Лекции_1_курс

Основываясь на представленной выше формуле найдемr скорость движения центра инерции замкнутой системы тел (Vц.и ):

Из полученного выражения видно, что скорость центра инерции замкнутой системы тел величина постоянная, т.к. полный импульс системы и полная масса системы величины неизменные.

Так как скорость центра инерции не меняется во времени, то система отсчета, связанная с ним, является инерциальной и называется системой центра инерции. Она очень часто используется в физических задачах для анализа движения элементов системы друг относительно друга, т.к. в ней движение системы как целого отсутствует.

Реактивное движение.

Уравнение Циолковского-Мещерского

На основе закона сохранения количества движения рассмотрим реактивное движение.

Нас будет интересовать, как меняется скорость движения ракеты по мере выгорания топлива в условиях постоянства скорости его потока.

Пусть в некоторый момент времени t масса ракеты была

равной M , а скорость V . В последующий момент времени ( t + dt ), в результате действия реактивной тяги, возникающей в

результате истечения топлива с постоянной скоростью U , масса

31

ракеты уменьшится на величину dM и станет равной M − dM , а

ее скорость увеличивается на dV , т.е. станет V + dV . Применим закон сохранения количества движения,

рассматривая ракету и вылетающее из нее топливо как замкнутую систему тел, учитывая то, что движение ракеты и истечение топлива происходят вдоль одной оси.

MV = (M − dM )(V + dV )+ dM (V −U )

Последнее слагаемое в представленном выражении соответствует количеству движения, содержащегося в вылетевшим из ракеты за

время dt топливе. Пренебрегая величинами второго порядка малости, после раскрытия скобок, имеем:

MdV −UdM = 0 или dVU = dMM = d ln M .

Интегрируем последнее выражение и получаем:

UV −ln M = const

Постоянная интегрирования определяется начальными условиями. Пусть в начальный момент времени, при t = 0 , масса ракеты была M 0 , а ее скорость равнялась нулю. Тогда, искомая постоянная

интегрирования const = −ln M 0 и, следовательно,

UV − ln M = −ln M 0

Таким образом, получаем:

V =U ln M M o

32

Видно, что по мере выгорания топлива скорость ракеты увеличивается по логарифмическому закону и при M стремящейся к нулю стремится к бесконечности. Этот результат не противоречит законам классической физики.

2.12. Закон сохранения момента количества движения

Полный момент количества движения замкнутой системы тел (материальных точек) складывается из моментов количеств движения составляющих ее тел.

L = ∑Li = ∑[rri × Pi ]

i i

Для замкнутой системы тел справедливо соотношение:

L = const

Следует отметить, что момент количества движения данной материальной точки зависит от выбора положения начала отсчета, следовательно, величина и направление момента количества движения всей системы тоже зависит от этого. Однако, при любом выборе точки отсчета закон сохранения момента количества движения всей замкнутой системы остается справедливым. r

Покажем это. Сместим точку отсчета O на величину a . Тогда, положение материальной точки будет характеризоваться уже не ri , а rri′, который связан с ri соотношением ri′= rri + ar.

При этом для нового полного момента количества движения получим выражение:

L' = ∑[(ri + a)× Pi ]= ∑[ri × Pi ]+ ∑[a × Pi ]= L + ∑[a × Pi ]=

= L + ar×∑i Pri = L +[ar× Pr]

33

где Lr-момент количества движения в неизмененной системе отсчета, P - количество движения всей замкнутой системы.

Т.к.r величины L, P, ar не изменяются во времени, то величина L′так же неизменна.

2.13. Механическая работа и потенциальная энергия. Типы равновесия

Введем понятия «работа» и «потенциальная энергия». Пусть некоторое тело или материальная точка движется в

силовом поле F (x, y, z). Если под действием этого поля тело

совершило бесконечно малое перемещение dS , то величина совершенной работы ( dA ) равна:

dA = (FdS )= FdS cosθ

где θ -угол между векторами F и dS .

Если проекцию вектора движущей силы на направление вызываемого ей движения обозначим Fs = F cosθ , то выражение для механической работы принимает вид:

A = ∫Fs dS + const .

Работа на конечном участке пути ( S2 − S1 ) равна:

S2

A = ∫Fs dS .

S1

Из представленного выражения видно, что сила, направленная перпендикулярно направлению вызываемого ей перемещения, работы вдоль этого направления не совершает. В свою очередь, из этого вывода следует, что работа сил поля при перемещении тела из одного положения в другое не зависит от формы пути, а определяется только начальным и конечным

34

положениями тела. Действительно, пусть в поле действия сил тело переносится из точки 1 в точку 2 по пути «а» (совершается работа

A1a2 ) и обратно по пути « b » (совершается работа A2b1 ). Общая работа при этом, очевидно, равна нулю, т.к. результирующего перемещения не произошло. Итак: A1a2 + A2b1 = 0 или A1a2 = −A2b1 . Учтем, что при изменении направления переноса тела работа меняет свой знак на противоположный (это следует из определения понятия работы), т.е. − A2b1 = A1b2 . Поэтому A1a2 = A1b2 . Таким образом, доказано, что механическая работа не

зависит от формы пути (траектории).

С помощью понятия работы вводится понятие

«потенциальная энергия».

Потенциальная энергия тела U (x, y, z) в точке 1

относительно точки 2 называется взятая с обратным знаком работа по перемещению тела из точки 1 в точку 2.

Если точки 1 и 2 бесконечно близки друг к другу, то dA = −dU . При этом, т.к. dA = Fs dS , имеем dU = −Fs dS или

Fs = − dUdS .

Итак. Проекция силы на некоторое направление есть взятая с обратным знаком первая производная от потенциальной энергии по этому направлению.

Различают следующие типы равновесий. а) безразличные (шарик на плоскости

в поле тяжести Земли)

б) устойчивые (шарик в ямке),

в) неустойчивые (шарик на выпуклой поверхности)

35

Условием наличия равновесия любого типа является равенство нулю суммарно действующей на тело силы, т.е.

Fs = − dUdS = 0 или dUdS = 0 .

Если в точке, где это условие выполняется

d 2U =

dS 2

0 , то равновесие безразличное,

d 2U >

dS 2

0 - устойчивое,

d 2U <

dS 2

0 - неустойчивое.

2.14. Закон сохранения энергии

Рассмотрим некоторое тело, имеющее массу m .

Если под действием силы это тело перемещается в направлении S , то, согласно второму закону Ньютона Fs = m dVdt

. Работа этой силы на пути dS равна dA = Fs dS = FsVdt = mVdV , или

dA = d mV 2 .2

которая называется кинетической энергией.

С другой стороны, мы знаем, что dA = −dU . Поэтому

запишем: − dU = d mV 2 или

2

36

Теперь рассмотрим более общий случай - замкнутую систему тел.

Движение системы тел как целого описывается скоростью движения ее центра инерции Vц.и . Поэтому скорость отдельной частицы с номером i относительно некоторой неподвижной системы отсчета состоит из суммы двух скоростей (Vц.и +Vri ), где

Vri - скорость частицы относительно центра инерции. В

соответствии с этим, кинетическая энергия этой частицы будет определяться выражением:

m2i (Vrц.и +Vri )2 = mi2Vi 2 + mV2ц2.и + mi (Vri Vrц.и ).

Полная кинетическая энергия частиц, составляющих замкнутую систему, определяется суммой кинетических энергий этих частиц.

Покажем, что последнее слагаемое в этом выражении равно нулю.

∑miVi представляет собой сумму количеств движения тел

i

входящих в рассматриваемую систему относительно центра ее инерции. Она равна нулю по определению. В противном случае система убежала бы сама от себя.

Итак:

Первое слагаемое в представленном выражении называется внутренней кинетической энергией системы тел,

Второе слагаемое – это кинетическая энергия системы, движущейся как единое целое:

Если к полученному выражению для полной кинетической энергии прибавим потенциальную энергию взаимодействия частиц

друг с другом (U внутр ) и потенциальную энергию всей системы ( Uвнеш ), находящейся во внешнем силовом поле, и потребуем,

чтобы эта величина была постоянной, то получим закон

сохранения энергии для замкнутой системы тел:

Eполная = Eвнеш.кин. + Eвнутр.кин +U внутр +U внеш = const

38

2.15. Применение законов сохранения. Упругое соударение шаров

Законы сохранения энергии и количества движения могут быть использованы для установления соотношений между различными величинами при столкновениях тел.

Столкновения тел могут быть двух типов: упругие и неупругие. При неупругих столкновениях, происходит изменение внутренней энергии тел (нагрев, изменение формы), при упругих – внутренняя энергия до и после столкновения остается неизменной.

Ниже будем рассматривать только упругие стокновения. Пусть сталкиваются две частицы с массами m1 и m2 . До

столкновения их скорости V1 и V2 соответственно, после

столкновения - V1′и V2′. Т.к. столкновение упругое, то внутренняя

энергия не меняется и ее учитывать не будем. Также исключим внешние поля и, для удобства, не нарушая общности задач,

выберем систему отсчета таким образом, что V2 = 0 .

Запишем законы сохранения энергии и количества движения:

Видим, что скорость V2′ очень мала, а, следовательно, и величина

m2V2′2 мала. Значит, энергия налетающей частицы после

столкновения практически не меняется, модуль скорости остается практически неизменным, меняется скорость частицы как векторная величина. Это, так называемое рассеяние легкой частицы на тяжелой.

39

2)m1 = m2 .

Вэтом случае законы сохранения принимают вид:

V12 =V1′2 +V2′2

V1 =V1′ +V2′

Из второго соотношения следует, что вектора скоростей образуют треугольник, а из первого, что этот треугольник прямоугольный.

V1′

V1

V2′

3) Лобовое (центральное) столкновение частиц разной массы.

Рис. 2.10.

Так как движение одномерное, то систему уравнений, описывающих столкновение, запишем в скалярном виде:

m1V12 = m1V1′2 + m2V2′2 ,

m1V1 = m1V1′ + m2V2′

.

Решения этой системы уравнений представлены ниже:

Видно, что если m1 = m2 , то после столкновения первое

тело останавливается, а второе начинает движение со скоростью первого.

Если m1 < m2 , то первое тело после столкновения движется в обратном первоначальному направлении.

Если m1 > m2 , то после столкновения тела движутся в одном направлении.

40