vгр ). Центр энергии группы

волн возникает в области пространства, в которой фазы волн, составляющих рассматриваемую группу, соответствуют их максимальным амплитудам. Центр энергии возникает в результате интерференции волн составляющих рассматриваемую группу.

Найдем скорость движения центра энергии группы волн. Пусть в момент времени t центр энергии группы волн

находится в точке « y ». В этой точке фазы всех волн, составляющих рассматриваемую группу,

совпадают и не зависят от длины волны

ddϕλ = 0 .

Поэтому можно записать выражение:

из которого следует:

y = −λ2 ddλ Vλф t.

87

является скоростью, а в соответствии с поставленной задачей - групповой скоростью

групповая скорость равна фазовой. Если dVdλф > 0 , то групповая

скорость меньше фазовой – нормальная дисперсия, если dVdλф < 0

, то Vгр >Vф и дисперсия называется аномальной.

3.12. Стоячая волна Интерференция. Это термин обозначает сложение

колебаний. Рассмотрим один из случаев интерференции волн, а именно, интерференцию прямой и отраженной волны, амплитуды которых одинаковы.

Для прямой волны запишем

88

В результате сложения этих волн получаем выражение:

которое, после некоторых преобразований, принимает вид:

x = 2Acosω y sin ωt .

Vф

Видно, что распространения волны в пространстве нет, есть только колебания отдельных точек среды с амплитудой, волнообразно распределенной в пространстве. Есть пучности, и есть узлы колебаний. Пучностям соответствует максимальная амплитуда колебаний, равная 2А, в узлах колебания отсутствуют.

Примером стоячей волны может служить волна, возбуждаемая в шнуре, один конец которого закреплен, а другой подвергается колебательному возмущению.

3.13. Эффект Допплера

Эффект Допплера заключается в том, что частота волны, регистрируемая приемником (ν′) , зависит от скорости

передатчика, создающего волну, и скорости приемника. Рассмотрим это подробнее. Будем считать, что скорость

движения приемника в направлении передатчика +ϑ и −ϑ , если

89

приемник движется в противоположную сторону. Обозначим скорость передатчика U и будем считать ее положительной величиной, если передатчик движется в сторону приемника и отрицательной в противном случае. Обозначим V скорость распространения волны в среде, а ν - частоту волны, генерируемую передатчиком. Рассмотрим три случая:

1. Пусть U = 0, а приемник движется в сторону передатчика. Тогда скорость приемника относительно волны будет

где λ - длина волны, T - период колебаний. Итак, для этого случая имеем:

ν′ = 1 + ϑ ν .

V

Если приемник удаляется от передатчика, то его скорость относительно волны равна V −ϑ и выражение для ν′принимает вид:

ν′ = 1 − ϑ ν .

V

2.пусть теперь ϑ = 0 , а передатчик движется в сторону приемника. В этом случае скорость приемника относительно волны остается неизменной, но происходит изменение длины волны. Действительно, за время, равное одному периоду

колебаний, передатчик излучает волну, длиной λ , но и проходит в направлении ее распространения путь UT , следовательно, длина волны будет составлять λ −UT . Вследствие этого, частота, принимаемая приемником, будет:

90