Поскольку на самом деле никакой силы в сечении C нет (т.е. Ф=0), то
δ = ∫ N(F) N1 dz .
c l EA
Это выражение называется интегралом Мора и применяется для определения перемещений точек произвольных сечений элементов конструкций.
Обобщая на k-тое количество участков по N(z) и A(z), перемещение по методу Мора может быть определено:
k |
|
Ni (F) N1i |
|
|
δ c = ∑∫ |
dzi |
|||
|
||||
i=1 l |
|
(EA)i |
||
|
i |
|||
3.4. Практические расчеты на прочность и жесткость статически определимых систем при растяжении–сжатии
Условие прочности:
σ max = |
N |
|
|
|
≤ [σ ]. |
A |
|
max |
|||
Условие жесткости: |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
δ max ≤ [δ ], или ∑ li ≤ [δ ], |
|||||
|
|
|
|
i |
|
где δmax – величина максимального перемещения поперечных сечений стержня вследствие деформации, [δ] – допускаемое перемещение, обычно назначаемое из условий эксплуатации.
Пример. Проверить на прочность и жесткость стержень, нагруженный системой продольных сил.
Дано: [σ]=160 МПа, А=4 см2.
1. Проверка на прочность.
1.1.Строим эпюру продольных сил N(F)
1.2.Определяем напряжения по участкам и в характерных сечениях бруса:
|
σ |
|
= |
N |
|
= |
50 |
10−3 МН |
= 125 МПа |
|||
|
DC |
A |
4 |
10−4 м2 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||
σ |
|
= |
N |
= |
|
− 10 10−3 МН |
= −50 МПа |
|||||
DL |
0,5A |
|
0,5 4 10−4 |
м2 |
||||||||
|
|
|
|
|
||||||||
40
σ |
ниж |
= |
− 10 10−3 МН |
= −25МПа |
||
L |
4 10−4 |
м2 |
||||
|
|
|
||||
1.3. Записываем условие прочности:
σmax=125 МПа<[σ]=160 МПа, откуда следует что брус прочен. 2. Проверка на жесткость.
Для оценки жесткости определяем перемещение точек B, L, D, C по методу Мора.
2.1. Разгрузим стержень от внешних сил и приложим в точку B единичную безразмерную силу. Эпюра продольной силы для этого случая N1B . Находим перемещение с помощью интеграла Мора:
|
|
δ B |
0,5 м 20z 1 |
|
|
|
|
10z2 |
|
0,5 м |
2,5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
= ∫ |
|
EA |
|
|
|
dz = |
|
EA |
|
= |
EA |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
2.2. Таким же образом поступим для остальных точек находим: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
δ L |
1м(10 − 20z) 1 |
|
|
|
|
10z − 10z |
2 |
|
1м |
= 0 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
= ∫ |
|
EA |
|
|
|
|
dz = |
|
EA |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
1м |
|
|
|
|
0,5 м |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0,5 м |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
10 |
|
|
|
20z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
δ D = ∫ (10 − 20z) 1 dz |
− ∫ |
|
dz =0 − |
|
|
|
|
= − 10 |
|
; |
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
0 |
EA |
|
|
|
|
|
0 |
|
0,5EA |
|
|
EA |
|
0 |
|
|
|
EA |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
1м |
|
|
|
0,5 м |
|
10 1 |
|
|
1м |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10 |
|
|
50 |
|
|
|
40 |
|
||||||||
δ C = ∫ |
(10 − 20z) 1 dz − ∫ |
|
dz + ∫ |
50 1 dz = − |
|
+ |
|
= |
. |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
EA |
EA |
|
||||||||||||||||||||||||||||
0 |
EA |
|
|
0 |
|
|
0,5EA |
|
0 |
|
EA |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
EA |
|||||||||||||
2.3. Запишем условие жесткости: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
δ |
|
|
|
|
= |
40 |
|
≤ [δ ], |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
max |
|
|
EA |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
41