Лекции_1_курс

2.16. Силы упругости. Закон Гука

До сих пор, изучая движение тел, мы считали, что отдельные части тела неподвижны друг относительно друга. Однако, в действительности тела не являются абсолютно твердыми и подвержены различным деформациям.

Различают упругие и неупругие деформации. Если после прекращения действия деформирующей силы геометрические размеры тела полностью восстанавливаются, то такая деформация называется упругой. В противном случае она является неупругой.

Для изучения деформации тела мы мысленно разбиваем его на слои и анализируем смещение этих слоев друг относительно друга под воздействием внешних и внутренних сил.

Важнейшие типы деформаций:

–всестороннее сжатие и растяжение,

–продольное сжатие и растяжение,

–сдвиг,

–кручение,

–поперечный и продольный изгиб.

Далее мы увидим, что это многообразие деформаций может быть сведено к меньшему числу основных типов деформаций.

Величина деформации оценивается отношением изменения размера тела к первоначальному размеру:

ε = XX .

Величина ε называется относительной деформацией.

X имеет различный смысл при различных видах деформаций. При всестороннем сжатии и растяжении – это объем, при продольной деформации – длина, при кручении – угол и т.д.

Под действием внешней силы слои тела смещаются друг относительно друга и между слоями начинают действовать внутренние упругие силы, происхождение которых в данном разделе физики не рассматривается. Упругие силы действуют по всей поверхности между слоями. Тело будет сопротивляться внешним воздействиям до тех пор, пока интенсивность

41

внутренних сил не достигнет некоторого предела, после чего тело либо теряет свои упругие свойства, либо разрушается.

Интенсивность упругих сил характеризуют величиной силы, действующей на единицу площади сечения, взятой нормально или касательно (тангенциально) к действующим силам, т.е. нормальным или тангенциальным напряжением. Таким

образом, напряжение P определяется как отношение: P = FS -

если воздействия распределены равномерно. При неравномерном распределении - имеет место выражение P = dFdS .

Английский физик Роберт Гук в 1675 году обнаружил, что напряжение в деформированном теле пропорционально относительной деформации:

P = Κ XX

где Κ - модуль упругости.

Это закон Гука. Он справедлив только в пределах упругой деформации. Увеличение воздействия на тело свыше некоторого предельного значения приводит сначала к возникновению нелинейной зависимости, а потом упругость частично или полностью исчезает.

Графически, закон Гука выражается прямой линией.

F

A = F 2X

X

Рис. 2.11.

42

Вычислим работу, затрачиваемую внешней силой на деформацию тела. Эта работа равна площади заштрихованного на рисунке 2.11 треугольника.

A = F 2X .

Если пренебречь тепловыми эффектами, то можно считать, что работа по деформации тела переходит в потенциальную энергию деформированного тела. Поэтому, учитывая соотношение

P = FS , в соответствии с законом Гука P = Κ XX , формулу для

потенциальной энергии деформированного тела можно записать в виде:

U= Κ X 2 SX .

X 2

Если мы запишем закон Гука через деформирующую тело

Рассмотрим теперь конкретные виды деформаций.

1. Всестороннее сжатие или растяжение. Этот тип деформации реализуется, когда на любой участок поверхности тела оказывается одинаковое давление (напряжение). Разделив это давление на относительное изменение объема тела, получим выражение для модуля всесторонней объемной упругости:

43

Объемной упругостью обладают все тела (газообразные, жидкие, твердые). Упругие свойства полностью характеризуются модулем объемной упругости. Величина обратная ему называется коэффициентом сжимаемости. Этот коэффициент показывает, на какую долю от первоначального объема изменяется объем при «единичном» давлении.

2.Растяжение вдоль одной оси.

Вэтом случае отношение напряжения к относительному изменению длины носит название «модуль Юнга».

При растяжении происходит изменение поперечного размера тела. Отношение относительного изменения поперечного размера тела к относительному изменению продольного называется

коэффициентом Пуассона.

Зная μ можно судить об изменении объема тела при продольной деформации.

3.Сдвиг.

Сдвигом называется такая деформация, при которой все слои тела, параллельные данной плоскости, не изменяясь в размерах и не искривляясь, смещаются параллельно друг другу. Деформация «сдвиг» может быть реализована только в твердых телах, т.к. параллельное смещение слоев в газах или жидкостях не приводит к возникновению сил упругости.

Отрезок X называется абсолютным сдвигом, угол θ -

называют еще относительным сдвигом.

Согласно закону Гука, относительный сдвиг должен быть пропорционален тангенциальному напряжению T = FS . Поэтому

T = Gθ

G - модуль сдвига.

2.17. Силы трения

Другой важной категорией сил в механике являются силы трения. Механически они проявляются как силы препятствующие движению. Физически они представляют собой результат сложных процессов, проявляющихся на трущихся поверхностях тел.

Опыт показывает, что трение твердых тел обычно подчиняется простым закономерностям. Сила трения ( Fтр)

пропорциональна «силе нормального прижатия» N .

Fтр = μN ,

где μ - коэффициент трения.

В обычных условиях для металлов μ = (0,5 −1,5). Но это для

загрязненных поверхностей. Для очень чистых поверхностей, что может быть достигнуто нагревом тел в вакуумных условиях, он сильно возрастает.

Универсального механизма, объясняющего трение, нет. Для некоторых металлов трение реализуется следующим

образом. Поверхность металлов, даже хорошо обработанных, имеет некоторые шероховатости, которые намного больше межмолекулярного расстояния. При соприкосновении тел поверхности соприкасаются пиками неровностей, поэтому реальная площадь контакта намного меньше полной и составляет

45

примерно (10−4 −10−5 ) ее часть. Если «сила прижатия» растет, то в результате деформации шероховатостей увеличивается площадь контакта – растет сила трения, обусловленная межмолекулярным взаимодействием.

От силы трения движения надо отличать силу трения покоя, которая на (10-20)% больше. Объяснение заключается в том, что при длительном контакте выступы неровностей деформируются и увеличивается площадь соприкосновения взаимодействующих тел.

Все сказанное относится к сухому трению. Если между поверхностями имеется жидкость, то трение обусловлено ее вязкими свойствами. Эта сила трения будет рассмотрена в разделе «молекулярная физика».

Опыт показывает, что сила трения скольжения уменьшается с увеличением скорости относительного движения. Это можно объяснить тем, что с увеличением скорости время контакта неровностей уменьшается, следовательно, уменьшается и время действия межмолекулярных сил. Этот эффект учитывают при разработке тормозных систем.

Сила трение качения ( Fтр.кач ), как показывает опыт, обратно пропорциональна радиусу катка ( r ). Кулон установил:

Fтр.кач = μкач Nr .

Видно, что чем меньше радиус катка, тем больше сила трения.

2.18. Силы тяготения.

Потенциальная энергия гравитационного поля. Вес. Ускорение свободного падения.

Силы тяготения – это проявление фундаментального закона природы – закона Всемирного тяготения, открытого Ньютоном. Посредством этих сил осуществляется, так называемое, гравитационное взаимодействие, вследствие которого все тела притягиваются друг к другу с силой пропорциональной произведению их масс.

46

Ньютон установил закон гравитационного взаимодействия,

который называется законом Всемирного тяготения:

F = −G m1m2 , r2

где m1 и m2 - массы взаимодействующих тел, r - расстояние

показывает, что эта сила является силой притяжения.

Видно, что величина этой силы очень мала, поэтому силы гравитационного взаимодействия проявляются достаточно заметно либо за очень длительные промежутки времени, либо за короткие, если масса хотя бы одного из взаимодействующих тел достаточно велика.

Потенциальная энергия гравитационного взаимодействия.

Из выражения для силы тяготения можно найти потенциальную энергию гравитационного взаимодействия. В

и проведем процедуру интегрирования. Получим:

Если предположить, что на бесконечности потенциальная энергия взаимодействия равна нулю, имеем:

47

U = −G m1m2 . r

Более знакомое выражение для потенциальной энергии в поле тяжести Земли можно получить следующим образом:

падения, а r = Rз + h - расстояние до центра Земли, Rз - радиус Земли, h - высота над поверхностью Земли. Если будем считать, что при r = Rз , величина U = 0, то определим константу и получим:

U = mgh .

При выводе этого выражения делалось предположение, что сила не зависит от r , что, конечно, не правильно. Однако, при малых изменениях h полученное выражение достаточно точное.

Движение планет в солнечной системе.

Греческий ученый, Клавдий Птоломей считал, что в центре Мироздания находится Земля, и для объяснения петлеобразного движения планет предположил, что каждая из планет движется по малому кругу, центр которого вращается равномерно вокруг Земли. Эта геоцентрическая система господствовала в физике полторы тысячи лет. Только в начале XVI века польский исследователь Николай Коперник предложил гелиоцентрическую систему, в которой Земля была рядовой планетой солнечной системы. На основе взглядов Коперника, в XVII веке Иоган Кеплер установил законы движения планет.

Законы Кеплера.

1. Планеты обращаются вокруг Солнца по плоским кривым, представляющим собой эллипсы, в одном из фокусов которых находится Солнце.

48

2.Радиус вектор данной планеты за равные времена описывает равные площади.

3.Квадраты периодов обращения планет вокруг Солнца пропорциональны кубам больших полуосей их орбит.

Таким образом, в результате взаимного притяжения планет

иСолнца система не распадается, а является локализованной в пространстве системой.

Совершенно аналогично Луна удерживается вблизи Земли. Она постоянно находится в состоянии падении на Землю и движения вдоль орбиты. Падая на Землю, она постоянно промахивается. Интересен тот факт, что угловая скорость вращения Луны вокруг своей оси с высокой степенью точности совпадает с угловой скоростью ее вращения вокруг Земли, вследствие чего она обращена к Земле всегда одной стороной.

Вес.

Вес (P), представляет собой силу, с которой тело давит на

опору или действует на подвес.

В поле тяжести Земли P = mg , если опора или подвес

находятся в покое или движутся равномерно и прямолинейно. При ускоренном движении опоры или точки подвеса вдоль прямой действия силы тяготения вес будет определяться величиной

P = m(gr − ar) - при движении вверх – вес будет увеличиваться, при движении вниз – уменьшаться. Если gr = ar и движение вниз,

то наступает состояние невесомости.

Еще один фактор влияет на вес тела в поле тяжести Земли

– это ее суточное вращение, которое сопровождается действием центробежной силы, уменьшающий вес тела на величину

месте нахождения тела. Вес тела на экваторе меньше, чем на полюсе.

49

Предположим, что m1 - масса тела, находящегося в поле действия планеты, например, Земли, масса которой m2 = M . Видно, что в

этом случае

g = −G Mr 2 .

Итак, ускорение свободного падения зависит от расстояния до центра Земли и не зависит от массы тела.

Космические скорости

I – космическая скорость (VI ) - это скорость, которую

надо сообщить телу, чтобы оно могло совершать круговое движение вокруг Земли. Условием движения тела по круговой орбите вокруг Земли является равенство силы тяготения и центробежной силы:

m1g = m1rVI2 .

Отсюда следует, что для этого тело должно обладать скоростью

VI = gr ,

величина которой составляет примерно 8 103 мс .

II космическая скорость (VII )- это скорость, которую надо

сообщить телу, чтобы оно порвало связь с полем тяготения Земли. Условием этого является равенство энергий: