Лекции_1_курс

[D]= смс2 (СГС), мс2 (СИ).

Процессу диффузии родственен процесс теплопроводности. Если в разных местах температура различна, то возникает поток тепла из мест более нагретых в места более холодные, приводящий к выравниванию температуры.

Плотностью теплового потока (q) называется величина, равная

количеству тепла, проходящего в одну секунду через перпендикулярное потоку тепла сечение, равное единице площади. Если температура меняется вдоль оси x , то связь плотности теплового потока с градиентом температуры имеет вид:

q = −ψ dTdx ,

Коэффициент теплопроводности определяет скорость передачи тепла от более нагретого участка тела к менее нагретому. Но изменение температуры тела определяется отношением полученного количества тепла к теплоемкости, т.е. величиной

χ = ρψС1 ,

где ρ - плотность тела, С1 - удельная теплоемкость вещества.

χ - коэффициент температуропроводности.

Для того, чтобы рассмотреть эти процессы более подробно, а именно на основе молекулярно-кинетических представлений введем понятия средней длины свободного пробега молекул, средней частоты столкновения молекул, эффективного сечения столкновений молекул.

151

15.2.Средняя длина свободного пробега молекул, среднее время свободного пробега молекул, средняя

частота столкновений молекул

Двигаясь беспорядочно в газе или жидкости молекулы «чувствуют» друг друга только на очень близких расстояниях, при столкновениях. В разреженных газах такие столкновения происходят сравнительно редко, между столкновениями движение молекул можно считать свободным, в жидкостях молекулы сталкиваются очень часто. Вводится понятие средней длины

свободного пробега молекул (l) как усредненное по большому

числу молекул расстояние, проходимое ей между двумя последовательными столкновениями. Также вводится понятие

тепловая скорость движения молекул. При этом, величина ν = τ1

характеризует среднюю частоту столкновений.

15.3.Прицельный параметр и эффективное сечение столкновений

Сильное взаимодействие молекул происходит тогда, когда они сблизятся на достаточно близкое расстояние, называемое прицельным параметром. Если частицы представим в виде шаров, то

называется эффективным сечением столкновения.

152

Теперь, предположим, что молекула прошла путь, равный единице длины. При этом она как бы вырезает в пространстве цилиндр, объемом, равным σ 1. Молекула сталкивается со всеми молекулами, находящимися в этом объеме, а их число равно nσ1, где n - концентрация частиц. Следовательно, на единице пути молекула испытает nσ столкновений. Отсюда следует, что, в среднем, одно столкновение произойдет на длине

l = n1σ .

Это средняя длина свободного пробега молекулы. Из полученного выражения видно, что средняя длина свободного пробега зависит от концентрации молекул, т.е. обратно пропорциональна давлению.

Необходимо различать среднюю длину свободного пробега и среднее расстояние между молекулами.

15.4 Коэффициент диффузии

Рассмотрим смесь двух газов, общее давление которых постоянно, а состав меняется только вдоль оси x . Будем рассматривать только газ номер 1. Пусть n - концентрация частиц

этого газа n = n(x).

Расположим площадку единичного сечения перпендикулярно потоку

xчастиц газа, движущемуся вдоль оси x . Учтем, что

потоки частиц вдоль оси x формируются на расстоянии, равном средней длине свободного пробега от рассматриваемой площадки

153

(см. рис. 15.2), т.е. в местах, где они испытывают последнее (в среднем) столкновение. Таким образом, можно записать:

j ~Vn x−l −Vn x+l ,

где V - тепловая скорость движения частиц.

Так как величина l достаточно мала (будем считать, что это так), можно записать:

n x−l −n x+l = −l dndx ,

или

j ~ −Vldndx

Ранее, для диффузионного потока мы имели j = −D dndx . Поэтому для коэффициента диффузии имеем:

быть представлено в виде:

3

D ~ (MkTP)2σ .

Видно, что коэффициент диффузии обратно пропорционален давлению и пропорционален температуре в степени три вторых.

15.5. Коэффициент теплопроводности

Для нахождения коэффициента теплопроводности не требуется проведения каких либо дополнительных вычислений, т.к.

процессы диффузии и теплопроводности является аналогичными.

154

При этом роль коэффициента диффузии в процессе переноса тепла играет коэффициент температурапроводности ( χ ), т.е. имеем

χ~Vl.

15.6.Теплосопротивление

Выражение плотности потока тепла q = −ψ dTdx позволяет

решать различные задачи по теплопроводности. Рассмотрим одну из них.

Пусть имеется слой вещества, ограниченный двумя концентрическими сферами, с радиусами r1 и r2 ,

поддерживаемыми при температурах T1 и T2 соответственно.

Требуется найти стационарное значение полного потока тепла от сферы 1 к сфере 2. Для нашего случая имеем:

q = −ψ dTdr .

Согласно закону сохранения энергии можно констатировать, что полный поток тепла через сферу любого радиуса одинаков. Т.е.

Q = 4πr 2 q = −4πψr 2 dTdr ,

откуда следует, что:

Интегрируя последнее выражение получим:

T = 4πψQ r + const .

Знаем, что при r = r1 температура T = T1 . Поэтому имеем:

155

const = T1 − 4πψQ r1

и как следствие этого получаем:

Теперь подставим в это выражения параметры второй сферы и получим:

и определим искомую величину:

Q = 4πψ(T2 −T1 ).

1 − 1 r2 r1

Из полученного выражения видно, что если удалить вторую сферу на бесконечность ( r → ∞), то

Q= 4πψr1 (T1 −T2 )

иполный тепловой поток не зависит от r , а определяется только разностью температур тела и бесконечности.

Отношение разности температур к тепловому потоку называется теплосопротивлением. В частности, для

сферического слоя теплосопротивление Λ равно:

15.7. Внутреннее трение в газах. Вязкость

156

Представим себе плоскость, разделяющую два слоя движущегося газа так, что слой №1 движется со скоростью V1 ,

слой №2 – со скоростью V2 . Пусть V1 >V2 . Молекулы в слое №1,

в направлении потока газа, обладают большим количеством движения,

чем молекулы слоя №2. За счет теплового движения, молекулы из слоя №1 попадают в слой №2, а из слоя №2 в слой №1, перенося с собой количество движения в направлении потока газа. Происходит обмен количеством движения. Первый слой замедляется, второй – ускоряется. Изменение количества движения в единицу времени определяет силу, силу трения между слоями газа. Это сила внутреннего трения или сила вязкости. Ее причина в обмене количеством движения в направлении потока между слоями газа

(жидкости) за счет теплового движения частиц.

Слой №1, V1

А

Рис. 15.3

Получим выражение для коэффициента вязкости.

Для этого изобразим плоскость (X −Y ) и отстоящие от нее на расстояниях, равном средней длине свободного пробега частиц (l) , две другие плоскости A и B , где газ движется со скоростями V1

количество движения, переносимое через нее в единицу времени. Испытав последнее столкновение (в среднем) на расстоянии lот

157

направлении соседнего слоя ( 1 -т.к. есть шесть возможных

6

направлений движения и все они равновероятны), перенося при этом в единицу времени массу равную 16 ρVT , где ρ - плотность

газа, VT - тепловая скорость движения молекул. При этом, из слоя №1 в слой №2 будет перенесено в единицу времени 16 ρVV1

количества движения, а из слоя №2 в слой №1 16 ρVV2 . Разность

этих величин определяет избыток количества движения, переносимый через единичную площадку в единицу времени, т.е. силу трения:

F = 16 ρV (V1 −V2 ).

Ранее, для силы вязкого трения, было приведено выражение:

принимает вид:

F =ηV1 −V2 .

2l

Сравнивая представленные выражения для силы трения, получаем:

η = 13 ρVl.

Известно, что произведение ρl для данного типа газа

величина постоянная, поэтому сила вязкого трения для газов не зависит от плотности газа – это закон Максвелла. Закон был проверен Бойлем в экспериментах по изучению затухания

158

маятника в газе при различных его давлениях и был подтвержден. Объяснение заключается в том, что изменение плотности газа приводит к изменению средней длины свободного пробега его молекул.

Заключение.

Рассмотренные явления: диффузия, теплопроводность, вязкость, называются явлениями переноса, переноса вещества, энергии, количества движения, которые осуществляются за счет

теплового движения частиц. Было получено, что D, χ, η ~ Vl.

15.8.Свойства газов при низких давлениях

Если средняя длина свободного пробега молекул газа превышает характерные размеры объема, в котором он находится, то его свойства будут существенно отличаться от свойств идеального газа. Это различие обусловлено тем, что свойства идеального газа определяются столкновениями между молекулами, которые хоть и редко, но происходят.

При давлении в 1 мм.рт.ст. и температуре 00Ссредняя длина свободного пробега молекул азота (воздух) составляет примерно 10−3 см, а при давлении (10−3 −10−4 ) мм.рт.ст. она значительно меньше - (1 −10) см и становится сравнимой с

размерами лабораторных камер. Такие и большие разрежения газа называются вакуумом. Следует отметить, что и при относительно высоких давлениях всегда можно указать такие размеры сосудов, при которых вакуумные условия будут выполняться. Ясно, что в вакуумных условиях явления переноса уже теряют тот смысл, который они имели ранее. Это сказывается на многих явлениях, происходящих в разреженных газах.

Различие в физических свойствах разреженного и идеального газов покажем на следующем примере. Пусть у нас имеются два объема, содержащие газ, соединенных трубкой. Эти объемы поддерживаются при различных температурах. Найдем отношения установившихся плотностей газов в этих объемах для условий, соответствующих :

159

а) идеальному газу. В этом случае состояние равновесия достигается при равенстве давлений в сосудах, поэтому, в соответствии с законом Гей-Люссака, имеем:

ρ1 = T2 , ρ2 T1

б) разреженному газу. В этом случае состоянию равновесия уже соответствует условие равенства потоков молекул перетекающих

СОДЕРЖАНИЕ

Раздел I. Механика поступательного и вращательного движения тел . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.Кинематика . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.1.Основные понятия кинематики . . . . . . . . . . . 3

1.2.Законы сложения скоростей и ускорений . . . . .10

2.Основы динамики . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.1. Инерциальные системы отсчета.

Первый закон Ньютона . . . . . . . . . . . . . . .12 2.2. Масса. Количество движения.

Сила. Второй и третий законы Ньютона . . . . . .13

2.3.Вращательное движение твердого тела. . . . . . .17

2.4.Момент инерции . . . . . . . . . . . . . . . . . . .18

2.5.Кинетическая энергия движения твердого тела . .23

2.6.Теорема Штейнера . . . . . . . . . . . . . . . . . .23

2.7.Момент количества движения . . . . . . . . . . . .25

2.8.Момент силы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .25

2.9.Второй закон Ньютона для вращательного движения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .25

160