Лекции_1_курс

Отсюда находим, что для этого тело должно обладать скоростью

VII = 2gr ,

величина которой для Земли составляет 11,2 103 мс .

2.19. Силы инерции

До сих пор движение тел изучалось в инерциальных системах отсчета. Однако, в реальности все физические системы отсчета неинерциальны, т.е. движутся с ускорением. В таких системах, с точки зрения наблюдателя, движущегося вместе с системой, возникают дополнительные силы, называемые силами инерции. Характерной общей особенностью этих сил является их пропорциональность массе тела, на которое они действуют. Это свойство делает их аналогичными силам тяготения.

Широким классом неинерциальных систем являются вращающиеся системы отсчета, в частности, к ним относится Земля.

Рассмотрим простейший случай: равномерно вращающийся с угловой скорость Ω диск (радиус диска r ) и равномерно движущуюся вдоль края диска частицу (масса частицы m ). Пусть скорость частицы относительно диска равна

Vн (индекс «н» означает, что эта скорость в неинерциальной

системе отсчета). Тогда относительно неподвижного наблюдателя, находящегося вне диска (инерциальная система отсчета), скорость

частицы будет Vи =Vн + Ωr . В инерциальной системе отсчета

ускорение, с которым движется частица, определяется выражением:

Fи = mVr и2 = mVr н2 + 2mΩVн + mΩ2r.

С другой стороны, с точки зрения наблюдателя, находящегося на диске, т.е. для которого диск неподвижен, на тело действует только одна (центростремительная) сила:

Fн = maн = m Vrн2

Сравнение Fн и Fи

Fн = Fи − 2mΩVн − mΩ2 r

показывает, что для наблюдателя, находящегося на диске, на частицу кроме «истинной силы» действуют еще две:

-mΩ2 r - центробежная сила и

-2mΩVн - сила Кориолиса.

Знак минус показывает, что эти силы направлены от оси вращения диска.

Центробежная сила на экваторе уменьшает вес на 0,3%. В специальных центрифугах она может создавать значительные перегрузки.

Сила Кориолиса существенно отличается от центробежной. Она действует только на тела, движущиеся относительно вращающейся системы отсчета. Особенностью этой силы является то, что она не зависит от положения тела, а только от его скорости в этой системе. Сила Кориолиса направлена

перпендикулярно скорости Vн . В векторной форме она записывается в виде: Fкор = −2m[Ω×Vн ] Сила Кориолиса не

совершает работы над телом в направлении его движения, а только изменяет направление скорости его движения.

3. Механические колебания и волны

52

3.1. Гармонические колебания

Наряду с поступательным и вращательным движениями имеется еще один широкий класс механического движения – колебательное движение.

Периодическим колебательным движением является такое движение, при котором через равные промежутки времени (T ) частица (тело) имеет одно и то же положение, одну и ту же скорость и ускорение. T называется периодом колебаний. Если в некоторый момент времени t координата, скорость и ускорение частицы известны, то через промежуток времени, кратный периоду колебаний, они будут такими же. Величина, обратная

периоду колебаний, называется частотой колебаний ν = T1 .

Частота колебаний показывает сколько раз в 1 сек повторяются

бесчисленное множество типов периодических движений. Простейшими из них (с точки зрения математического анализа) являются гармонические колебания. Это такие колебания, при которых положение частицы в пространстве меняется по гармоническому закону:

x = Acos(ωt +ϕ),

где A, ω, ϕ постоянные величины, которые имеют простой физический смысл:

A - амплитуда колебаний - максимальное отклонение частицы от положения x = 0. − A ≤ x ≤ A .

(ωt +ϕ ) - фаза колебаний.

ϕ - начальная фаза колебаний.

53

Покажем, что гармонические колебания могут быть записаны в виде:

x = C sin ωt + B cosωt ,

причем, эта форма записи эквивалентна предыдущей:

x = Acos(ωt +ϕ).

Для этого воспользуемся утверждением, что если эти выражения эквивалентны, то значения x и dxdt , вычисляемые с их помощью,

должны быть равны в любой момент времени. Из условия равенства значений x в момент времени t = 0 получаем:

B = Acosϕ .

Далее находим выражения для скоростей ( dxdt ), приравниваем их

Cω cosωt − Bω sinωt = −Aω sin(ωt +ϕ),

и для момента времени t = 0 имеем:

C = −Asinϕ .

Представленные выражения для B и C позволяют найти взаимосвязь между величинами A, B,C,ϕ в виде:

A2 = B 2 + C 2 , ctgϕ = − CB .

Итак, гармонические колебания могут быть записаны по крайней мере двумя представленными выше выражениями. Зная взаимосвязь между коэффициентами, всегда можно перейти от одной формы записи к другой. Полученный результат также

54

показывает, что сложение любого числа гармонических колебаний одинаковой частоты приводит к колебаниям гармонического типа.

Амплитудное значение скорости равно Aω .

Дифференцируя скорость по времени, найдем ускорение частицы:

Ускорение меняется во времени как и смещение, но по фазе отличается от него на π .

Связь амплитуды гармонических колебаний с начальными условиями движения

Амплитуда гармонических колебаний определяется только начальными условиями: либо начальным смещением относительно

точки равновесия ( x0 ), либо начальной скоростью (V0 ), либо и тем и другим параметром. Покажем это.

Пусть x = C sinωt + B cosωt . Если при t = 0, x = x0 то получаем:

B= x0 .

55

Если скорость V = dxdt = Cω cosωt − Bω sin ωt при t = 0 равна

V0 , то

C = Vω0 .

Итак, уравнение гармонических колебаний с учетом начальных условий имеет вид:

x = Vω0 sinωt + x0 cosωt .

При этом амплитуда колебаний:

Если в процессе колебательного движения на тело не действуют силы, изменяющие амплитуду колебаний, то такие колебания называются свободными, а частота, на которой они происходят – собственной.

Определим силу, которая может привести к возникновению гармонических колебаний. Для этого умножим полученное выражение для ускорения на массу тела, совершающего колебательное движение. Получим:

F = m d 2 x = −mω2 Acos(ωt +ϕ)= −mω2 x. dt 2

Итак, тело совершает гармоническое колебательное движение, если действующая сила пропорциональна смещению и имеет обратный знак. Примером такой силы может служить сила упругости, возникающая при малых (упругих) деформациях

56

различных тел. Эта сила называется восстанавливающей. Такая зависимость силы от координаты часто встречается при решении различных задач, например: задачи о движении шарика в потенциальной яме, о колебаниях маятник и т.д. В общем случае, абсолютно линейной зависимости между восстанавливающей силой и смещением не может быть, однако, если смешения достаточно малы, то такая зависимость достаточно хорошо описывает движение системы. Колебания с малой амплитудой почти всегда можно считать гармоническими.

Выражение F = −mω2 x может быть представлено в виде:

F = −кx , где к = mω2 и называется коэффициентом

жесткости.

3.2. Потенциальная, кинетическая и полная энергии тела совершающего гармонические колебания

Выражение для потенциальной энергии тела при гармонических колебаниях следует из определения потенциальной энергии dA = −dU или dU = −Fdx . В рассматриваемом случае имеем: F = −кx , а x = Acos(ωt +ϕ). Поэтому

U = ∫кxdx + const = кx22 + const .

Полагая, что в состоянии равновесия ( x = 0) потенциальная энергия тела, совершающего колебания, равна нулю, имеем:

U = кx22 = 12 A2ω2 m cos2 (ωt +ϕ).

Кинетическая энергия тела при гармонических колебаниях определяется скоростью его движения (V = Aωsin(ωt +ϕ) ) и определяется величиной:

57

mV2 2 = 12 A2ω2 msin 2 (ωt +ϕ).

Полная энергия тела, совершающего гармонические колебания, равна сумме полученных выражений для потенциальной и кинетической энергий:

Eполная = А2ω2 2 m .

Выражения, представленные выше, показывают, что при колебательном движении кинетическая энергия преобразуется в потенциальную и наоборот. При этом полная энергия колебаний не зависит от времени (замкнутая система) и пропорциональна квадрату амплитуды и квадрату частоты.

3.3.Пружинный, математический, физический и крутильный маятники

Пружинный маятник

Пружинный маятник представляет собой систему, состоящую из пружины и тела, подвешенного на этой пружине, систему, способную совершать колебательное движение в поле действия гравитационных сил или сил инерции.

Уравнение, описывающее движение пружинного маятника в поле тяжести Земли, имеет вид (см. рис. 3.1):

F = m d 2 2y = −кy + mg dt

Преобразуем это уравнение к виду:

и, сделав замену переменных: x = y − ωg2 , получим:

58

d 2 x = −ω2 x . dt 2

Как было показано выше, решением этого уравнения являются гармонические колебания

x = Acos(ωt +ϕ).

Возвращаясь к переменной y , получаем:

y = Acos(ωt +ϕ)+ ωg2

или, с учетом собственной длины пружины L , имеем:

y = Acos(ωt +ϕ)+ ωg2 + L .

На рисунке, представленном ниже, l = L + ωg2 .

t

l

А

y

Рис. 3.1.

59

Следует отметить, что в колебательном процессе участвует не только тело массойM , подвешенное на пружине, но и сама пружина. Таким образом, возникает вопрос о влиянии массы пружины ( mпр ) на частоту колебаний пружинного маятника.

Заметим, что если тело массой M в полной мере участвует в колебательном движении, то различные части пружины имеют различную амплитуду колебаний. Таким образом, следует ожидать, что в выражении для частоты колебаний войдет не вся

mпр , а только ее часть. Расчеты показывают, что это

действительно так, и в этом случае выражение для частоты колебаний пружинного маятника имеет вид:

Математический маятник

Математический маятник состоит из подвешенной на невесомой нерастяжимой нити материальной точки, которая может совершать колебательное движение в поле действия гравитационных сил или в поле действия сил инерции.

αl

Fн1

x

h Fx = Fн1 sinα

60

mg

mg + mV 2 l+ l