Лекции_1_курс

Для того, чтобы реализовать эту модель на практике должны выполняться следующие условия:

1. размер тела должен быть много меньше длины нити

(d << l),

2. масса тела должна быть много больше массы нити

(m >> mн ),

3.происходящее во время колебаний изменение длины нити должно быть много меньше длины самой нити ( l << l).

Остановимся на последнем более подробно.

При максимальном отклонении маятника от состояния равновесия сила натяжения нити Fн1 = −mg cosα , где α - угол

максимального отклонения. При прохождении телом положения равновесия сила натяжения нити определяется как силой тяжести,

центробежной силы может быть найдена следующим образом. Согласно закону сохранения энергии запишем

Итак, величина Fн2 − Fн1 = −к lопределяет значение l,

которое должно быть много меньше l. Расчет показывает, что это условие выполняется, когда

l >> 3mgк (1 − cosα).

Из полученного выражения следует, что подбором амплитуды колебаний (угла максимального отклонения) это условие может быть всегда выполнено.

Теперь рассмотрим движение самого маятника. Возвращающая сила, действующая вдоль оси «х» определяется

После подстановки соответствующих величин в выражение для

Fx получим:

Fx = −mg(3cosϕ − 2 cosα)sinϕ

Если угол отклонения маятника настолько мал, что cosα ≈1, то

Fx = −mg sin ϕ = −mg lx

62

В данном случае (см. рисунок) момент силы действующий на физический маятник равен:

K = −amg sin ϕ .

Если амплитуда колебаний мала, то и углы отклонения маятника от состояния равновесия (ϕ ) малы, поэтому sin ϕ ϕ . В этом

случае можем записать: K = −amgϕ . Видим, что K ~ −ϕ и что в

рассматриваемом случае роль коэффициента жесткости играет величина amg .

для частоты колебаний физического маятника в виде:

Замечание. Если в полученное выражение для частоты колебания физического маятника подставить значение момента инерции, соответствующее материальной точке находящейся на

расстоянии a от точки подвеса ( I = ma2 ), то полученное выражение будет соответствовать частоте колебаний математического маятника, длиной l = a .

Сравнивая формулу для частоты колебаний физического маятника, с соответствующей формулой для математического

64

маятника будет равна частоте колебаний математического, если его длина будет составлять величину

lпр = amI .

Это, так называемая, приведенная длина физического маятника. Так как I = I0 + ma2 , где I0 - момент инерции тела

относительно оси, проходящей через центр инерции (C), выражение для приведенной длины мы можем записать в виде:

lпр = a + amI0 .

Из этого выражения следует, что периоды колебаний одинаковых физических маятников, подвешенных на

параллельных осях, отстоящих друг от друга на расстояние lпр равны. В самом деле, отложим на прямой ОС отрезок OO′ = lпр . Подвесим маятник на ось, проходящую через точку O′. Тогда

Итак: приведенные длины, а значит и периоды (частоты) колебаний физических маятников, подвешенных на параллельных

65

осях, отстоящих друг от друга на величину равную приведенной длине равны.

3.4. Затухающие колебания

До сих пор рассматривались незатухающие колебания. Но если колебательное движение тела происходит в среде (жидкость, газ), которая препятствует движению, то энергия колебаний будет переходить в тепловое движение молекул, т.е. будет иметь место

диссипация энергии.

При малых скоростях движения тел в газах и жидкостях сила трения ( Fη ) пропорциональна скорости движения тела – это

сила вязкого трения Стокса (об этой силе более подробно будет говориться позже):

Fη = −bV ,

где b - некоторая константа, определяемая характеристиками среды и параметрами тела.

Выясним, как влияет сила трения на колебательное движение. Будем считать, что сила трения настолько мала, что за время, равное одному периоду, амплитуда колебаний практически не меняется, т.е. изменение амплитуды колебаний много меньше самой амплитуды.

Очевидно, энергия, теряемая совершающим колебание телом, равна работе силы трения. За время dt эта работа составляет величину:

dE = Fηdx = FηVdt = −bV 2dt .

Это уравнение может быть представлено в виде:

dEdt = −bV 2 = − m2 b mV2 2 .

Ранее было сделано предположение, что изменение амплитуды колебаний, а, следовательно, и энергии, за время, равное периоду

66

колебаний, очень мало. Поэтому вместо кинетической энергии можно записать в последнем уравнении среднее за период

значение полной энергии (E), mV2 2 E2 . В результате получим:

dEdt = − m2 b E2 = − mb E .

Введем обозначение mb = 2γ и перепишем последнее выражение в виде:

E0

из которого следует:

E = E0 e−2γt .

67

Видим, что энергия колебаний убывает по экспоненциальному

закону. При этом, т.к. E ~ A2 изменение амплитуды колебаний во времени имеет вид:

A= A0 e−γt .

γ- называется коэффициентом затухания.

Из полученной зависимости видно, что за время t =τ = γ −1 амплитуда колебаний убывает в e раз.

− t

A = A0 e τ .

Это время называется временем затухания.

Из ранее сделанного предположения относительно незначительной потери энергии за период колебания, следует, что

декрементом колебаний.

Вид затухающих колебаний представлен на рис. 3.4.

x

x = A0 e−γt cos(ωt +α)

t

Рис. 3.4.

Необходимо отметить, что затухающие колебания не являются гармоническими.

Если сила трения велика на столько, что существенное изменение амплитуды происходит за время, меньшее чем период колебания, то такие колебания называются апериодическими.

68

3.5. Вынужденные колебания

В реальных условиях колебания механических систем всегда являются затухающими. Для создания незатухающих колебаний нужно подводить энергию из вне с помощью действия внешних сил. Колебания, совершаемые в результате действия внешней силы, называются вынужденными. Простейшим, с точки зрения математического анализа, случаем является случай, когда внешняя сила меняется по гармоническому закону:

Fвн = F0 cosωt .

Здесь ω - частота действия внешней силы, собственную частоту колебаний системы будем теперь обозначать ω0 .

Запишем уравнение движения в виде:

и трансформируем его с учетом обозначений введенных ранее:

Решение уравнения будем искать на частоте внешней силы, т.е. предположим, что решение уравнения имеет вид:

x = B cos(ωt + β).

уравнение, из которого в последствии исключим время. Получим два уравнения с двумя неизвестными B и β . Определим их и

проанализируем полученные выражения. Итак:

69

x = B cos(ωt + β), dxdt = −Bω sin(ωt + β),

d 2 x = −Bω2 cos(ωt + β). dt 2

Подставим эти выражения в уравнение движения и получим:

− Bω2 cos(ωt + β)=

= −Bω02 cos(ωt + β)+ 2γBωsin(ωt + β)+ Fmo cosωt

или

B(ω02 −ω2 )cos(ωt + β)= 2γBωsin(ωt + β)+ Fmo cosωt .

Теперь воспользуемся известными соотношениями:

cos(ωt + β)= cosωt cos β −sinωt sin β , sin(ωt + β)= sinωt cos β + cosωt sin β ,

которые позволяют преобразовать наше уравнение к виду:

B(ω02 −ω2 )[cosωt cos β − sinωt sin β]= 2γBω[sinωt cos β + cosωt sin β]+ Fmo cosωt

Теперь воспользуемся тем, что искомое решение должно быть справедливым в любой момент времени, поэтому запишем полученное выражение для моментов времени, когда sinωt = 0 и когда cosωt = 0 . Получим два уравнения, не содержащие время

70