Лекции_1_курс

β= arctg ( − 2γω ).

ω02 −ω2

внешняя сила всегда направлена вдоль скорости и всегда ускоряет тело. Условие ω =ω0 соответствует условию максимальной

передачи энергии от внешней силы в колебательную систему. Это условие резонансного взаимодействия, условие резонанса. Если

ω ≠ ω0 , то часть времени внешняя сила ускоряет тело, а часть времени замедляет.

В условиях резонансного взаимодействия (ω =ω0 ) амплитуда колебаний имеет максимальную величину, равную:

Bрез = Fγω0 .

2m

Теперь перепишем выражение для амплитуды вынужденных колебаний ( ) в виде:

и преобразуем его

72

Теперь, используя последнее выражение, построим график зависимости амплитуды вынужденных колебаний от частоты внешней силы (см. рис. 3.5), который называется резонансной кривой. Ширина резонансной кривой определяется коэффициентом затухания γ . Чем больше коэффициент

затухания, тем шире резонансная кривая. Если γ = 0 , то резонансная кривая представляет собой δ -функцию.

B

Bрез

1

ω

ωo

Рис. 3.5.

73

3.6. Параметрический резонанс

Незатухающие колебания в колебательной системе с затуханием могут поддерживаться не только внешней периодической силой направленной вдоль траектории движения совершающего колебания тела, но и периодическим изменением параметра колебательной системы. При определенных условиях может быть реализован параметрический резонанс.

Рассмотрим простейший пример, математический маятник, длина нити подвеса которого периодически меняется. При прохождении телом положения равновесия нить укорачивается на величину a , которая много меньше длины маятника ( a << l), а в положении, соответствующем максимальному отклонению, удлиняется на величину a . В течение каждого периода изменение длины будет происходить два раза, т.е. частота модуляции параметра колебательной системы в два раза больше собственной частоты колебаний маятника. Мы предполагаем, что изменение длины происходит мгновенно. Это, конечно, не соответствует действительности, однако, такой качественный подход позволяет достаточно просто и наглядно изложить суть изучаемого явления.

При укорачивании нити мы совершаем работу против силы тяжести и против центробежной силы

при удлинении нити работу совершает сила тяжести

A2 = mga cosα

где α - угол максимального отклонения маятника от положения равновесия. Таким образом, за время равное половине периода над системой совершается работа

74

A = A1 − A2 = mga + mVl 2 a − mgacosα А= mVl 2 a + mga(1 −cosα).

Как и ранее, определим значение центробежной силы через угол

Это работа, совершаемая над маятником за половину периода колебаний, следовательно, за период она составит величину:

колебаний, и можно считать, что в среднем за период половина полной энергии колебательного движения тела находится в потенциальной форме, а другая половина – в кинетической, т.е. имеем:

mV2 2 = E2 .

Таким образом, уравнение ( ) может быть представлено в виде:

dEdt = 3 al E .

75

Введя обозначение: 3 al = 2χ , получим:

dEdt = 2χE ,

уравнение, описывающее в общепринятой форме изменение энергии колебательной системы при параметрическом резонансе:

Видно, что за каждый период колебаний маятник будет увеличивать свою энергию пропорционально величине al и тем

больше, чем больше у него была энергия в предыдущий период. Преобразуем полученное уравнение зависимости энергии

колебаний от времени к виду:

dEE = 2χdt

и интегрируя его получим: ln E = 2χt + const . Предполагая, что в момент времени t = 0 полная энергия колебаний составляла величину E0 , определим постоянную интегрирования, const = ln E0 , и получим зависимость энергии колебаний от времени в виде:

E = E0 e2χt

Так как E ~ A2 , где A - амплитуда колебаний, имеем:

A= A0 eχt .

χназывается коэффициентом нарастания колебаний.

76

Видно, что за время τ = χ1 амплитуда колебаний увеличится в e

раз. τ называется время нарастания колебаний. За время t =τ

колебаний.

Для рассматриваемого случая, зависимость смешения тела, совершающего колебания, от времени имеет вид:

x = A0 eχt cos(ωt + β).

Существенно, что при наличии силы вязкого трения, которая пропорциональна скорости движения тела, рост амплитуды колебаний не будет происходить до бесконечности.

Также существенно то, что параметрическая раскачка колебаний может быть реализована только в том случае, если в начальный момент времени существуют, пусть даже бесконечно

малые, но отличные от нуля, колебания, существует A0 .

3.7. Сложение колебаний одинакового направления

Этот случай часто реализуется в практической деятельности человека: вибро-машины, виброгасители, рессоры и т.д.

Рассмотрим тело, участвующее в двух однонаправленных колебаниях одновременно. Примером устройства, реализующего эту ситуацию, может быть пружинный маятник, точка подвеса

относительно точки подвеса, а x2 = a2 cos(ω2t +α2 ) - колебаниям

точки подвеса относительно неподвижной опоры. Суммарное смешение, очевидно, будет равно:

x = x1 + x2 = a1 cos(ω1t +α1 )+ a2 cos(ω2t +α2 ).

77

Рассмотрим два случая:

1.Пусть ω1 = ω2 = ω . Тогда

x= a1 cos(ω t +α1 )+ a2 cos(ω t +α2 )= a cos(ωt +α),

где a = a12 + a22 + 2a1a2 cos(α2 −α1 ),

tgα = a1 sinα1 + a2 sinα2 . a1 cosα1 + a2 cosα2

Видим, что амплитуда результирующих колебаний зависит от разности начальных фаз.

Если a1 = a2 = a0 , то:

a= 2a02 [1 + cos(α2 −α1 )],

ив случае cos(α2 −α1 )=1, амплитуда колебаний увеличивается и становится равной 2a0 .

Если cos(α2 −α1 )= −1, то амплитуда результирующих колебаний

становится равной нулю.

Итак, в зависимости от начальной разности фаз, колебания либо усиливаются, либо взаимно гасятся.

2. Пусть ω1 ≠ ω2 , а α1 =α2 =α0 . Тогда:

x = a1 cos(ω1t +α0 )+ a2 cos(ω2 t +α0 )= a cos(ωt +α),

где

a = a12 + a22 + 2a1a2 cos(ω2 −ω1 )t .

Видим, что амплитуда колебаний зависит от времени, следовательно, эти колебания уже не являются гармоническими.

Если a1 = a2 = a0 , то:

78

Итак, сложение однонаправленных колебаний разной частоты приводит к возникновению колебаний, амплитуда которых пульсирует во времени. Эти пульсации называются

биениями.

3.8. Сложение колебаний взаимно перпендикулярного направления

Пусть тело одновременно совершает колебания вдоль оси

xи вдоль оси y с одной и той же частотой ω

x= a1 cos(ωt +α1 ), y = a2 cos(ωt +α2 ).

Найдем траекторию движения тела. Для этого изменим

Далее, полученные выражения возведем в квадрат:

=cos2 ωt sin 2 (α2 −α1 ),

ипочленно сложим.

В результате проделанных действий получено уравнение, описывающее траекторию движения тела, одновременно участвующего в двух, взаимно-перпендикулярных колебаниях. Это уравнение эллипса.

Рассмотрим некоторые частные случаи.

наклона к оси x , равным: ϕ = arctg a2 . a1

80