Лекции_1_курс

6. Работа при тепловых процессах

Рассмотрим газ, находящийся под поршнем в цилиндрическом сосуде (см. Рис. 6.1). Пусть при расширении газ передвигает поршень на расстояние dh , тогда он совершает работу dA = Fdh , где F - сила, действующая на поршень со стороны газа. Но F = PS , где P - давление, S -площадь поршня. Следовательно, dA = PSdh поэтому

dA = PdV ,

где величина dV = Sdh определяет изменение объема.

dh

Рис. 6.1.

Это простая и очень важная формула позволяет вычислить работу при тепловых процессах.

V2

A = ∫PdV .

V1

122

Работа положительна при расширении газа и отрицательна при уменьшении его объема. Представленную выше формулу можно проиллюстрировать графически (см. рис. 6.2).

Р• 1

Рис.6.2.

Пусть на P −V диаграмме процесс изображается кривой, соединяющей точки 1 и 2. Величина dA определяется площадью бесконечно узкого прямоугольника, шириной dV . Ясно, что полная работа будет определяться площадью под всей изображенной кривой.

Представленный выше процесс является однонаправленным. Однако часто реализуются и круговые, когда процесс идет из точки 1 в точку 2 по одной зависимости давления от объема (1-а-2), а из точки 2 в точку 1 по другой (2-b-1). Ясно, что в этом случае полная работа за один цикл равна разности

• 2

V

Рис.6.3.

6.1. Работа при изобарном процессе

Изобарный процесс реализуется при постоянном давлении ( P = const ), поэтому

123

V2

A = ∫PdV = P(V2 −V1 ).

V1

6.2. Работа при изохорном процессе

Изохорному процессу соответствует условие: V = const . Следовательно, dV = 0 , т.е.

dA = 0 .

6.3. Работа при изотермическом процессе

Изотермический процесс протекает при T = const . Для одного моля газа уравнение состояния имеет вид PV = RT ,

или

A = RT ln V2 . V1

7.Закон сохранения энергии при тепловых процессах. Первое начало термодинамики

Если тело не получает извне никакой энергии, то работа при расширении производится за счет внутренней энергии, которую будем обозначать E . Эта внутренняя энергия состоит из кинетической энергии молекул газа и потенциальной энергии их взаимодействия между собой. В случае идеального газа остается только кинетическая энергия молекул.

Если тело получает извне энергию dQ , то эта энергия идет

на увеличение внутренней энергии и, если происходит увеличение объема, на совершение работы.

124

dQ = dE + dA .

Ясно, что если мы будем отбирать от тела энергию (dQ < 0), то будет происходить изменение dE + dA , причем, dA

может быть положительной величиной, если газ совершает работу, и отрицательной, в случае, если работа совершается над газом. Представленное выше уравнение называется первым началом термодинамики и является фактически законом сохранения

энергии при тепловых процессах.

Из первого начала термодинамики следует невозможность создания вечного двигателя первого рода, т.е. двигателя, который бы работал вечно за счет расходования своей внутренней энергии. Ясно, что такой двигатель будет работать только до тех пор, пока не будет полностью израсходована внутренняя энергия.

Единицей измерения количества тепла (Q) является калория. 1 калория = 4,18 Дж.

8. Теплоемкость

8.1.Теплоемкость при постоянном давлении и при постоянном объеме

Если при поглощении количества тепла dQ температура

тела повышается на dT , то отношение

C = dQdT

называется теплоемкостью тела.

Фактически, теплоемкость это величина, численно

равная количеству тепла, которое надо сообщить телу, чтобы увеличить его температуру на один градус.

125

удельную теплоемкость (теплоемкость единицы массы вещества

т.к. сообщаемая телу энергия (теплота) может идти не только на

постоянном объеме ( CV ) и постоянном давлении ( CP ).

Из первого начала термодинамики следует, что

CV = dTdE ,

=d(E + PV )

аCP dT .

Величина W = E + PV называется энтальпией.

Итак, для одного моля вещества соотношение между теплоемкостью при постоянном давлении и теплоемкостью при постоянном объеме имеет вид:

126

CP = CV + R ,

т.е. теплоемкость при постоянном давлении больше теплоемкости при постоянном объеме на величину газовой постоянной.

8.2. Теплоемкость одноатомного газа

Атом может быть представлен в виде материальной точки. Вследствие этого, у него есть только три степени свободы движения, поступательного движения. По определению, температура пропорциональна средней кинетической энергии

Поэтому внутренняя энергия одного моля газа будет равна

E = 32 kTN A или E = 32 RT . Следовательно,

= dE = 3

CV dT 2 R ,

при этом очевидно, что

CP = CV + R = 52 R .

Во многих тепловых процессах важную роль играет

параметр γ = CP , так называемый показатель адиабаты. Для

CV

одноатомного газа

γ= 53 =1,67 .

8.3.Теплоемкость двухатомного газа

В многоатомных газах внутренняя энергия содержится не только в кинетической энергии поступательного движения молекул, но и во вращательных степенях свободы движения (колебательные степени свободы движения проявляют себя в

127

полной мере только в твердых телах, а в газах и жидкостях исключительно при очень высоких температурах – в тысячи градусов). Вследствие этого, для увеличения температуры многоатомного газа на один градус необходимо сообщить ему больше теплоты, чем такому же количеству одноатомного газа.

Известно, что внутренняя энергия делится в равной мере между всеми степенями свободы движения молекул, поэтому для двухатомного газа (у него пять степеней свободы движения: три поступательные и две вращательные), только три пятых сообщаемой ему теплоты идет на изменение температуры (в поступательные степени свободы движения). Для одного моля

двухатомного газа получаем 53 Q = 32 RT или

CV = dQ = 5 R dT 2

Отметим, что данные рассуждения применимы к достаточно разреженному газу, к сжатым газам полученные выражения не применимы.

8.4. Теплоемкость твердого тела. Закон Дюлонга и Пти

Молярная теплоемкость твердого (кристаллического) тела равна 3R . Этот закон, закон Дюлонга и Пти, известен более двухсот лет. Покажем, что это действительно так.

Атомы в твердых телах могут совершать только колебательное движение – колебания вдоль осей x, y, z . Поэтому

на каждую степень свободы колебательного движения приходится по kT2 кинетической энергии. Если будем считать, что колебания происходят по гармоническому закону, то, очевидно, в среднем за

128

период колебания половина полной энергии тела содержится в кинетической форме, а другая половина – в потенциальной. Поэтому на каждую степень свободы одного атома приходится kT внутренней энергии. На три степени свободы имеем 3kT . Умножив на число частиц в одном моле, получим, что внутренняя энергия одного моля равна 3kN AT = 3RT . Поэтому

C= dTdE = 3R .

9.Адиабатический процесс

Адиабатическим процессом называется процесс, идущий без энергообмена с окружающей средой. В соответствии с первым началом термодинамики для адиабатического процесса имеем

dQ = dE + dA = 0 .

Адиабатический процесс может быть реализован при наличии достаточно хорошей теплоизоляции, т.е. процесс надо реализовать таким образом, чтобы за время его протекания изменение энергии системы за счет ее контакта с внешними телами было значительно меньше самой энергии системы. Наиболее простая модель адиабатического процесса - расширение или сжатие газа, находящегося в теплоизолированном сосуде с поршнем. Расширение будет адиабатическим, если поршень достаточно медленно выдвигать из цилиндра. Настолько медленно, чтобы за время его движения такие макропараметры газа как температура и давление успели стать одинаковыми по всему объему. Практически, требование к медленности означает, что скорость движения поршня должна быть меньше скорости звука в газе, - в условиях экспериментов это может быть легко осуществлено. Условия теплоизоляции и медленности процесса в некоторой степени противоречивы, т.к. чем медленнее процесс протекает, тем больше потерь энергии изза несовершенства теплоизоляции, однако, в реальности, эта проблема достаточно легко устранима.

129

Применим первое начало термодинамики к адиабатическому расширению или сжатию идеального газа. Для простоты отнесем все рассуждения к одному молю. Итак, для адиабатического процесса имеем:

dQ = dE + dA = 0 ,

Проведем некоторые преобразования. Учтем, что CV = dTdE ( dE = CV dT ) и что P = RTV . Получим CV dT + RTV dV = 0 или

CV dTT + R dVV = 0 .

Далее, представим последнее выражение в виде:

CV d lnT + Rd lnV = 0 ,

проинтегрируем его CV lnT + R lnV = const и получим:

T CV V R = const .

Окончательно имеем:

TV γ −1 = const′,

где γ = CP .

CV

130