Лекции_1_курс

Выражение для средней скорости движения жидкости (газа) в трубе эмпирически нашел Пузель (Формула Пуазеля).

формула Пуазеля может быть представлена в виде:

При турбулентном движении профиль скоростей более ровный, что является следствием их перемешивания (см. рис. 4.6).

Рис. 4.6.

Опыт показывает, что распределение скорости слоев жидкости по радиусу трубы имеет вид:

101

V = K ′7 r − z ,

где K ′- численный коэффициент.

Выражение для средней скорости движения жидкости при турбулентном течении имеет вид (формула Шези):

где λ - коэффициент сопротивления течению жидкости.

Если этот коэффициент определить для ламинарного

течения как λ = 16η , то формула Шези сводится к формуле

ρrVср

Пуазеля. В этом смысле формула Шези является более универсальной.

4.4. Сопротивление движению тел в жидкостях

Выше были представлены простейшие законы движения жидкости (газа). Теперь рассмотрим особенности движения тел в жидкостях (газах).

Как установил Стокс, на тело шарообразной формы, движущееся с небольшой скоростью в жидкости, действует сила сопротивления, равная

FQ = 6πηrV ,

где η - коэффициент вязкости, r - радиус шарика,

V - его скорость движения.

Эта формула часто используется для расчета стационарной скорости падения шарообразного тела в вязкой среде (Vстац ).

Определим эту скорость. При равномерном движении тел все действующие на него силы уравновешивают друг друга. Для рассматриваемого случая

102

FT = FQ + FA ,

где FT = mш g = 43 πr 3 ρg – сила тяжести,

ρ - плотность материала шарика,

FQ = 6πηrVстац - сила вязкого трения Стокса,

FA = 43 πr 3 ρc g - сила Архимеда,

ρc - плотность среды.

Решение этого уравнения относительно Vстац имеет вид:

Vстац = F6T πη− Fr A = 92 rη2 g (ρ − ρc ).

Более детальное рассмотрение этой задачи, позволяет найти динамику движения тела сферической формы в вязкой среде. В соответствии со вторым законом Ньютона, предполагая, что движение происходит в направлении оси x , запишем:

F = mш dVdt = FT − FA − FQ = −6πηr(V −Vстац ).

Это уравнение может быть преобразовано к виду:

dYdt = −γY ,

где Y =V −Vстац ,

γ = A , mш

103

A = 6πηr .

Решением выше представленного уравнения является:

lnY = {−γ t}+ const .

Величина постоянной интегрирования находится из условия, что в начальный момент времени скорость тела была равной V0 , поэтому const = ln(V0 −Vстац ).

В результате получаем:

Y = (V0 −Vстац )exp(−γ t)

или

V = (V0 −Vстац )exp(−γ t)+Vстац .

Анализ представленного решения показывает, что в зависимости от начальных условий, соотношения плотностей материалов шарика и среды движение тела будет различным. На рис. 4.7 представлен характер изменения скорости шарообразного тела, плотность которого выше плотности среды, для двух значений начальной скорости.

V

V0

Vстац

Рис. 4.7.

104

При больших скоростях движения тел в жидкостях или газах возникают завихрения, энергия затрачивается на их образование, при этом сила сопротивления становится

пропорциональной V 2 и площади сечения тела S , перпендикулярной скорости движения. Для этого случая Ньютоном была получена формула для силы трения, которая имеет вид:

Cx - коэффициент лобового сопротивления, который зависит от формы тела, определяющей характер вихрей:

-квадратная пластинка, перпендикулярная потоку газа (жидкости).

Cx =1,28 ,

-диск, перпендикулярный потоку газа (жидкости). Cx =1,12 ,

-шар, Cx = 0,50 ,

-сигарообразное тело (длина = 4 диаметрам). Cx = 0,026 .

Физический смысл формулы Ньютона состоит в том, что тело, при своем движении, оттесняет за 1 секунду массу жидкости

(газа), равную ρc SV . Скорость, сообщаемая телом частицам

оттесненной среды, в среднем равна скорости самого тела, поэтому, количество движения, теряемое телом за одну секунду,

будет равно ρc SV 2 . Эта величина определяет возникающую силу

сопротивления движению, силу, обусловленную инерционными свойствами частиц среды.

4.5. Кинематическая вязкость. Число Рейнольдса

Опыт подтверждает представленные выше выражения для сил сопротивления движению тел в вязких средах, а именно, то, что при малых скоростях сила трения пропорциональна скорости движения тела, а при больших – квадрату ее величины.

Если предположить, что формула Ньютона более универсальна, чем формула Стокса, то следует констатировать,

105

что значение Cx является функцией ρc , η, l, где l-

характерный размер тела, причем их комбинация должна быть безразмерной. Такой комбинацией является величина:

Re = ρηlV ,

называемая числом Рейнольдса. ( Cx = f (Re)).

Число Рейнольдса имеет важный физический смысл. Оно пропорционально отношению силы трения, связанной с

инерционными свойствами частиц среды (~ SρV 2 ), к силе трения,

обусловленной вязкостью среды (ηS Vl ).

Величина ν = ηρ называется кинематической вязкостью.

Re = lνV .

Из представленных в таблице значений видно,

что кинематическая вязкость воды может быть меньше кинематической вязкости воздуха – это следствие того, что плотность воздуха меньше плотности воды.

106

Число Рейнольдса – главная характеристика обтекаемости тел. При малых значениях Re - течение имеет ламинарный характер, при больших – турбулентный.

При моделировании потоков (строительство каналов, различных гидросооружений и т.д.) проводят макетирование, при этом важно не только повторить геометрию, но и реализовать в эксперименте соответствующее реальности Re .

4.6.Аэродинамические силы

Аэродинамические силы – это силы, с которыми действует поток газа на тела. В этих условиях уравнение Бернулли надо применять с учетом возможной сжимаемости среды. Однако

расчеты показывают, что вплоть до скоростей (500-600) кмч

влиянием сжимаемости можно пренебречь. Существенным влияние сжимаемости среды будет при скоростях близких к скорости распространения звука в данной среде.

Если аэродинамическая сила F направлена под углом к направлению движения тела в среде, то ее можно представить в

виде двух сил, а именно, в виде подъемной силы ( FN ) и силы, препятствующей движению, силы лобового сопротивления ( Fx ).

Рассмотрим действие аэродинамических сил на примере крыла самолета с профилем Жуковского, для которого характерно, что площадь верхней части крыла меньше площади нижней (см.

рис. 4.8).

FN F

Fx

Рис. 4.8.

107

Силы FN и Fx возникают в результате взаимодействия крыла с вихрями. Различают три основных вида вихрей:

-вихри, возникающие за крылом. Причина их возникновения

–сила вязкого трения. Эти вихри обуславливают часть лобового

сопротивления (профильное сопротивление ( Fp )),

- вихри, возникающие в результате циркуляции газа вокруг крыла. В верхней части крыла направление циркуляции газа совпадает с направлением потока налетающего газа, а в нижней эти потоки направлены в противоположные стороны. Следствием этого является то, что сверху крыла скорость потока газа больше, чем снизу, а это значит, в соответствии с уравнением Бернулли, что сверху давление меньше, чем снизу – возникает подъемная сила FN ,

- вихри, стекающие с конца крыла и образующие вихревые жгуты. Работа затрачиваемая на образование этих жгутов

определяет добавочное индуктивное сопротивление Fi ,

Следует отметить, что при больших скоростях движения дополнительно совершается работа на звукообразование,

возникает волновое сопротивление Fν .

Как показывает опыт и теория, подъемная сила и полное лобовое сопротивление могут быть представлены выражениями:

Fx = Cx ρcV 2 S ,

2

где, для рассматриваемого случая, S - несущая поверхность крыла,

Cy и Cx - коэффициенты подъемной силы и лобового сопротивления, соответственно.

108

Действием аэродинамических сил объясняется эффект Магнуса. Этот эффект возникает при движении вращающегося тела в газе или жидкости. Рассмотрим вращающийся цилиндр, находящийся в потоке газа (см. рис. 4.9). При вращении тела, воздух вблизи его поверхности увлекается вращающейся поверхностью, и возникающий поток складывается или вычитается из потока налетающего газа.

FrN

Поток газа

Рис. 4.9.

В результате возникает разность скоростей обтекания тела газовым потоком и, следовательно, возникает разность давлений, сила, отклоняющая тело в направлении перпендикулярном направлению потока газа.

109

РАЗДЕЛ II

МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА

1.Основные макропараметры

1.1.Температура

Молекулы газов и жидкостей, находятся в постоянном, беспорядочном движении. О таком движении говорят как о тепловом. В этом движении суть всех тепловых процессов. Характерным примеров такого беспорядочного движения является Броуновское движение взвешенных в жидкости мелких пылинок, которое можно наблюдать через микроскоп. Хаотичность движения таких, по сравнению с молекулами, макрочастиц вызвано нескомпенсированностью по ним ударов молекул, движение которых само хаотично. Если два тела привести в соприкосновение, то их молекулы будут взаимодействовать друг с другом, будет происходить обмен энергией. Тело, которое при этом теряет энергию, называют более нагретым, а которое приобретает – менее нагретым. Такой переход энергии будет до тех пор, пока не установится тепловое равновесие, пока тела не станут одинаково нагретыми.

Для характеристики степени нагретости тел служит понятие «температура». Физически определение температуры основывается на величине, которая характеризует тепловое состояние тела и которая была бы всегда одинакова у двух тел, находящихся в тепловом равновесии. Оказывается, что таким

110