Лекции_1_курс

2. Вычислим момент инерции однородного длинного стержня (длина стержня l, его масса M ), ось предполагаемого вращения которого перпендикулярна оси симметрии и проходит через его край (см. рис. 2.5).

a r

l

Рис.2.5

Очевидно, что для решения этой задачи можно воспользоваться предыдущей, изменив только пределы

интегрирования - r1 = 0, r2 = l. Вследствие этого имеем:

I = M l2 .

3

3. Вычислим момент инерции однородного сплошного диска (радиус диска R , его масса M ), ось предполагаемого вращения которого проходит через его центр инерции и перпендикулярна его торцевой поверхности (см. рис. 2.6).

h

Рис.2.7.

Масса диска M = ρϑ = ρπR2 h , где ρ -плотность

материала, из которого изготовлен диск, ϑ - его объем, h - толщина диска. Единственной переменной величиной, зависящей

21

от расстояния до оси вращения, является радиус, поэтому выражение для dm имеет вид: dm = ρπhdr 2 , где r - та переменная, по которой производится интегрирование. Пределы

Итак, для рассмотренного случая имеем:

I = M R2 .

2

4. Вычислим момент инерции однородного диска с центральным отверстием (внешний радиус - R , радиус отверстия Ro , масса - M ), ось предполагаемого вращения которого

проходит через его центр инерции и перпендикулярна его торцевой поверхности.

Как и ранее, для решения этой задачи воспользуемся предыдущей, изменив только пределы интегрирования -

r1 = Ro , r2 = R . Таким образом, имеем:

или, с учетом того, что масса диска с отверстием равна

M = ρπh(R2 − Ro2 )

5. Момент инерции однородного шара массой M и радиуса R определяется выражением:

I= 52 MR2 .

2.5.Кинетическая энергия движения твердого тела

Кинетическая энергия вращательного движения

определяется формулой:

Eкин = Iω2 2

Эта формула похожа на формулу для кинетической энергии поступательного движения тела, в которой произведена замена массы на момент инерции, а скорости поступательного движения на угловую скорость. Таким образом, момент инерции играет роль параметра, характеризующего инерционные свойства тела способного вращаться.

Так как произвольное движение твердого тела состоит из поступательного и вращательного движений, его полная кинетическая энергия определяется выражением:

Eкин,полная = MV2 2 + I0ω2 2 .

Здесь I0 - момент инерции тела относительно оси проходящей

через его центр инерции,

V -скорость поступательного движения центра инерции тела.

2.6. Теорема Штейнера

На вопрос как связан момент инерции тела относительно произвольной оси ( I ) с моментом инерции относительно оси проходящей через центр инерции тела ( I0 ) если эти оси

параллельны дает ответ теорема Штейнера.

Рассмотрим твердое тело, вращающееся вокруг некоторой оси Z , не проходящей через его центр инерции и находящейся от центра инерции на расстоянии a . Для этого случая кинетическая энергия будет составлять величину:

23

где I момент инерции тела относительно оси Z .

С другой стороны, движение тела можно рассматривать как совокупность поступательного движения центра массы вокруг оси Z со скоростью V и вращательного движения вокруг оси Z ′, параллельной оси Z и проходящей через центр инерции тела, со

скоростью ω .

Z Z’

a

Рис.2.8

В этом случае выражение для кинетической энергии будет иметь вид:

Eкин = MV2 2 + I0ω2 2 .

Так как V = aω , где a -расстояние на которое была сдвинута ось, получаем:

Eкин = 12 Ma2ω2 + 12 I0ω2 = 12 ω2 (Ma2 + I0 )

Сравнение этого выражения с выражением (*) показывает, что

I = I0 + Ma2 .

Итак, момент инерции относительно данной оси Z равен моменту инерции относительно оси Z ′, проходящей

24

через центр инерции и параллельной данной, плюс момент инерции центра массы тела относительно оси Z .

Из представленного выражения видно, что момент инерции минимален, если ось предполагаемого вращения проходит через его центр инерции.

2.7. Момент количества движения

При поступательном движении важной характеристикой

является количество движения P = MV . Роль количества движения при вращательном движении играет момент количества движения:

L = Iωr .

Направление вектора момента количества движения совпадает с направлением угловой скорости. Для материальной точки

L = [rr× P],

где Pr = MVr , r - кратчайшее расстояние от оси вращения до материальной точки.

Покажем, что эти выражения эквивалентны. Для этого умножим обе части выражения P = MV = M [ωr ×rr] (V = [ωr ×rr]) на

r и получим:

[rrP]= Mr 2ωr = Iωr .

2.8. Момент силы

По определению, моментом силы (K ) называется

векторное произведение расстояния от точки приложения силы до оси вращения на величину самой силы, т.е.

K= [rr× F ].

2.9.Второй закон Ньютона для вращательного

движения

25

Известно, что для поступательного движения второй закон Ньютона связывает быстроту изменения импульса тела с полной действующей движущей на тело силой:

Для вращательного движения, по аналогии, можно записать:

Kr = ddtL , или, если I = const , Kr = I ddtω .

Определение: изменение момента количества движения

тела пропорционально приложенному движущему моменту силы и происходит в направлении, вдоль которого этот момент силы действует.

Рассмотрим этот вопрос более подробно.

Если rс течением времени момент количества движения меняется, ( ddtL ≠ 0 ), то имеем:

Окончательно имеем:

ddtL = Kr .

26

2.10. Гироскоп. Скорость прецессии гироскопа

Гироскоп, это осесимметричное тело, способное вращаться вокруг своей оси симметрии.

При его вращении вектора момента количества движения (L)и угловой скорости (Ω)направлены вдоль оси вращения. Если

нет действия момента внешних сил, то величина момента количества движения не меняется. При наличии момента внешней силы ось гироскопа начинает отклоняться в направлении вектора момента силы. Возникает движение, которое называется прецессией. Отклонение обусловлено тем, что в направлении действия момента силы происходит изменение момента количества движения, а, следовательно, изменение направления угловой скорости вращения гироскопа.

Примером гироскопа является волчок (см. рис. 2.9).

dϕ dL r

Ω, L = IΩ

l Θ С

Mg

О

Рис. 2.9.

Волчек взаимодействует с опорой в точке O и находится в поле тяжести Земли, определяющем силу, которая приложена к его центру инерции (С). Введем обозначения: Θ- угол наклона оси волчка относительно вертикали, l- расстояние от точки опоры ( O ) до центра тяжести волчка ( C ), M - масса волчка.

27

Под действием момента силы K = Mglsin Θ возникает

изменение момента количества движения ( dL ) и ось волчка начинает описывать конус, относительно вертикального направления.

Вычислим угловую скорость прецессии ω .

За время dt вектор момента количества движения получает перпендикулярное к своему направлению приращение dL = Kdt , лежащее в горизонтальной плоскости, при этом,

возникает поворот оси волчка на угол dϕ = dLr , где r = LsinΘ.

Следовательно, имеем:

dϕ = dLr = LsindL Θ = LsinK Θ dt .

Видно, что угловая скорость прецессии волчка равна:

ω = ddtϕ = LsinK Θ .

Подставляя в полученное выражение K = Mglsin Θ и L = IΩ,

гдеI момент инерции волчка, получаем выражение для угловой скорости прецессии:

ω = Mgl IΩ .

Замечание

Для простоты запоминания формул, описывающих вращательное движение твердого тела, ниже приведена таблица, показывающая симметрию всех выражений, которые были представлены для вращательного движения твердого тела, выражениям, соответствующим поступательному движению. При этом необходимо помнить, что для анализа вращательного движения в соответствующих выражениях существенную роль

28

играют направления векторов угловой скорости, момента количества движения, момента силы.

2.11.Закон сохранения массы. Закон сохранения количества движения. Реактивное движение

Все законы сохранения физических величин справедливы только для замкнутых систем тел.

Совокупность тел, взаимодействующих между собой и не взаимодействующих с телами не входящими в данную совокупность, называется замкнутой системой тел.

В замкнутой системе тел сохраняются следующие величины:

1. величина полной массы тел,

29

2.величина полного количества движения тел,

3.полная энергия,

4.полный момент количества движения.

Закон сохранения массы

Для замкнутой системы, состоящей из тел с массами mi справедливо соотношение:

∑mi = M = const .

i

Закон сохранения количества движения

Для замкнутой системы, состоящей из тел с массами mi ,

движущихся со скоростями Vi справедливо соотношение:

∑miVi = ∑Pi = const.

Из законов сохранения полной массы и количества движения в замкнутой системе тел следует, что центр инерции этой системы в инерциальной системе отсчета движется с постоянной скоростью или находится в состоянии покоя. Для доказательства этого конкретизируем понятие «центр инерции» (центр масс).

Центр инерции (центр масс)

Координаты центра инерции системы материальных точек, имеющих массы mi и соответствующие этим массам координаты

xi , yi , zi , в Декартовой системе координат определяются выражениями:

В полярной системе координат, в которой положения материальных точек ( mi ) характеризуются радиус-векторами rri ,

центру инерции соответствует радиус-вектор

30